小議分式方程“增根”與“無解”

江慎軍

【摘要】伴隨著教改活動的全面開展.初中學段數(shù)學課程的教改活動也在全面開展.解分式方程屬于初中學段數(shù)學課程中數(shù)與代數(shù)部分較為關鍵的組成要素，在中考中的占比也較高，所以，一定要對分式方程的教學進行探析與研究.通常在對分式方程進行解答的時候，由于需要將分式方程轉化為整式方程，要在方程兩邊同乘最簡公分母，可是有時解得的未知數(shù)的值會使原分式方程中分式分母為零而無意義，這時方程會產(chǎn)生增根，原方程無解.由于學生對增根和無解兩個概念理解不到位、不透徹，導致解決方程有增根或方程無解之類題目時出現(xiàn)困難，出錯率較高.所以本文通過例題講解與拓展應用的形式，分析了分式方程增根產(chǎn)生的原因、分式方程增根與無解的區(qū)別，對增根與無解的相關習題進行了較為詳細的闡述，加深了對兩個概念的理解.通過本文的探究，可增強學生解決增根、無解相關習題的能力.

【關鍵詞】分式方程的增根;產(chǎn)生原因;增根與無解的區(qū)別;拓展應用

基于最近幾年中考數(shù)學題目的探析能夠獲悉，關于分式方程這一知識點的考查，除了解分式方程、列分式方程解決實際問題外，試卷中也會頻繁出現(xiàn)分式方程無解、有增根的題型.對于告知分式方程無解、有增根，進而求原分式方程中一些字母參數(shù)的取值問題，學生往往會產(chǎn)生畏難情緒，不會解，出錯多，或無從下手，這樣的情況會耗損學生很多時間與精力.如果在日常解題練習中能夠對分式方程無解、有增根的概念理解正確，就能夠提升學生的解題質量與成效，讓學生對題目有更清晰的認知，考試中才能節(jié)省大量時間對其他問題進行有效解決.本文從幾個方面分析了分式方程的“增根”與“無解”，相信能夠幫助學生正確理解，熟練掌握，提高解題能力.

一、增根是如何產(chǎn)生的

分式方程中的增根、無解屬于較為常見的內容，學生在學習了分式方程的相關知識以后，時常會將兩個概念弄混，認為分式方程解答過程當中的無解與增根是一回事，然而實際上并非如此.解分式方程的基本思路是利用轉化的思想，根據(jù)等式的基本性質，在分式方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程，如果在方程兩邊同乘了一個使分母為零的整式，就會產(chǎn)生增根.

分式方程中，如果分式中分母的值為零，分式就沒有意義.分式方程本身隱含著分母不為零的條件，當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制就被取消了，也就是說，未知數(shù)取值范圍被擴大了.若整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根，即增根產(chǎn)生的原因就是去分母的時候兩邊同時乘以0了，致使未知數(shù)的數(shù)值范圍被拓展了.

對于上面這些語言文字的解釋，部分學生可能不易理解，下面通過一道例題的兩種解法來體會一下產(chǎn)生增根的原因.

當x=2時，分式方程的分母為0，則方程無解.

解法一是利用分式的通分、約分來解，約分過程本身就是在分式分母不能為零的前提條件下進行的，所以這種解法找不到一個x的值使 1-x x-2 = 1 2-x -2成立，說明原方程根本不成立.

解法二是利用等式的基本性質，方程兩邊都乘x-2，從而去掉分式方程的分母，將分式方程轉化為整式方程，而這一操作恰好是在方程兩邊同乘了0，使得原方程成立.此時x=2使原分式方程中分式的分母為零，所以x=2是分式方程經(jīng)過去分母轉化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根，是產(chǎn)生的增根.

通過兩種解法對比，相信學生會對增根產(chǎn)生的原因更加明白，理解上變得容易、深刻.

二、分式方程增根與無解的區(qū)別

將分式方程增根和無解之間存在的區(qū)別與聯(lián)系進行明確，有助于提升分式方程解答的正確性，在方程解是否正確的判斷方面具有極為重要的指導意義.

1.分式方程有增根：解方程時，把分式方程通過去分母轉化為整式方程的變形過程中，根據(jù)等式的基本性質，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而把未知數(shù)的取值范圍擴大，此時解出的未知數(shù)的值有可能使原分式方程的分母為零.

2.分式方程無解：未知數(shù)無論取何值，方程兩邊的值都不相等，包含以下兩種情況.

（1）原分式方程經(jīng)過去分母轉化成的整式方程無解.

例3 解方程： x-1 x+2 = 3-x 2+x +2.

