廣義勾股定理

周仲旺 孫建安

【摘要】眾所周知，勾股定理是針對直角三角形而言的，本文把勾股定理推廣到除等邊三角形以外的任意三角形，引入廣義勾股定理，使勾股數成為歷史，用它可以非常簡單地判斷一個三角形是鈍角三角形、直角三角形還是銳角三角形.根據廣義勾股定理，引入三角形的秩、新正弦和新余弦，從而已知三角形的秩時，任意三角形都可以當作直角三角形來解;不知三角形的秩時，也得到了解三角形的簡捷方法，此時沒有必要像通常那樣使用正弦定理和余弦定理.最后，本文給出三角形的秩的幾何意義.

【關鍵詞】廣義勾股定理;三角形的秩;新正弦;新余弦

一、廣義勾股定理

定理1 對正實數a，b，c，若滿足a≤b2時，a，b，c構成銳角三角形.

該定理可以看成廣義勾股定理，這樣，不光直角三角形才有勾股定理，除底邊小于等于腰的等腰三角形外，每個三角形都有一個勾股定理， 也就是說，除底邊小于等于腰的等腰三角形外， 每個三角形都對應著唯一一個大于等于 1的實數n，我們把這個實數n稱為三角形的秩.對于任意給定的大于1的實數n，秩為n的三角形有一族，像秩為2的（直角）三角形可以看成一族那樣，底邊小于腰的等腰三角形的秩是正無窮大，這樣的三角形顯然是銳角三角形（可以認為它的秩大于2），它也構成一族三角形，底邊等于腰的等腰三角形即等邊三角形，是唯一沒有秩的三角形，顯然，等邊三角形也可以看成一族，這一族含的三角形最少.任意三角形的秩都可以用Matlab算出來.根據這個定理，以a，b，（a3+b3） 1 3 為邊的三角形一定是銳角三角形，據此，對任意給定的實數n≥1，能很容易地構造出一個秩為n的三角形，反之，任意給定一個秩為n的三角形，都可以用這個方法構造出來.

二、新正弦，新余弦

定義 對于秩為r的任意三角形ABC，設它的最大角為∠C，AB=c，BC=a，CA=b，定義較小銳角∠A的新正弦sin（r，A）= a c 、新余弦cos（r，A）= b c .注意，只有較小銳角才有新正弦、新余弦，顯然sinr（r，A）+cosr（r，A）=1.

定理2 對任意秩r>1和任意銳角α，它們的新正弦sin（r，α）、新余弦cos（r，α）存在且唯一.

證明 設△ABC的秩為r，AB=c，BC=a，CA=b，較小銳角∠A=α，最長邊是c.根據余弦定理，得a=（b2+c2-2bccos α） 1 2 ，因為△ABC的秩是r，所以br+（b2+c2-2bccos α） r 2 -cr=0.令函數f（x）=xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1，只要證明這個函數在（0，1）中有唯一零點，那么定理成立.可知f（0）=0，f（1）=2sin α 2 r>0，經過簡單的計算，可得f′（x）=rxr-1+r（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ， 當x≥cos α時，f′（x）>0.令g（x）=xr-1+（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ，則g（0）=-cos α<0，g（cos α）=（cos α）r-1>0，令h（x）=（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ，則h′（x）=（x2-2xcos α+1） r-2 2 -1（x2-2xcos α+1+（r-2）（x-cos α）2），容易算出k（x）=x2-2xcos α+1+（r-2）（x-cos α）2在[0，cos α]上的最小值是sin2α，所以在（0，cos α）上，k（x）>0，h′（x）>0，g′（x）>0，所以在（0，cos α）上g（x） 必有唯一零點x0，這樣，在（0，x0） 上f′（x）<0，在 （x0，1）上f′（x）>0，所以f（x0）<0，且在（0，1）上函數f（x）有唯一零點，定理證畢.

根據這個定理可知，方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0在（0，1）上的唯一解就是cos（r，α），所以cos（r，α）由r，α唯一確定，顯然cos（r，α）可以用Matlab算出來.又cos（2，α）=cos α，sin（2，α）=sin α，于是新余弦、新正弦是余弦、正弦的推廣.對給定的秩r>1，cos（r，α）是α的一元函數，這是一個新函數.

在經典理論中，銳角α的余弦表面上是直角三角形的銳角α的鄰邊與最長邊（斜邊）之比，實質上，這個余弦cos（2，α）被直角三角形的秩2和這個銳角α唯一確定.同樣的，表面上新余弦是三角形的較小銳角的鄰邊與最長邊之比，實質上，這個新余弦cos（r，α）被三角形的秩r和這個較小銳角α唯一確定，這樣，引進三角形的秩后，新余弦就有意義了，新正弦自然也就有意義了.

三、解三角形的簡捷方法

根據定理1和定理2，三角形的秩和它的較小角唯一確定較小角的新余弦，反過來，三角形的較小角和較小角的新余弦唯一確定它的秩.這樣我們可以提出一個新的數學用表，這個表表示的是秩、角、新余（正）弦及其關系（已知這三者中的兩者能用計算機通過已寫好的表而不是通過方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0查出第三者，當然，這個表是根據方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0提出的），已知秩可以查出較小角的新余弦，已知較小角的新余弦可以查出秩，已知秩和新余弦又可以查出較小角，而較小角的新余弦是較小角相鄰的短邊與長邊之比，所以很好求，這樣求三角形的秩就不難了，一旦求出三角形的秩，解三角形就可以像解直角三角形那樣.現舉例說明如下.

