關于教材中三角形有關內容探索活動的設計研究（一）

劉慧 劉憲升

[摘要]比較研究現(xiàn)行教材中關于三角形的穩(wěn)定性及三邊關系探索活動，得出大部分教材沒有揭示三角形穩(wěn)定性探索活動的表現(xiàn)形式或實質，且三角形三邊關系探索活動的設計有的不完備，思維含量都較低;指出了探索活動大都存在機械式的操作和浮于表面、流于形式的問題;提出了引導學生通過積極動腦進行探究比機械式的操作探究更為重要的觀點。

[關鍵詞]三角形;穩(wěn)定性;三邊關系;探究

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0004-05

三角形是平面幾何的重要內容，它是學習多邊形的基礎。由于三角形內容比較簡單，易于操作，故各版本教材在編寫時都注重了有關探索活動的設計，體現(xiàn)了新課改的教育理念，展現(xiàn)了數(shù)學知識的形成過程。然而，研讀、分析教材中探索活動的設計，以及教學實證研究后發(fā)現(xiàn)：有的探索活動沒有必要;有的探索活動缺乏啟發(fā)性，變成了單純的機械操作;有的探索活動沒有揭示知識所蘊含的實質;有的探索活動很難完成，等等。這不僅影響了教學效率的提高和教學目標的實現(xiàn)，還嚴重束縛了學生的思維。因此，有必要對各版本教材中三角形有關內容的探索活動做一比較研究。

小學階段三角形的主要內容有三角形的有關概念及分類、穩(wěn)定性、三邊關系、內角和及其面積。綜觀國內現(xiàn)行各版本教材，滬教版教材沒有編排三角形的三邊之間關系與內角和，三角形的概念和分類編排在二年級，三角形的穩(wěn)定性和面積則編排在五年級第一學期;其他版本教材都將三角形的有關內容安排在第二學期，三角形的有關概念、穩(wěn)定性、三邊關系與內角和都安排在四年級第二學期;三角形的面積安排在五年級第一學期。本文先對三角形的穩(wěn)定性和三邊關系的探索活動做一探討。

一、三角形穩(wěn)定性探索活動設計的比較與分析

關于三角形的穩(wěn)定性探索活動的設計比較簡單，西師大版教材沒有編排;除蘇教版教材（圖1）將其安排在閱讀內容中外，其他版本教材都將其作為課堂教學內容。

1.探索活動的設計比較

關于三角形穩(wěn)定性探索活動，設計的都是動手操作實驗，但是實驗的方法和得到的結果并不相同。滬教版教材（62頁截圖;圖2）讓學生用三根小棍首尾相接圍成一個三角形，再想一想并實驗能否用這三根小棍圍成其他形狀的三角形，獲得的結論是：“三角形的三條邊確定了，它的形狀、大小也就完全確定了。”但沒有明確指出這是三角形的穩(wěn)定性。其他版本教材都是用三根木條（木棒、小棍等）做成一個三角形的框架，然后拉一拉，引導學生發(fā)現(xiàn)結論。除蘇教版教材（圖1）外，其他版本教材還設計了四邊形或五邊形的框架，引導學生對比后發(fā)現(xiàn)結論，這點還是很好的。

從實驗的結果或得到的結論來看，蘇教版教材明確指出了三角形的穩(wěn)定性，也就是“當一個三角形的三條邊的長度確定后，這個三角形的形狀和大小就不會改變”。北師大版教材（圖3）和冀教版教材（圖4）實驗得到的就是穩(wěn)定性，當然隱含著形狀不變;而青島版教材（圖5）通過指出四邊形框架一拉就變形，凸顯拉三角形框架不變形，得出三角形的穩(wěn)定性。浙教版教材（圖6和圖7）明確指出了“用三根木條釘成一個三角形，用力拉，這個三角形不會變形。這是三角形的穩(wěn)定性”。只是敘述中“釘成一個三角形”改成“釘成一個三角形框架”就更嚴謹了。而人教版教材（圖8）先設計了用3根和4根小棒擺三角形和四邊形，得出用3根小棒只能擺出一種形狀的三角形，再通過四邊形框架一拉就變形，凸顯拉三角形框架不變形，進而得出三角形的穩(wěn)定性。

2.探索活動的設計評析

可見，雖然都是探討三角形的穩(wěn)定性，但得到的結果或對穩(wěn)定性的認識是不同的。其實，關于三角形的穩(wěn)定性從穩(wěn)定二字來說當然是三角形的框架拉不動，可起到穩(wěn)固物體的作用，但是從其表現(xiàn)形式來說，還應該有三角形框架的形狀和大小是不變的或完全確定的，即當一個三角形的三條邊的長度確定后，它的形狀和大小就是確定不變的。可是，眾多教材中，明確指出或得到這一結論的只有蘇教版教材和滬教版教材，其他版本教材僅僅得出或隱含著“形狀不變”，令人非常遺憾！當然，有的人可能認為這沒有多大區(qū)別，更沒必要吹毛求疵。其實不然，這一結論粗看起來是三角形穩(wěn)定性的外在表現(xiàn)形式，然而其蘊含的卻是初中所學的極為重要的——兩個全等三角形三對對應邊相等（三角形全等的判定定理）這一實質。

