平面直角坐標系中點的平移與函數圖像平移的區別

姜百軍

【摘要】 點的平移口訣是“左減右加，上加下減”，函數圖像的平移規律為“左加右減，上加下減”.

【關鍵詞】平移;坐標;圖像;口訣;規律

在初中七年級，同學們會學習平面直角坐標系中點的平移變化，在八年級會學習平面直角坐標系中一次函數圖像的平移及解析式的變化，在九年級會學習平面直角坐標系中二次函數圖像的平移及函數關系式的變化.這幾種變化困擾著許多同學，容易混淆變化規律，下面就點的平移和函數圖像平移做一些探究.

一、平面直角坐標系中點的平移

在人民教育出版社七年級下冊《數學》第七章中，學習了平面直角坐標系后，平面直角坐標系中的點發生一些左、右、上、下等平移變化，那么隨著點的位置的變化，點的坐標該如何變化呢？

例1 在平面直角坐標系中有一點A（-2，-3）.

（1）把點A向左平移3個單位得到點A1的坐標為;

（2）把點A向右平移5個單位得到點A2的坐標為;

（3）把點A向上平移4個單位得到點A3的坐標為;

（4）把點A向下平移2個單位得到點A4的坐標為;

（5）把點A向右平移2個單位再向上平移4個單位得到點A5的坐標為.

分析 如圖1，通過平面直角坐標系中點的平移作圖我們可以寫出各點的坐標分別為：A1（-5，-3），A2（3，-3），A3（-2，1），A4（-2，-5），A5（0，1）.

結合圖像，我們觀察點A的橫縱坐標變化，就會發現點A（-2，-3）向左平移3個單位得到點A1（-5，-3），橫坐標減去了3，縱坐標不變;點A（-2，-3）向右平移5個單位到點A2（3，-3），橫坐標加上了5，縱坐標不變;點A（-2，-3）向上平移4個單位得到點A3（-2，1），橫坐標不變，縱坐標加上了4;點A（-2，-3）向下平移2個單位得到點A4（-2，-5），橫坐標不變，縱坐標減去了2;點A（-2，-3）向右平移2個單位再向上平移4個單位得到點A5（0，1），橫坐標加上了2，縱坐標加上了4.

我們觀察這些點的坐標變化，就會發現規律：點A（x，y）向右平移幾個單位，就在橫坐標上加上幾，縱坐標不變;點A（x，y）向左平移幾個單位，就在橫坐標上減去幾，縱坐標不變;點A（x，y）向上平移幾個單位，就在縱坐標上加上幾，橫坐標不變;點A（x，y）向下平移幾個單位，就在縱坐標上減去幾，橫坐標不變;如果點A（x，y）向兩方向平移，那么兩個坐標同時變化即可.總結為簡單的口訣就是“左減右加，上加下減”，注意“左減右加”變化橫坐標，“上加下減”變化縱坐標.

二、平面直角坐標系中函數圖像的平移

（一）一次函數圖像的平移

在人民教育出版社八年級下冊《數學》第十九章中，學習了一次函數圖像的平移變化，它到底有怎樣的變化規律呢？

例2 已知一次函數y=2x+1.

（1）把它的圖像向左平移1個單位可得直線的解析式為;

（2）把它的圖像向右平移2個單位可得直線的解析式為;

（3）把它的圖像向上平移3個單位可得直線的解析式為;

（4）把它的圖像向下平移3個單位可得直線的解析式為.

分析 如圖2，把直線y=2x+1向左平移1個單位可得直線y=2x+3，也就是在原自變量x上加上1，即y=2（x+1）+1=2x+3.

把直線y=2x+1向右平移2個單位可得直線y=2x-3，也就是在原自變量x上減去2，即y=2（x-2）+1=2x-3.

把直線y=2x+1向上平移3個單位可得直線y=2x+4，也就是在常數項上加上3，即y=2x+1+3=2x+4.

把直線y=2x+1向下平移3個單位可得直線y=2x-2，也就是在常數項上減去3，即y=2x+1-3=2x-2.

我們觀察這些變化情況，發現直線y=kx+b（k≠0）在平移變化時，k不發生變化，只在自變量x和常數b處發生了變化.直線y=kx+b向左平移a個單位，解析式就會變為y=k（x+a）+b;直線y=kx+b向右平移a個單位，解析式就會變為y=k（x-a）+b;直線y=kx+b向上平移a個單位，解析式就會變為y=kx+b+a;直線y=kx+b向下平移a個單位，解析式就會變為y=kx+b-a.如果向兩個方向同時移動，那么x和b同時變化即可.總結規律為“左加右減，上加下減”，要注意“左加右減”整體變化自變量，“上加下減”變化常數項.

（二）二次函數圖像的平移

在人民教育出版社九年級上冊《數學》第二十二章中，同學們會學習二次函數圖像的平移變化，下面我們來探究它的變化規律.

例3 已知拋物線y=-2x2-1.

（1）把它的圖像向左平移1個單位得到二次函數圖像的解析式為;

（2）把它的圖像向右平移3個單位得到二次函數圖像的解析式為;

（3）把它的圖像向上平移2個單位得到二次函數圖像的解析式為;

（4）把它的圖像向下平移3個單位得到二次函數圖像的解析式為;

（5）把它的圖像向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到二次函數圖像的解析式為.

分析? 如圖3，拋物線y=-2x2-1的頂點坐標為（0，-1），把y=-2x2-1的圖像向左平移1個單位，拋物線的開口方向和開口大小沒發生變化，因此解析式中a值不變，頂點（0，-1）向左平移了1個單位得到（-1，-1），由二次函數頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0，頂點坐標為（h，k）），得平移后拋物線解析式為y=-2（x+1）2-1 .

同理，把y=-2x2-1的圖像向右平移3個單位，頂點（0，-1）平移到了（3，-1），得解析式為y=-2（x-3）2-1;把y=-2x2-1的圖像向上平移2個單位，頂點（0，-1）平移到了（0，1），得解析式為y=-2x2+1，也就是由y=-2x2-1+2化簡得到;把y=-2x2-1的圖像向下平移3個單位，頂點（0，-1）平移到了（0，-4），得解析式為y=-2x2-4，也就是由y=-2x2-1-3化簡得到;把y=-2x2-1的圖像向左平移2個單位，再向上平移3個單位，頂點（0，-1）平移到了（-2，2），得解析式為y=-2（x+2）2-1+3，即y=-2（x+2）2+2.

對于二次函數一般式y=ax2+bx+c（a≠0）或頂點式y=a（x-h）+k（a≠0），在圖像平移變化時，解析式的變化都遵循規律“左加右減，上加下減”，要注意“左加右減”變化每個自變量，“上加下減”變化常數項，這和一次函數圖像平移是一樣的.

例4 （1）把二次函數y=-3x2-x+1的圖像向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到的函數解析式為.

（2）把二次函數y=-2（x-3）2+2的圖像向右平移5個單位，再向上平移3個單位得到的函數解析式為.

分析 此類題目遵循圖像平移規律“左加右減，上加下減”，需要注意在向左右平移時每個自變量x都要變化，向上下平移只變化常數項.第（1）題平移后的解析式為y=-3（x+3）2-（x+3）+1-2，即y=-3x2-19x-31.第（2）題平移后的解析式為y=-2（x-3-5）2+2+3，即y=-2（x-8）2+5.

總之，點的坐標平移變化規律是“左減右加，上加下減”，注意“左減右加”變化橫坐標，“上加下減”變化縱坐標;函數圖像平移的變化規律為“左加右減，上加下減”，要注意“左加右減”變化自變量，“上加下減”變化常數項.