一題多解，智慧再升華

邵武媚

[摘? 要] 解題能力能充分凸顯學生對知識與技能、思想與方法的掌握情況. 在常態教學過程中，我們應通過提問、啟發、引領的方式，促進學生養成思維的習慣，完善思維，并逐漸提升解題能力，從而促進思維能力的提升.

[關鍵詞] 一題多解;智慧;素養;初中數學

教學中，教師應深入挖掘試題價值，從多個維度去鎖定試題的內在魅力和價值. 某些試題蘊含著很多種解決方法，這些方法有的是一脈相承的，有的是從其他維度去分析而得出的，因此，教師需要從多個維度去剖析試題，只有這樣，才能促進學生的成長.

■ 原題呈現，信息轉換

例題？搖 如圖1，在邊長為2■的正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，連接EC，FD，G，H分別是EC，FD的中點，連接GH，則GH的長為______.

對于題目的呈現，教師需要引導學生從題目中采集關鍵信息. 這些信息隱含著部分其他信息，需要我們引導學生去分析. 比如，根據題目所給的正方形ABCD的邊長為2■，以及E，F分別為AB，BC的中點，就可以很快地得出BE=BF=AE=EC=■，于是EC=FD=■. 又G，H分別為EC，DF的中點，于是有EG=GC=DH=HF=■. 這些信息得出以后，我們還可以發現△EBC≌△FCD，從而獲知∠BEF=∠DFC. 因為∠ECB+∠BEC=90°，所以∠DFC+∠ECB=90°. 進而可以證明EC⊥DF.

這些都是我們在解決此題過程中首先分析到的，也是需要首先引導學生重點分析的. 這是我們在讀題、解題、析題過程中的第一步，也是基礎所在.

■ 策略分析，多元突破

策略是將已知（包括結合已知推出的新內容）與未知之間建構起關鍵的橋梁，這些橋梁有些需要證明，有些需要轉換，還有些需要我們作輔助線等來完成. 就本題而言，我們可以達成的解法達十多種，本題結合幾種特殊且具有代表性的解法同大家分享，以此開啟一題多解的研討.

1. 策略一：直接求

記DF和EC的交點為O. 在Rt△CDF中，根據面積法有FC·CD=FD·CO，于是可得CO=■. 根據勾股定理可求出OF=■，所以HO=HF-OF=■-■=■，GO=GC-OC=■-■=■. 在Rt△HGO中根據勾股定理即可求得GH=1.

分析?上述方法是充分利用面積相等的方法求出相關的量，再結合直角關系，采用勾股定理來求解GH的長. 除此以外，我們還可以通過其他方法來進行直接求解，只是這里需要利用輔助線來完成，即連接HC，如圖2. 結合“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”我們發現，HC=HF=■. 在Rt△HOC中根據勾股定理可求得HO=■，接下來就和上面的方法一樣，解出GH=1.

2. 策略二：中位線策略

中位線策略在幾何圖形中還是經常遇到的，尤其是遇到題目信息中有“中點”時. 此時，我們需要充分鎖定這一關鍵信息，并采用構建三角形、梯形等圖形，利用中位線的方法來完成，以此滿足遇中點，構造中位線的通法. 以下是幾種常見的中位線的構造方法，由于方法都比較相似，證明過程省略. 具體輔助線如下：連接CH并延長，交AD于點M，連接EM（如圖3）;連接DG并延長，交AB的延長線于點M，連接FM（如圖4）;連接BD，連接FG并延長分別交BD，AD于點M和點N（如圖5）.

此題的解決方法還有好幾種，比如，連接CH并延長，交AD于點N，連接NG并延長到點M，使GM=NG，連接MC;或者連接EH并延長到點M，使HM=EH，連接MC，等等. 這些作出中位線的方法對學生的能力提出了較高的要求，學生心中必須有這么一根中位線，它位于一個特殊的、自主建構的三角形或者四邊形中，這種建構將某些量的大小建構起了一個橋梁，這個橋梁也是思維生長的橋梁.

3. 策略三：“斜化正”策略

這種方法相對較難，但在常態的教學過程中，教師還是需要引領學生對這一環節進行思考，因為這在數學解題和訓練過程中也屬于一種轉換法思想，這種思想能引領學生將已知量向未知量轉換，且轉換的不僅僅是量與量的銜接，更多的是一種思想、一種方法，這種思想和方法決定著學生思維習慣的養成和提升，也決定著思維高度的達成. 比如，我們可以采用如下方法來作輔助線，以此構建相應的正方形，促進未知量的求解：連接GF，過點H作HM⊥BC交BC于點M，過點G作GN⊥HM，垂足為N（如圖6）;連接EH，連接FG并延長交EH于點M（如圖7）;連接EH，過點G作GN⊥AB，交AB于點N，過點G作GM⊥EH，垂足為M（如圖8）.

除此之外，我們還可以采用如下方法：過點G作GM⊥AD，垂足為M，過點H作HN⊥AD，垂足為N，過點H作HP⊥GM，垂足為P;連接EH并延長，交CD于點N，過點G作GM⊥CD，垂足為M，過點H作HP⊥GM，垂足為P. 這些方法都可以完成剛才所述的轉化和證明.

■ 反思總結，教學相長

結合剛才的分析我們不難發現，剛才的這道題有十余種解法，除了以上方法之外，我們還可以找出更多的解法，比如“建系法”“12345模型法”等. 為此，結合這種現狀，我們需要做進一步的分析與反思，以此進一步服務于我們教學行為的深入，也進一步服務于學生學習能力的提升.

1. 教師點撥方法，學生自主交流碰撞

在上述課堂教學活動中，教師只需要在方法層面給予學生適當的點撥，多余的時間和空間留給學生自主思考、交流碰撞、互幫互助，就能讓學生在交流的過程中升華思維的火花，促進數學智慧的生長. 這樣可以讓學生的思維充分發散，也可以讓學生的交流達到一個較好的隱性分層效果，確保每個孩子都能在自己的思維生長空間中得到最大限度的提升.

2. 教師引領總結，學生反思歸納通法

方法的總結與歸納是非常重要的. 首先，教師自己要學會總結、反思、提升，另一方面，教師要引領學生學會總結與反思，在對比以上所有的方法以后，對“通法”進行科學合理的分析與總結，讓學生在交流中總結解決一類問題的一般方法與流程.

3. 教師自我反思，助推專業素養提升

在多種解法中，教師也要學會反思，讓其真正在教師的深入研究中，從而發現題目的“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，結合具體的試題總結出解決問題的通法，并結合特例，總結出最簡捷、最有效的特法，將通法與特法相結合，實現一題多解的最大價值.