關于函數動點特殊三角形問題的探究

鄧紫琳

[摘? 要] 函數動點特殊三角形問題具有函數與幾何的性質特點，解析問題時可從函數、幾何兩大視角進行切入. 文章深入剖析問題背景，以函數動點等腰直角三角形的探究為例，總結解題策略，開展教學反思.

[關鍵詞] 動點;等腰直角三角形;函數;數形結合

■ 背景綜述

近幾年，中考數學壓軸題逐步趨向動態研究. 以直角坐標系為背景，研究函數圖像中因動點形成的特殊三角形是其中較為特殊的一類，問題融合了動點、函數、幾何特性等內容，綜合性強，備受命題人青睞.

函數圖像中動點形成的特殊三角形類型較為眾多，典型的有等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，以及具有特殊關系的相似三角形、全等三角形等. 該類問題往往以直角坐標系為背景，函數與幾何相融，圖像靈活多變，動靜結合，需要充分把握其中的幾何特性，利用函數知識來構建解析思路.

以函數動點形成的等腰直角三角形為例，解析問題時需要把握其中的“等腰”“直角”，結合幾何推理和代數運算進行問題轉化. 從幾何視角分析，可以進行等角推導、角度計算;從代數視角分析，可結合特殊角的三角函數、勾股定理的線段關系、斜率與角度關系進行突破. 往往該類問題的解析過程包含了豐富的思想方法，而靈活運用數形結合思想、分類討論思想、方程思想、函數思想、數學建模是解題關鍵. 本文以函數動點與等腰直角三角形為例進行探究.

■ 問題探究

1. 問題呈現

問題如圖1，等腰直角三角板ABC位于平面直角坐標系的第二象限，且斜靠在兩條坐標軸上，其中A（0，2），C（-1，0），拋物線y=ax2+ax-2經過點B.

（1）求點B的坐標.

（2）求拋物線的解析式.

（3）拋物線上是否存在一點P（點B除外），使得△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標;如果不存在，請說明理由.

2. 思路突破

上述為以直角坐標系為背景的函數動點特殊三角形問題，題干引入等腰直角三角板，需要充分利用其中的等腰和直角特性，聯系函數上點的坐標特點來突破.

（1）已知點A和點C的坐標，求函數圖像上點B的坐標，可過點B作x軸的垂線，設垂足為D，分析后可知△BCD≌△CAO. 由全等性質可得BD=OC=1，CD=OA=2，于是OD=3. 所以點B的坐標為（-3，1）.

（2）求拋物線的解析式，只需將點B的坐標代入其中即可. 代入后可得1=9a-3a-2，解得a=■，所以拋物線的解析式為y=■x2+■x-2.

（3）該問探究拋物線上是否存在異于點B的點P，使得△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形. 解析時需要把握其中的兩大條件：一是點P位于拋物線上，二是△ACP為等腰直角三角形，且AC為直角邊. 對于其中的條件二需分類處理：①AC為直角邊，點C為直角頂點;②AC為直角邊，點A為直角頂點. 另外，該問綜合了函數與幾何知識，解析突破的視角可以有所側重，可從函數和幾何兩大視角進行突破. 下面便從這兩個視角來解答該小問.

（方法一：函數視角）①如果AC為直角邊，且點C為直角頂點. 設直線BC與拋物線的另一交點為P1，如圖2. 結合點B和點C的坐標可求得直線BC的解析式為y=-■x-■，聯立直線BC和拋物線的解析式后可求得P1（1，-1）. 過點P1作x軸的垂線，垂足為M，在Rt△MCP1中使用勾股定理，可得CP1=■=■，所以CP1=AC. 又易知∠ACP1=90°，所以此時△ACP1為等腰直角三角形，滿足條件. ②如果AC為直角邊，且點A為直角頂點. 過點A作BC的平行線，與拋物線的交點設為P2，如圖2，則可得直線AP2的解析式為y=-■x+2，聯立直線AP2和拋物線的解析式后可求得P2（2，1）. 過點P2作y軸的垂線，垂足為N，在Rt△ANP2中使用勾股定理，可得AP2=■=■，所以AP2=AC. 此時△ACP2為等腰直角三角形，滿足條件. 綜上可知，拋物線上存在滿足條件的點P，且坐標為（1，-1），（2，1）.

