核心素養視野下一道中考壓軸題的分析與啟示

◎ 成鳴娟

中考數學壓軸題綜合性強，涉及的知識點多，對不同水平的學生進行區分和選拔，在中考中舉足輕重。筆者針對陜西省2017數學中考題25題略談粗淺認識，不當之處請指正。

一、試題呈現

(2017年陜西數學中考題第25題)

問題提出

1.如圖1，△ABC是等邊三角形，AB=12。若點O是△ABC的內心，則OA的長為_______。

問題探究

2.如圖2，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18。如果點P是AD邊上一點，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由。

問題解決

3.某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖3所示。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節約用水。于是，他讓主噴灌龍頭的轉角正好等于∠AMB(即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，然后再轉回，這樣往復噴灌)，同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。如圖3，已測出AB=24m，MB=10m，△ABM的面積為96m2；過弦AB的中點D作DE⊥AB交弧AB于點E，又測得DE=8m。

請根據以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭射程至少多少米時，才能實現他的想法？為什么(結果保留根號或精確到0.01米)？

圖1

圖2

圖3

二、解題過程分析

第1 問：考查等邊三角形的內心，構造直角三角形，應用勾股定理解得：

圖4

第2問：如圖4：

連接AC、BD相交于點O，連接PO并延長交BC于點Q。則線段PQ將矩形ABCD的面積平分。

∵點O為矩形ABCD的對稱中心，CQ=AP=3。過點P作PM⊥BC于點

點評：考查平行四邊形的中心對稱是典型的面積平分問題，以往平分面積是定性分析，而這道題是定量計算，在這一細節上稍提升難度，高于平時練習。

第3問：如圖5，作射線ED，

圖5

∵AD=BD，ED⊥AB，弧AB為劣弧，∴弧AB所在圓的圓心在射線ED上。

假設圓心為O，半徑為r，連接OA，則r2=122+(r-8)2，

解得：r=13，∴OD=5。

過點M作MN⊥AB物N，

∵SΔABM=96，AB=24，∴MN=8，NB=6，AN=18，

∵△ADC～ΔANM，∴

∴O在ΔAMB內部。

連接MO并延長交弧AB于點F，則MF為草坪上的點到M的最大距離。

在弧AB上任取一異于點F的點G，連接GO、GM，

∴MF=FO+OM=GO+OM＞GM.

過O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3。

∴MF=MO+r=

點評：第3問的基本思路：一找二算。對于如1、2問之后，自然在解法思路上有一些相通之處，提煉出前兩問的共同之處，關鍵的線段都和中心點(內心或對稱中心)有關系，于是第3問，聯想到利用圓心找最短距離。最短距離是直徑的一部分，這樣思路就打開了。在最短距離的計算中，前兩問共同之處用到了勾股定理，那么第3問能否應用勾股定理解決.如何計算最短距離，圓中計算，基本量就是半徑r，如此解題思路便越來越清晰。本題要用到勾股定理、相似三角形、等面積法等知識，綜合性強，體現了中考命題原則中的“選拔”。

本題前兩問考查基礎知識和基本技能，關注不同學生的學習狀況。第3問有一定難度，滲透考查數學基本思想：數學抽象、邏輯推理、數學建模，是核心素養中最重要的數學思維品質。在計算最短距離中考查了數學運算、直觀想象。

作為壓軸題，該題區別于前幾年陜西的25題，以往以純數學知識為載體進行考察，而該題以實際問題為背景，學生首先要能將實際問題轉化為數學問題：要能找到“噴灌龍頭最短射程就是線段FM的長度”，這是該題的難點，也是題目的創新之處。導向到對數學應用能力和意識的培養上，立意新數學味道濃厚且具生活氣息，有較高的區分度。對深化數學課程改革有很好的引領作用，是本次試題的亮點。

三、教學啟示

中考數學試題一方面檢測學生的學習情況，另一方面指導教師的數學教學。通過分析該題目，筆者對初中數學教學提出以下建議。

1.樹立模型意識，提高問題解決能力

本題一改往年陜西25題的純數學背景，立足民生，以城市街角的草坪灌溉為背景，綜合初中數學知識設計問題。考查“從實際問題中抽象出數學模型”的能力，這一導向體現了學習的最終目的，即服務于生活，也是對數學核心素養的落實。

每年中考試題有一部分題目，雖然題型和考查方式較為固定，學生也練習過大量的類型題，但這些題依然丟分，比如三角函數、相似三角形、一次函數等相關的應用題。如果以其他數學知識作為載體設計實際問題，或對常規應用題進行變動，學生的得分率會更低，說明學生解決實際問題能力較弱，問題解決能力需要提高。

中考是初中教學的指揮棒，特別是中考壓軸題，一定程度引導著教師的教和學生的學。本題旨在提醒一線數學教育者應適當調整教學比重，不僅要關注純數學問題的求解，還應注重數學應用，幫助學生樹立數學應用意識。在日常教學中，注重引導學生了解數學概念產生的背景，針對每一個知識點，盡可能創造生活情境，引導學生提煉數學知識，整合數學信息，在解決實際問題的教學中提高應用數學的能力，最終提高數學建模能力。

2.滲透數學思想，發展數學核心素養

數學核心素養是保障數學學科育人的關鍵，是在數學知識技能的學習過程中形成的，是在滲透數學思想中發展的。《普通高中數學課程標準》明確提出了六大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。數學抽象、邏輯推理、數學建模反映的是數學基本思想，也是最基本的素養。

教師在教學中引導學生反思解題過程，理解和掌握數學思想方法，關注知識的發生和發展過程，注重解題的思路來源，加強變式訓練，促進數學思想方法的內化。一題多解，多題歸一，引導學生抽象出數學本質，提煉出數學思想。在復習課教學中，設置數學思想專題課，用數學思想統領全局，引導學生體會同一個數學思想在不同知識點、不同方法中是如何滲透的，從而提高學生的數學思維品質，發展數學核心素養，獲得良好的數學教育。