差分方程描述下的系統性質判定的有效辦法

文/吳令軍 周子瑄 劉莎莎

1 系統性質的定義與判別方法說明

一個離散時間系統是將輸入序列x(n)變換成輸出序列y(n)的一種運算，記為y(n)=T[x(n) ]。時域離散系統中主要討論系統的線性、時不變性、因果性和穩定性，因此如何判斷系統的線性、時不變性、因果性和穩定性就顯得十分重要。對四種系統特性進行分析并給出判斷方法，并指出了每種判斷方法所適用的情況。通過靈活運用這些方法，可以快速而準確的判斷系統的特性。根據文獻給出如下定義與判定方法。

（1）線性系統的定義是指系統的輸入輸出滿足線性疊加原理，其判別公式如下。

（2）時不變系統的定義是輸入信號的移位會引起輸出信號的移位，其判別公式如下。

（3）因果系統的定義是指n時刻的輸出只取決于信號輸入系統前的值，而與輸入時刻后的值無關。判別方法是當n<0時，h(n)=0，則為因果系統。

（4）穩定系統：若系統對任意的有界輸入均產生有界的輸出，則表明為穩定系統。其判別方法為用疊加性原理求系統的穩定輸出，使得單位抽樣響應滿足絕對可和條件，即滿足公式

2 傳統解法與主推算法

由線性時不變系統的差分方程并不能直接推出此系統是線性的，一個常系數線性差分方程，只有當邊界條件選的合適，才相當于一個線性時不變系統。因此，邊界條件很重要。以下舉個通例：

常系數線性差分方程 ，當邊界條件 時，求該系統是否滿足線性時不變和因果穩定性。

2.1 傳統解法：遞推法驗證

通過求解單位抽樣響應來證明該系統的線性和時不變性，而求解單位抽樣響應采用的方法為迭代法。單位抽樣響應的輸入為單位抽樣信號，即 ，分別用單位抽樣信號的移位序列表示為輸入，即令

具體步驟如下：

令x3(n)=x1(n)+x2(n)=σ(n)+δ(n-1)，y3(-1)=0

因此，系統是線性系統，綜上所述系統為線性時不變系統。

2.2 主推做法

先對差分方程進行z變換，再對系統的線性時不變等性質進行判定。（同時系統函數零極點與收斂域關系也可判定）

因，對于差分方程如果輸入是 這一特定情況，響應就是單位抽樣響應，所以這對于判定因果穩定性很有必要?？闪?。正如前面所說邊界條件很重要，即與初始條件有關，故我們研究的是零輸入解，而不是零狀態解，而在求零輸入解時，考慮到初始條件，用單邊Z變換。

【注：單邊變換定義：如果x(n)的存在范圍是0 ～+∞，則為，稱單邊z變換，特別的，單邊Z變換的時移性質：

我們對應的取 ，此處可將δ(n)看成特殊右邊序列，有

圖1

邊界條件為 ，因此

所以是因果系統

（3）：

x1(n)和x2(n)為移一位關系，且y1(n)和y2(n)也對應移一位關系，因此系統為時不變系統。

（4）：

因此系統是線性系統。

同樣可以證明出這個方法對于不同初始條件y(-1)=-1等都適用，同時，也具有一般性，如常見題型y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，初始條件y(-1)=-1，有興趣的讀者，自己可以嘗試做做。

3 根據系統函數的零極點分布及收斂域的關系

（1）線性非移變系統穩定的充要條件是系統函數H(z)的收斂域包含單位圓。

（2）線性非移變系統穩定的因果條件是系統函數H(z)的收斂域包含∞

（3）一個因果穩定系統其系統函數的極點必須在單位圓內。

（4）一個因果穩定系統其系統函數的收斂域一定從單位圓內到無窮大處。

4 MATLAB驗證解法正確性

常系數線性差分方程 ，當a=0.9，邊界條件 ，時，代碼如下所示。

%%輸入序列xn，輸出序列yn，

a = 0.9 ;ys=0; %ys表示邊界條件y(-1)=0

xn = [1,zeros(1,30)]; %假定輸入序列xn

B=1;A=[1,-a]; %差分方程系數

xi=filtic(B,A,ys);%xi為濾波器傳遞函數的分子系數和分母系數。

yn=filter(B,A,xn,xi);%yn為濾波器輸出

n=0:length(yn)-1;

subplot(2,1,1);stem(n,yn,'.') %繪制輸出波形

title('輸出波形');xlabel('n');ylabel('y(n)');

subplot(2,1,2);zplane(B,A) %繪制零極點圖。如圖1所示。

5 總結

傳統解法與推薦解法的優缺點對比，對于離散時間系統的線性時不變性，因果穩定性的判定尤為重要，對于常見類型的，可以直接根據定義法判別，用差分方程表示的，可根據以上兩種方法求解，后一種可能更便捷。