《認識二元一次方程組》起始課的分析與思考

鐘喜

本文以《認識二元一次方程組》為例介紹章節起始課的一種設計思路，實踐表明，該設計可以較好地幫助學生初步建立起章節的內容框架，體會本章節的核心數學思想和通性通法，培養良好的數學思維方式與品質。

一、感悟核心背景，探索素養教學

數學要發展學生的數據分析、數學抽象、邏輯推理、數學建模 、數學運算等核心素養，學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界。基于核心素養下的章節起始課要求教師要提綱挈領地呈現出本章的結構性知識鏈，抓住知識的本質，創設合適的教學情境，引發學生的深入思考，將抽象的知識通俗地講解出來并幫助學生提煉出學習本章后續幾節內容的規律和常用方法。

二、初探課例教學，融入數學素養

筆者在2019年廣東省鄉村骨干教師能力提升高端研修班（初中數學）跟崗學習期間，上了一節《認識二元一次方程組》的示范課，得到廣東省名師吳有昌教授的點評和指導，我深刻地意識到章節起始課教學中數學知識的整體性與通性通法的重要性。現以課例為起點對《基于數學核心素養下起始課的教學》做一個深入探討。

（一）類比建模，挖掘知識關聯性，培養數學建模素養

數學知識往往是以結果的形式呈現出來的，然而數學教學更重要的是要向學生展示“結果”背后的過程。

1.情境引入

題目：昨天，我們8個人去紅山公園玩，買門票花了34元，每張成人票5元，每張兒童票3元，他們到底去了幾個成人，幾個兒童呢？

分析：如果設去了x名成人，則去了（8-x）名兒童。

根據題意用已學的知識列出方程？

5x+3（8-x）=34

師：請問這是一個什么方程？具有什么特征？

生：一元一方程，只含有一個未知數，并且未知數的次數為1。

師：題中含有兩個未知量且題中存在兩個等量關系，能否大膽嘗試設出兩個未知數？

生：設去了x名成人，去了y名兒童。

師：根據等量關系列出方程。

設計意圖：這節課是由一元一次方程進入二元一次方程的起始課，學生對一元一次方程的概念、解法以及應用都非常熟悉，所以利用類比一元一次方程的學習方法引入二元一次方程，并設計一題多解的方法，向學生呈現二元一次方程較一元一次方程的優越性，從而激發學生學習二元一次方程的欲望，使學生體會到知識的相連性，進一步培養和發展學生的方程思想，提升數學建模能力。

2.探究新知

師：這兩個方程x+y=8、5x+3y=34具有什么特征？

生：具有兩個未知數、并且未知數次數為1。

師：獨立思考，小組討論1分鐘，類比一元一次方程概念，說說二元一次方程的概念。

設計意圖：通過讓學生觀察、探索、類比得出二元一次方程的概念，把課堂交還給學生，充分體現學生自主學習的能動性。

（二）遷移應用，創新學習模式，培養數學運算與邏輯推理素養

弗萊登塔爾強調，學生將所學知識“數學化”，即對知識的“再創造”，在這個過程學生可以自己發現、創造，進而得出結論，并且學生有著較大的自主性，可以發展各種不同的數學思維和數學方法。

1.請每位同學寫一個關于x、y的二元一次方程;

2.同桌兩人把所寫的二元一次方程聯立起來;

設計意圖：設計課堂活動讓學生編題，把編寫的二元一次方程聯合起來“創造”出二元一次方程組，并且所編的題目將貫徹整一節課的教學，大大地提升了課堂設計的嚴謹性。

3.師：回憶一元一次方程的解？

生：使得一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值。

師：類似地，你知道二元一次方程的解嗎？

練習：試試尋找二元一次方程x+y=8的解

設計意圖：此處設計由一元一次方程的解遷移到二元一次方程的解，目的在于讓學生體會到可以類比一元一次方程的學習方法開展對二元一次方程的學習，滲透類比的數學思想。練習的設計目的在于說明二元一次方程的解由兩個量（x，y）組成，并且通過取正數、負數、零、整數、分數等解順應學生的心理特征，從而引導學生體會二元一次方程有無數組解。

