國家開放大學畢業生學習時間的Pareto擬合研究

孫煜 宋麗哲

摘? 要：遠程開放教育是當今社會中最重要的教育方式之一，而遠程學習者往往十分關心自己完成學業的時間，該文以學期為單位，使用2檢驗法對國家開放大學2007—2018年共12年的畢業生學習的學期數進行檢驗，結果表明，國家開放大學畢業生學習的學期數顯著服從Pareto分布。另外，進一步使用最小二乘法對Pareto分布的參數進行了估計，為后續研究打下了基礎。

關鍵詞：學習時間分布? Pareto分布? 2檢驗法? 擬合研究

中圖分類號：G434? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-3791（2020）12（b）-0191-05

Abstract： Distance open education is one of the most important forms of education in today's society， and distance learners are often very concerned about the time they take to complete their studies， the article examines the number of semesters studied by graduates of the Open University of China in a total of 12 years from 2007—2018 in terms of semesters using the chi square test， and the results show that the number of semesters studied by graduates of the Open University of China significantly follows the Pareto distribution. In addition， the parameters of the Pareto distribution were further estimated using the least squares method， which provided the basis for subsequent studies.

Key Words： Learning time distribution; Pareto distribution; Chi square test; Fitting research

現代信息化技術的快速發展和廣泛應用為高等教育注入了強大的動力，遠程開放教育成為學習型社會最重要的教育方式之一。遠程開放教育主要通過先進信息技術和傳統教育緊密結合的手段來構筑知識經濟時代的終身學習體系。而參加遠程教育的學生一般要經過多長的學習時間才能畢業？以往學生的畢業率情況如何？這些問題不僅為學生所關注，對于遠程教育本身也具有重要意義。

國家開放大學原名中央廣播電視大學，同地方廣播電視大學一起，組建成為一個完整的教學和管理體系。目前，國家開放大學由總部、分部、地方學院、學習中心和行業、企業學院共同組成完整的辦學組織體系，在籍學生約為453萬（數據來源于國家開放大學最新統計數據）。因此，對其進行學生畢業所用學期數的相關研究具有重要意義。

過去，出于輟學現象的普遍性及給遠程教育帶來不利影響的嚴重性，大量研究人員選擇“輟學”作為研究選題，例如張鳳來、王文婷[1-2]在其研究中都指出了遠程開放教育中，輟學率的研究一直是一個重要的課題。而對于畢業的研究相對于輟學來說，正如一個硬幣的兩面，研究畢業現象以提升畢業率，同樣可以降低輟學率。國內也有少部分學者針對畢業率進行研究，例如宿紅艷（2015）[3]，徐輝、梁曉琦（2018）[4]以某所遠程教育機構為個案，采用描述性統計方法研究不同專業、不同性別學生的畢業率。

然而由于學生的個體差異較大，學習方式復雜，給統計和研究工作帶來很大的困難，至今少有關于學生畢業學期數這方面的報告。

為了能夠更好地分析影響學生學習學期數的因素，首要的就是要研究清楚學生學習學期數的分布情況。

由此，該文通過對國家開放大學2007—2018年12年的教務數據對畢業生學習學期數進行分析，根據其頻率直方圖以及Pareto分布的概率密度函數圖，判斷其服從Pareto分布，并采用2檢驗的方法來進行檢驗。在通過檢驗的基礎上，建立模型估計其Pareto分布的參數，為進一步研究影響學生學習學期數的參數分析等提供一定的參考。文章第一部分介紹該文的研究意義以及方向;第二部分對數據的分布做初步擬合;第三部分介紹模型構建及估計的過程，并給出分布參數的估計;第四部分對文章做全面總結，給出結論。

1? 學生學習時間分布初步擬合

該文選取國家開放大學2007—2018年共12年的教務數據，數據量達到了900萬條，經過數據篩選，去除空數據條目，刪除無效數據等，剩余數據依然有390萬之多，對其進行初步統計得出，頻數統計見表1。