例1 設△ABC的秩是3，AC=3，BC=4，試求它的最長邊AB.

解 AB3=AC3+BC3=33+43=91，所以最長邊AB≈4.498.顯然4.498<5，故這個三角形是銳角三角形.

假如要求這個三角形的三個角，只要有個新數學用表，求出新余弦后查表就行了.

例2 設△ABC的秩是4，∠A= π 6 ≈0.52，最長邊AB=6，試求這個三角形的另外兩邊AC，BC，另外兩角∠B，∠C和這個三角形的面積.

sin B= AC BC sin A≈ 5.8932 2×3.078 ≈0.9573，∠B≈1.28.

事實上，這里cos（4，B）= BC AB ≈0.513.

如果有新數學用表，就可以直接查出∠B，不必用正弦定理，這樣多簡單！

∠C=π-∠A-∠B≈3.14-0.52-1.28=1.34.

例3 設△ABC的秩是4，∠A= π 6 ≈0.52 ，試求這個三角形的另外兩個角∠B，∠C.

當已知兩邊一夾角且夾角小于60°時，基本上查表就能解三角形.當夾角大于60°時，若這個夾角的余弦大于這兩邊中的短邊與長邊的2倍之比，也可直接查表解決;若這個夾角的余弦小于這兩邊中的短邊與長邊的2倍之比，就不能直接使用查表的方法，因為這時這個夾角是三角形的最大角，它沒有新余弦.只要已知三角形的最大邊和另一邊及較小角，就可直接使用查表的方法解三角形，但已知兩邊一角的其他情況就不能使用本方法，因為只有較小角才有新余弦.當已知三角形三邊時，可以先用Matlab求出它的秩，然后查表得它的兩個較小角，不必用余弦定理.

綜上所述，引進三角形的秩后，若已知三角形的兩角一邊、兩邊一角或者三邊，解三角形多數情況下查表就行，這比用正弦定理、余弦定理簡便得多.通常的直角三角形很好解，只不過這是三角形的秩等于2這一特殊情況，已知三角形的秩，解三角形就和解直角三角形一樣.由此可見三角形秩的重要作用.事實上，在方程ax+bx=cx中，指數x無論取何值，其作用當然一樣，經典理論只是研究了x=2這一特殊情況，而本文發起并初步研究了一般情況.

本文提出的解三角形的方法，復雜的地方就是在方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0上，其他地方都非常簡單，把這個比較復雜的方程交給計算機來處理后，就凸現出本文方法的優越性了，這也是計算機的用途之一.其實，混合使用三角形的秩、正弦定理、余弦定理研究三角形更好.

四、三角形秩的幾何意義

已知秩為r的三角形最大角∠C的兩鄰邊為a，b（a>b），∠C的余弦cos C= a2+b2-（ar+br） 2 r? 2ab =f（r），f′（r）= （ar+br） 2 r -1 abr2 arln ar+br ar +brln? ar+br br>0，所以r越大，cos C越大，∠C越小.三角形秩的幾何意義是：當秩等于1時，三角形的兩邊a，b的夾角最大，是180°，隨著秩的增大，三角形的兩邊a，b夾的三角形的最大角逐漸變小，當秩趨向于正無窮大時，三角形趨向于一個以a為腰、以b為底的等腰三角形，這時三角形的兩邊a，b夾的三角形的最大角達到最小，若底邊再等于腰，三角形的最大角達到最小值60°.也就是說：以三角形最大角對應的頂點為圓心、以最小邊為半徑畫個圓，當最小邊的另一端點在這個圓上移動且三角形的其他兩頂點固定時，這樣得到的鈍角三角形占這個圓的 1[]4 ，而銳角三角形至多占這個圓的 1[]12 .從這個意義上說，鈍角三角形比銳角三角形多，盡管鈍角三角形比銳角三角形多，可鈍角三角形的秩在區間（1，2）上，而銳角三角形的秩在區間（2，+∞）上.

根據上面的分析，我們可以用三角形的秩判斷三角形的形狀，即三角形的秩越小越接近于平角三角形，秩越大越接近于等腰三角形.例如：秩為1.01的三角形非常細長，基本上是平角三角形，直角三角形的秩為2，秩比較大，它就比較接近等腰三角形，秩為9的三角形基本上是等腰三角形.三角形的秩反映的三角形的這一特性從例1、例2、例4也能看出來，因為這三個例題中的三角形的秩都比較大.

五、結束語

勾股定理被推廣后，任意三個不全相等的正數，只要能構成三角形就是勾股數，所以所謂的勾股數將成為歷史.勾股定理太狹窄了，廣義勾股定理把勾股定理擴大化了.勾股定理主要研究直的、研究距離，廣義勾股定理能研究斜的，其應用請大家研究思考.

【參考文獻】

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[2]劉玉璉，等.數學分析講義（上冊）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]華東師范大學數學科學學院.數學分析（上冊）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2019.