（方法二：幾何視角）①如果AC為直角邊，且點C為直角頂點. 延長BC至點P1，使得P1C=BC，則所得的△ACP1為等腰直角三角形. 過點P1作x軸的垂線，垂足為M. 因為CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，所以△MP1C≌△DBC. 所以CM=CD=2，P1M=BD=1. 于是可確定點P1的坐標為（1，-1），此時點P1在拋物線上，滿足條件. ②如果AC為直角邊，且點A為直角頂點. 過點A作AP2⊥CA，且使AP2=AC（點P2在y軸右側），則所得的△ACP2為等腰直角三角形. 再過點P2作y軸的垂線，設垂足為N，同理可證△AP2N≌△CAO，所以AN=OC=1，NP2=OA=2. 于是可確定點P2的坐標為（2，1），此時點P2在拋物線上，滿足條件. 綜上可知，拋物線上存在滿足條件的點P，且坐標為（1，-1），（2，1）.

■ 總結歸納

上述問題結合等腰直角三角板，以其為基礎構建了二次函數. 上述求解第（3）問時，從函數解析和幾何推理兩大視角進行了假設論證，總體上采用“假設→驗證”的策略.

1. 思路構建

函數解析時通常的做法是延長線段，作平行線或垂線，利用直線與曲線相交來確定動點的位置，然后聯立直線與曲線的方程確定動點坐標. 直線解析式的求解通常利用已知點的坐標，借助斜率與幾何關系的關聯來構建，一般的思路為“構形→函數定點→特性驗證”. 幾何推理法則側重幾何特性推導，直接構建相應的等腰直角三角形，利用相似、全等來求解相關的線段長，從而確定動點的坐標，后續只需確定動點是否位于曲線上即可，即一般思路為“構形→特性定點→函數驗證”.

2. 解析步驟

函數與幾何法是探究函數動點等腰直角三角形存在性問題的兩大有效策略. 實際解析時可以綜合使用，即利用數形結合的方法，利用幾何特性，推導動點位置，借助函數解析確定動點坐標，該方式可有效排除干擾，減少討論內容，具體步驟如下.

第一步——動點假設：假設圖像中存在滿足條件的動點.

第二步——設定分類：根據題干信息確定可能出現的情形.

第三步——動點定位：作圖構形，利用直線、曲線的相交確定動點的大致位置.

第四步——確定坐標：采用數形結合的方式，綜合函數與幾何方法進行條件轉化，求解動點坐標.

第五步——驗證猜想：驗證所求動點是否滿足條件，可利用兩種方法驗證，即，一，滿足幾何特性的點是否位于直線與曲線上;二，位于直線或曲線上的點是否滿足幾何特性.

■ 教學反思

函數動點特殊三角形存在性問題有著極高的教學價值，有助于學生融合知識，提升能力，下面提出幾點教學建議.

1. 歸納問題特點，探尋問題本質

涉及函數動點的特殊三角形問題是拋物線、直線、幾何相結合的重要表現形式，該類問題往往借助動點來構建特殊的三角形，具有函數與幾何相融的特點，其中點的坐標是串聯兩大知識模塊的紐帶. 在教學中，教師要引導學生深刻認識問題中函數與幾何相融的本質，歸納特殊三角形的性質特點，總結兩大知識聯系緊密的性質、定理，如勾股定理、三角形相似性質、銳角三角函數知識等，幫助學生奠定該類問題求解的知識基礎.

2. 總結問題解法，形成解題策略

上述所探究的問題屬于函數與幾何相結合的典型代表，其解析方法具有一定的研究價值，其中的函數解析與幾何推理方法是常見的突破思路，實際上也是問題條件轉化的基本策略. 教學中，可引導學生總結兩種方法的解析特點，從函數與幾何的聯系點出發，總結解題思路，幫助學生形成數形結合解析思維. 實際教學中，可采用一題多解的方法設置典型例題，從不同的視角開展問題探索，使學生深刻認識問題，形成解題策略.

3. 滲透思想方法，提升數學思維

函數與幾何綜合題同樣也是對數學思想的考查，因此，教學中需要合理滲透思想方法，使學生體驗利用思想方法探究問題的過程. 如上述綜合題教學中，需重點滲透數形結合思想、分類討論思想、數學建模、化歸與轉化思想，通過數學建模降低思維難度、設定分類標準，綜合轉化思想來轉化條件，構建解題思路. 教學過程中重視知識與方法相融，思想與思維激發，利用思想方法教學來拓展學生的視野，提升學生的思維.