學習時間基礎統計見表2。

而后，根據頻數統計表，畫出頻率直方圖，具體見圖1。

由圖1可以看出，學生學習時間的分布屬于截尾分布，魏順平（2011）[5]中曾使用生存分析法、cox回歸模型來對畢業影響因素進行分析，生存分析法以及cox回歸模型都是針對于截尾分布的分析模型，其在不要求估計資料的分布類型的情況下，以生存結局和生存時間為應變量，能夠同時分析眾多因素對生存期的影響。由于這些優點，所以，在分析中很受研究人員的歡迎，但也正是因為此類模型通過半參數擬合，規避了分布類型，所以導致往往只能夠關注一個終點事件，例如，只關心學生8年內能夠畢業的畢業率，而不能對多個終點進行預測，而往往人們想知道的并不僅僅是一個結果，例如畢業所用學習時間的期望等。

出于這種目的，該文針對學習所用學期數進行分布擬合。

帕累托分布（Pareto distributions）[6]是以意大利經濟學家維弗雷多·帕雷托命名的，是維弗雷多·帕雷托在大量真實世界的現象中，發現的冪次定律分布。這個分布在經濟學以外的領域，也被稱為布拉德福分布。一個多世紀以來，它在不同的領域范圍內，廣泛應用，也來越收到科研人員的重視。由于Pareto分布具有遞減的失效率函數，經常用來描述諸如個人收入（收入越高，獲得更高收入的能力就會增加）、某種藥理過程后病人的存活時間（存活時間越長，能夠繼續存活更長時間的可能性就越高）等模型。

在帕累托分布中，如果X是一個隨機變量，則X的概率分布如公式（1）所示：

式中，x是任何一個大于xmin的數，xmin是x最小的可能值（正數），k是為正的參數。可以看出，Pareto曲線族是由兩個數量參數化的，即xmin和k。

圖2分別給出了在k=1，2，3時的Pareto分布曲線。

結合圖1和圖2，可以看出，學生畢業所用學期數的頻率圖，與Pareto分布曲線圖中的k=3的情況大致已知，加之Pareto的廣泛應用，具有良好的分析特性、豐富的參考資料。故該文考慮用Pareto分布擬合學習時間的分布。

2? Pareto分布的2檢驗法

前文中，根據頻率圖與Pareto分布曲線考慮使用Pareto分布進行擬合，在擬合之前，需要對分布進行假設檢驗。

由于Pareto分布與雙參數分布有直接的關系，在數據分析的時候，可以采用對數變換，然后利用一種針對雙參數指數分布的2檢驗方法來進行分布的檢驗[7]，具體檢驗過程如下。

3? 學習時間分布參數的最小二乘估計

由第三節結論，學習時間的分布服從Pareto分布：

對學習時間數據做相應變換，得到表4。

將相應數據帶入式（8）中可得參數估計約為：

即，國家開放大學12個學期的學生畢業所用學期數所服從的Pareto分布，形狀參數α的值為5.497，尺度參數的值為5.112。

4? 結語

該文基于國家開放大學一共12個學期的學生畢業所用的學期數進行研究分析，假定其服從Pareto分布，并使用卡方檢驗方法對假定進行了假設檢驗，根據假設檢驗的結果，確定其服從Pareto分布。在此基礎之上，根據Pareto的分布函數，通過最小二乘估計方法給出了分布的參數估計值。

遠程教育學生畢業所用學期數的研究，對于分析其影響因素有著基礎性的作用，在確定了所用學期數的分布情況之后，才可以更加準確地研究影響畢業所用學期數的因素，從而為提高畢業率、降低輟學率提供方向。

參考文獻

[1] 張鳳來.湖南遠程開放教育輟學問題探析[J].創新創業理論研究與實踐，2018，1（15）：41-43.

[2] 王文婷.開放大學學生輟學影響因素量表的編制——基于教育功能論的開放大學學生輟學管理實踐研究[J].內蒙古電大學刊，2017（3）：78-82.

[3] 宿紅艷.上海交通大學繼續教育學院網絡教育學生畢業率的研究[J].成人教育，2015，35（6）：74-80.

[4] 徐輝，梁曉琦.影響開放教育續修生畢業率的相關因素研究[J].海南廣播電視大學學報，2018，19（3）：144-148.

[5] 魏順平.網絡高等教育學生畢業時間預測研究[J].中國遠程教育，2011（10）：18-27，49，95.

[6] 李海芬.Pareto分布的統計分析[D].華東師范大學，2004.

[7] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，2006.

[8] 崔媛媛.步加試驗下Pareto分布的統計分析[D].溫州大學，2016.

[9] 鄭丹丹.多維視角下遠程開放教育學習者輟學問題的研究[J].科教導刊，2019（6）：191-192.