探討幾何問題添加輔助線的技巧

穆紅霞

[摘? 要] 輔助線是突破幾何問題的關鍵. 能否根據幾何圖形的特點構建合理的輔助線，決定了是否可以將隱含條件和已知條件串聯成線、深度認知出題人的意圖、理清后續解題思路. 文章以2020年中考江蘇南通卷第26題為例，探討幾何問題添加輔助線的技巧.

[關鍵詞] 中考;數學;幾何問題

輔助線是突破幾何問題的關鍵. 能否根據幾何圖形的特點構建合理的輔助線，決定了是否可以將隱含條件和已知條件串聯成線、深度認知出題人的意圖、理清后續解題思路. 因此，分析幾何問題時，教師要引導學生充分理解已知條件，并結合條件與圖形特點，探究構造輔助線的技巧. 本文以2020年中考江蘇南通卷第26題為例，探討幾何問題添加輔助線的技巧.

■ 中考題呈現

中考題（2020年江蘇南通中考第26題）已知有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形. 連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

（1）如圖1，在對余四邊形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，求sin∠CAD的值.

（2）如圖2，在凸四邊形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD. 當2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，并證明你的結論.

■ 中考題解析

1. 添加垂直線，將一般變為特殊

對于不規則的圖形或抽象的圖形，需要添加適當的輔助線，將圖形拆分或填充成特殊圖形、常見基本形等，從而使沒有特征的圖形轉化為有形的幾何圖形.

中考題的第（1）小問所求為正弦值，因此要用所求角構造直角三角形，求解思路如下：要求sin∠CAD的值→將∠CAD放到直角三角形中→作輔助線：過點C作CF⊥AD，垂足為F（不破壞對余角∠D）？圯sin∠CAD=■→求線段CF的長;同時考慮到對余四邊形ABCD→∠B+∠D=90°AC=AB→作AE⊥BC，垂足為E→等角轉換（或三角形相似）. 具體的求解過程如下.

如圖3，過點C作CF⊥AD，垂足為F，過點A作AE⊥BC，垂足為E. 因為四邊形ABCD是對余四邊形，所以∠B+∠D=90°或∠BAD+∠BCD=90°. 因為∠CAE+∠ACE=90°，∠BAD>∠CAE，∠BCD>∠ACE，所以∠BAD+∠BCD>90°. 所以∠B+∠D=90°. 又因為∠D+∠DCF=90°，所以∠B=∠DCF. 因為AC=AB，AE⊥BC，所以BE=CE=■BC=3. 所以cos∠DCF=■=■=cos∠B=■. 所以CF=■. 所以sin∠CAD=■=■=■.

2. 添加輔助線，構建數學模型

當題目中存在線段數量關系時，可利用輔助線構建數學模型，利用平面幾何定理得出代數模型，其中最常應用的兩種幾何定理分別為勾股定理和相似三角形. 解題過程中，要著重觀察已知條件的數量關系特征、幾何圖形中的特殊角或線段，再選擇應用哪種幾何定理.

（1）構造全等三角形，巧用勾股定理

當題目中的已知條件比較分散，無法在同一圖形中觀察到線與線、角與角之間的關系時，添加輔助線構造幾何基本形是轉化條件的方式之一. 添加輔助線，能將一些看似不相關、較分散的條件匯聚到一個基本圖形中，從而形成完整的條件鏈.

對于中考題的第（2）小問，由條件2CD2+CB2=CA2能聯想到勾股定理→因為2CD2=（■CD）2，所以自然想到構造出一個以■CD，CB為直角邊的三角形，再由條件AD=BD，AD⊥BD聯想到利用邊CD構造等腰直角三角形（且CD邊為直角邊）→同時得到“手拉手”全等，即通過添加輔助線構造基本形. 此種解法的具體過程如下.

如圖4，過點D作DE⊥CD，且DE=CD，連接EC，EB，則CE2=2CD2，∠DCE=45°. 易證△ACD≌△BED，所以BE=AC. 因為2CD2+CB2=CA2，所以CE2+CB2=BE2. 所以∠BCE=90°. 所以∠BCD=45°. 所以∠DAB+∠BCD=45°+45°=90°. 所以四邊形ABCD是對余四邊形.