另外，有的教材語言敘述欠嚴謹。如，浙教版教材（圖6和圖7）中出現(xiàn)了用木條釘成圖形，而釘成的應該是某種圖形形狀的框架;青島版教材（圖5）中出現(xiàn)的拉三角形和四邊形，應該是拉三角形框架和四邊形框架;人教版教材（圖8）中“擺出的都是一種三角形”，也應該改成三角形框架，并且這里的“一種”存有歧義，是表示完全一樣的三角形？還是同一種類型的三角形？

由此可見，探索活動大多是流于形式的操作活動，能達成的也就是讓學生忙忙活活、熱熱鬧鬧地樂呵一頓，實現(xiàn)所謂的活躍課堂氣氛。眾所周知，操作活動只是探索活動的一種輔助手段，只有讓學生動腦且觸及知識實質的探索才有意義。

二、三角形三邊關系的探索活動設計比較分析

綜觀各版本教材，關于三角形任意兩邊之和大于第三邊這一知識點，滬教版教材上沒有編排，只是在二年級第二學期給出擺三角形的活動，但沒有明確指出這一三邊關系。其他版本教材都設計了探索活動，下面做比較分析。

1.探索活動比較

各版本教材設計的探索活動，無一例外都是先給出一組或幾組有確定長度的材料（紙條、小棒、吸管等）讓學生操作，看看能否擺（搭或圍）成三角形，并進行探究。但從給出材料的長度看，有的包含任意兩根長度之和大于第三根長度的情況;有的包含兩根長度之和小于第三根長度的情況;有的包含兩根長度之和等于第三根長度的情況。具有這三種情況的教材有：人教版教材（圖9）、北師大版教材（圖10）、青島版教材（圖11）、浙教版教材（圖7）。這屬于對不同類型三角形的完全歸納，得到的結論是正確的。

值得指出的是，青島版教材還列出了不能圍成三角形的兩邊之和與第三邊的大小的式子（38頁截圖;圖12），通過與能圍成的形成對比，可使學生更深刻地認識三角形任意兩邊之和大于第三邊的關系;浙教版教材難能可貴的在73頁（圖13）提出了“為什么”的問題，而且是眾多教材中唯一提出的，這促進了學生的動腦思考和知識的內化。

而冀教版教材（圖14）、蘇教版教材（圖15）給出的材料只包含前兩種情況，不包含兩根長度之和等于第三根長度的情況，屬于不同類型三角形的不完全歸納，所得的結論未必正確。蘇教版教材雖然在78頁（圖16）提出了“如果三根小棒的長度分別是8厘米、5厘米和3厘米，能圍成三角形嗎？為什么？”的問題，但這可以看成是結論的應用，因為5+3=8（厘米），所以圍不成三角形，這不足以彌補教材設計的缺陷。

西師大版教材37頁（圖17）給出的是讓學生“把一根吸管任意剪成三段”，嘗試能否圍成三角形的問題。這很容易將學生引導到想辦法圍成三角形的問題上，學生做的可能只有圍成三角形情況的，兩段之和等于第三段的情況很難出現(xiàn)，要做到完全歸納是很難的。再者，西師大版教材還要求學生測量剪成的三段的長度，且精確到毫米，難道本節(jié)課的內容是學習測量長度？這有點本末倒置。

2.探索活動的設計評析

關于三角形三邊關系探索活動的設計，從操作材料來看，有的教材沒有給出全部的三種情況，屬于不完全歸納，得出的結論僅僅是猜想而已，缺乏嚴謹性。其實，更重要的是，除浙教版教材外，其他版本教材探索活動的設計僅僅停留在機械式操作的層面，沒有與已經(jīng)學過的“兩點之間所有連線中，線段最短”聯(lián)系起來，不能夠促進學生積極動腦思考，探究過程的思維含量太低。其實，為了讓學生應用已學知識積極動腦探究，一些機械式的操作都可以不要，這樣還能節(jié)省時間，提高教學效率。

綜上，探索活動偏重于機械式的操作活動的設計，有浮于表面和流于形式之感，這也是現(xiàn)行教材中存在的較為普遍的現(xiàn)象。這樣的探究缺乏對探究對象實質的深入揭示，缺乏對探究對象含義的深入挖掘，更不能促進學生動腦思考，何談開發(fā)學生的潛能？其實，建立在學生已有知識經(jīng)驗的基礎上的活動，讓學生通過積極動腦進行探究比機械式的操作探究更為重要。因為，這不僅能促進學生養(yǎng)成動腦習慣，發(fā)展其思維能力，還可促進學生對知識實質的把握與內化。希望以促進學生動腦為主的探索設計更多地出現(xiàn)在教材或課堂教學中。

（責編 金鈴）