4.請每位同學寫出手上二元一次方程的幾組解，并嘗試找找一組x、y同時適合同桌兩個方程（安排5分鐘讓學生同桌兩人合作尋找公共解）。

設計意圖：以學生的“學”為出發點，將“自主探究、合作交流”的學習方式貫穿于始終，從注重課堂整體性的高度，讓學生作為課堂的主人充分體會合作學習的魅力，學會數學學習的方法，培養良好的情感態度價值觀。

（三）整章預覽，感悟數學思想，培養數學抽象素養

數學核心素養強調，只有用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，才能真正幫助學生學好相關的數學知識。數學章起始課中的思想內涵是極為豐富的，我們不僅要重視知識和技能的傳授，還要引導學生深度理解內容深層隱藏的數學思想方法和思維方法，滲透數學文化等隱性知識，為后續內容的學習打好基礎、做好鋪墊。

1.課堂小結

以表格的形式列出一元一次方程與二元一次方程的異同。你學到了哪些新知識？哪些數學思想方法？

設計意圖：在課堂小結的環節意在在總結反思中，提高學生的學習效率，促進良好的數學學習習慣和方法的養成。首先，由學生自己對本節課所學知識進行歸納總結，在課堂展示后在通過師生共同評價修正，從而幫助學生建立整體性的認知框架，完善認知結構。其次，對課堂中出現的數學思想方法及時的進行總結提煉，使學生認識到數學思想方法在數學學習的中重要價值和作用，使得學生的數學認識上升到一個新的高度。

2.課后思考與作業

課后思考：根據課本103頁老牛和小馬的對話——

a.分別列出一元一次方程與二元一次方程組，再次體會兩種方法妙處;

b.求出一元一次方程的解，觀察是否適合二元一次方程組，并思考如何求方程組的解。

課后作業（其中①②題為必做題，③④題為選做題）：

①在下列中，哪些是二元一次方程x-3y=1的解？

④明從郵局買了面值50分和80分的郵票共9枚，花費63元，則小明買了兩種郵票各幾枚？

教學設計意圖：針對學生的實際學情對教材做了大膽處理，把課前的情境引入放在課后思考讓學生分別從一元一次方程和二元一次方程組的角度體會兩種方式的妙處，并嘗試把一元一次方程方程的解代入二元一次方程組，尋找兩者之間的聯系，同時為下一節課消元法解二元一次方程方程組埋下伏筆。

三、反思教學設計，深究課堂模式

本課例從方程的角度，二元一次方程是一元一次方程方程的深化和延伸，二元一次方程在一定程度上都可以轉變成一元一次方程來解決。從函數的角度，二元一次方程可以看做是一種特殊的一次函數，二元一次方程的圖形表示的是點的運動軌跡。而一次函數圖像表示的是x，y通過圖像的依賴關系。當兩直線相交時對應二元一次方程組有唯一的解，當兩直線平行時對應方程組無解，當兩直線重合時對應方程組有無數組解。在教學過程中，應重視數學知識之間的關聯性，通過知識間的關聯性來培養學生舉一反三的能力，逐步培養學生良好的數學思維能力，學會用數學思維分析問題和解決問題。

數學核心素養提倡高效的智慧課堂以學生的自主性、探究性、合作性學習為主體，師生共同合作實現教學目標。教學過程由“教”變為“導”，教師要放手教學，讓學生大膽去編題、組題參與課堂學習。

總之，在教學中，教師要善于營造良好的學習氛圍，激發學生的求知欲望，創造條件讓學生充分參與學習活動，發揮學生自主能動性，要注意學生的學法指導，培養學生自主獲取知識的能力，使學生學會知識、學會方法、提升能力以及培養良好情感價值觀，只有這樣，學生的自身數學素養才能得到更好的提高，才能讓學生獲取更主動的發展空間。

責任編輯 韋英哲