轉移不共線線段的方法有很多種，學生最易接受且最有效的方法是構建全等三角形，即通過全等三角形對應邊相等的定理，將有關系的線段進行轉移. 上述解法從2CD2+CB2=CA2入手，將2CD2轉化為CE2，通過全等三角形將CA轉化為BE，將題中的線段關系轉化到同一個三角形內，即轉化到△CBE內. 除此種方式添加輔助線外，還可以以CD為等腰三角形一腰，D為頂點向下作輔助線（如圖5），或以C為頂點，CD為腰作輔助線（如圖6）.

（2）構造相似三角形，證明線段成比例

對于中考題的第（2）小問，還可以換角度分析，結合勾股定理及相似定理來證明. 由已知條件2CD2+CB2=CA2，聯想到勾股定理→CB2=（■？）2，CA2=（■？）2，然后通過邊BC或AC來構造等腰直角三角形（且BC邊或AC邊為斜邊）→得到“手拉手”相似. 具體解法如下.

如圖7，以BC為斜邊向下作等邊直角三角形BCE，且∠BEC=90°，連接DE，則BC=■CE，△DBE∽△ABC. 所以AC=■DE. 因為2CD2+CB2=CA2，所以2CD2+2CE2=2DE2. 所以CD2+CE2=DE2. 所以∠DCE=90°. 因為∠BCE=45°，所以∠BCD=45°. 所以∠DAB+∠BCD=45°+45°=90°. 所以四邊形ABCD是對余四邊形.

中考題的第（2）問很容易聯想到在直角三角形中利用勾股定理來解決，至于線段之間的關系，在添加輔助線時，既要考慮構建出直角三角形，又要將條件的三邊轉化到同一個三角形內，因此以BC為三角形的斜邊作等腰直角三角形，從而通過證明△DBE∽△ABC得到線段關系. 除此種解法外，還可以以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACE，且∠AEC=90°，連接DE（如圖8），或以AC為斜邊向下作等腰直角三角形ACE，且∠AEC=90°，再以BC為斜邊向下作等腰直角三角形BCF（如圖9）.

■ 拓展提升

試題?在平面直角坐標系中，A（-1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內部，∠AEC=90°+∠ABC. 設■=u，點D的縱坐標為t，請直接寫出u關于t的函數關系式.

分析?本題類似動點問題，點D的坐標不固定，因此教師可以借助多媒體教學工具演示幾何圖形的變換，讓學生更加直觀、直接地看到數量關系. 通過視覺上的引導，讓學生將抽象的數學問題轉化為簡單的數量關系問題，從而建立正確的解題思路，找到解決數學問題的突破口，幫助學生高效解題. 首先，根據題意畫出圖形（如圖10），易知∠CAB=∠ABC=45°，所以∠ADC=45°，∠AEC=135°，A，D，C，E四點共圓（即共⊙G），△BAE∽△BDA？圯■=■=u，AD=4u，從而轉化為探究AD與點D縱坐標（即圖中DH的長）之間的數量關系.

思路1?（構造相似）如圖11，延長AG交⊙G于點F，連接DF，則△ADH∽△FAD？圯■=■？圯■=■？圯u=■（0

思路2?（設出點D的坐標，應用勾股定理建立等量關系）如圖12，設D（x，t），則AH=-1-x. 在△AHD中，根據勾股定理，有t2+（-1-x）2=（4u）2. 因為圓心G（-1，2），DG=2，所以（x+1）2+（t-2）2=4. 所以u=■（0

上述過程從引導學生了解輔助線的重要性開始，讓學生具備一定的圖形思考能力，并通過直觀想象，在腦海中構造幾何圖形，鍛煉數形結合思維，從問題表象認識到其原理本質. 這樣的例題設計，既能讓不同層次的學生通過實踐提升數學思維，又能實現對已有認知體系的創新.