解 兩邊都乘x+2，得

x-1=3-x+2（x+2），

解得-1=7.

∵此一元一次方程無解，

∴原分式方程無解.

（2）原分式方程經(jīng)過去分母轉化后的整式方程有解，但這個未知數(shù)的值使原分式方程的分母為零，它是原方程的增根，從而原方程無解.（此種情況如例2）

3.分式方程無解，但不一定就一定有增根.

如上面例3，分式方程轉化為整式方程后，整式方程本身就無解，當然原分式方程就無解了，但這種情況下分式方程沒有產(chǎn)生增根.

4.分式方程有增根，但分式方程不一定無解.

例4 解方程： x-5 x2-1 + 2 x-1 =1.

解 兩邊都乘x2-1，得

經(jīng)檢驗，x=1是增根，x=2是原分式方程的解.

當然，初中階段不考查例4這種類型的分式方程，即把分式方程去分母后轉化成了一元二次方程.

所以，分式方程有增根，說明x的取值肯定有使分母為零的根，這時有兩種情況，一種是原方程就只有這些使分母為零的根，方程就無解，如例題2;第二種情況是除了有使分母為零的根之外，還有其他使原方程成立的根，這時原方程就有解，如例4.而分式方程無解，則也會有兩種情況：一種是分式方程就只有使分母為零的增根，沒有其他根， 這時無解就和有增根一致;第二種是分式方程連增根也沒有，此時就是無解，如例3.

三、拓展應用

通過前面的敘述，相信大家已經(jīng)對增根和無解有了較深的認識與理解，下面通過一道例題及其變式加深一下印象.

例5 a為何值時，關于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……① 有增根？

解 兩邊都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+ax=3（x-2），

（a-1）x=-10……②.

∵原分式方程有增根，

∴x=2或x=-2是方程②的根，

∴把x=2，-2分別代入方程②，得a=-4或a=6，

∴當a=-4或a=6時，原方程有增根.

例5變式 a為何值時，關于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……①無解？

解 兩邊都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+ax=3（x-2），

（a-1）x=-10……②.

因為原方程無解，所以分兩種情形.

第一種情形：

當a-1=0（即a=1）時，方程②為0x=-10，該整式方程無解，所以原分式方程無解.

第二種情形：

如果方程②的解為x=2或x=-2，則未知數(shù)x=±2使分式方程的分母為零，是分式方程的增根，此時由例5可知，a=-4或a=6.

綜上所述，當a=1或 a=-4或a=6時，原方程無解.

通過以上分析，我們深刻體會到對數(shù)學概念的理解有多么重要，所以深刻把握住概念的本質才能輕松應對概念考查的題目，而對概念的掌握單純靠語言文字的描述是不夠的，要結合題目才能理解透徹、到位.也就是說，基于上述例題能夠獲悉，當分式方程化去分母之后轉變?yōu)橐粋€一元一次的整式方程，其解剛好能夠讓最簡公分母變成零，這個根實際上就是增根，因為一元一次方程的根通常只有一個，因此，這個原分式方程就是無解的，如果轉變后的整式方程屬于一元二次方程，則狀況就并不相同.

四、結束語

總而言之，分式方程存在增根與無解問題中包含非常多的數(shù)學知識與思維方法，其中包含學生對數(shù)學概念的理解，以及對題目條件的解讀和處理，還包含隱藏條件的分析、應用轉化思想、分類策略等，思維含量比較高，對學生思維能力方面的嚴謹性、全面性等有嚴格要求.學生在分式方程增根與無解問題的解答過程中，大多數(shù)都會產(chǎn)生似懂非懂的情況，也就是說，想要徹底弄清此類問題，就要對增根、無解出現(xiàn)的原因進行追溯.掌握了分式方程增根、無解的相關知識，解題時就不用依靠死記硬背，學生能夠帶著理解進行深入探析，對題目中條件背后的含義進行精準解讀，對問題進行嚴謹有序的解答.

【參考文獻】

[1]趙雪.關于解分式方程增根與無解的案例探析[J].文淵（高中版），2019，000（002）：715.

[2]郭源源.追根溯源尋本質 分析理解辨差異：例談分式方程的增根和無解問題[J].理科考試研究，2019（20）.

[3]蔡艷生.分式方程有增根與無解的關系辨析[J].數(shù)學大世界（下旬），2019（6）.

[4]陳愛軍.深刻理解教學內容，踐行“學材再建構”：從“分式方程增根問題”教學說起[J].中學數(shù)學，2018，000（022）：19-20.