再議加法交換律和結(jié)合律

劉裕良

[摘要]加法交換律和結(jié)合律是四則運(yùn)算里的基礎(chǔ)定律，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)簡算奠定了理論基礎(chǔ)，但是，加法結(jié)合律與交換律之間卻有著微妙的關(guān)系，要想徹底厘清兩者，需要從定義開始追溯。

[關(guān)鍵詞]加法;乘法;結(jié)合律;交換律;算序

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0056-02

筆者閱讀《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2012年第7、8期刊登的崔海華老師的論文《厘清思考原點(diǎn) 關(guān)注運(yùn)算順序》（以下簡稱“崔文”）和2013年第12期杜欽坤老師的教研論文《惹禍的括號》（以下簡稱“杜文”）后，感慨良多。在經(jīng)年累月的執(zhí)教生涯中，上述崔老師和杜老師憂思的問題隨處可見，同事也經(jīng)常為此爭得面紅耳赤。下面筆者就談?wù)剛€人淺見。

一、運(yùn)算律引起的辯論

問題爭論的焦點(diǎn)集中在三個題目上。

【例1】25+38+75=（25+75）+38，在這個簡算變形中，運(yùn)用了（ ）。

A.加法結(jié)合律

B.加法交換律

C.加法交換與結(jié)合律

崔老師和杜老師一致認(rèn)為，這道簡算題單一地運(yùn)用了加法交換律，選項(xiàng)B是對的。而崔文中又補(bǔ)敘：“假若堅(jiān)持認(rèn)為使用的是加法結(jié)合律，簡算過程的確改變了算序，即先求出第一個和第三個加數(shù)的和，再求出與第二個加數(shù)的和。然而，一、三兩個加數(shù)結(jié)合起來相加的同時(shí)，勢必調(diào)換了數(shù)序，客觀上38與75調(diào)換了次序。從主次來分，兩種運(yùn)算律的運(yùn)用，先用的是加法結(jié)合律，后用的是加法交換律，因此，若嚴(yán)格來講，必須設(shè)計(jì)這樣一個選項(xiàng)：加法結(jié)合律和加法交換律兩相結(jié)合。這樣看，選項(xiàng)C似乎有些勉強(qiáng)，因?yàn)樵~序顛倒。”作者的意思是，這個題目應(yīng)該這樣應(yīng)答：加法結(jié)合律和加法交換律。認(rèn)定B選項(xiàng)是沒辦法的辦法，因?yàn)樵}實(shí)在沒有如愿提供“加法結(jié)合律和加法交換律”這個選項(xiàng)。

【例2】（1）125×7×8=（125×8）×7=1000×7=7000;（2）125×7×8=7×（125×8）=7×1000=7000。這道題中，針對后一種簡算法，兩位作者提出的觀點(diǎn)與大多數(shù)教師的看法不謀而合，即先用乘法交換律，再用乘法結(jié)合律。出現(xiàn)分歧的是前一種算法，有觀點(diǎn)認(rèn)為單用乘法交換律，有觀點(diǎn)認(rèn)為乘法交換律和乘法結(jié)合律兩者并用，而上述兩位作者則堅(jiān)持單用乘法交換律的觀點(diǎn)。杜文指出：業(yè)界之所以普遍認(rèn)定第一種方法綜合運(yùn)用了兩種運(yùn)算律，是因?yàn)橐驍?shù)7和因數(shù)8交換位置后，125和8用上了括號，假如不帶括號，就是依序計(jì)算，添加括號就標(biāo)志使用乘法結(jié)合律，“難道是括號在作怪？”前種簡算法下，7和8交換位置后，先算125×8是自然順序，是通則，四則運(yùn)算的自然順序不含結(jié)合律，因此只有交換作用，沒有結(jié)合作用;在（a×b）×c=a×（b×c）中，就算左邊的式子無括號，仍不改變先算a×b的既成事實(shí)，左邊式子中的小括號起到強(qiáng)調(diào)重申先算的作用。

二、數(shù)序變而算序不變

【例3】23+（45+55）=（45+55）+23運(yùn)用了什么運(yùn)算定律？

崔文得出結(jié)論：這道題綜合運(yùn)用了加法交換律和加法結(jié)合律。論據(jù)有三：三個加數(shù)的順序發(fā)生巨大變化，全部調(diào)整，因此，交換律是不言而喻的;再看算序，雖然都是先算（45+55），但是，左式中，它們分處2、3位，在右式中，分處1、2位，顯然，排序發(fā)生變化，因此兩種運(yùn)算定律都運(yùn)用其中。如果先分析算序，先相加后兩數(shù)，則變成了先相加前兩數(shù)。因此，毫無疑問用到了加法結(jié)合律，而與此同時(shí)，三個數(shù)的數(shù)序打亂了，由此交換律也不可避免非用不可。不管從哪方面說，加法的兩個運(yùn)算律赫然在列，一個都省不了。”杜文認(rèn)為：“宏觀看，兩種運(yùn)算律兼而有之。”給出的論據(jù)是：“23+（45+55）=（45+55）+23，不僅三個數(shù)的次序統(tǒng)統(tǒng)打亂，而且先求和的（45+55）的次序也由二、三位遞進(jìn)為一、二位，算序發(fā)生改變，因此兩者都用到。兩種運(yùn)算律息息相關(guān)，是第一種變化附帶導(dǎo)致第二種改變，算序變化是數(shù)序變化引起的副反應(yīng)、副產(chǎn)物，可以不必糾結(jié)，其實(shí)左右兩個式子，算序都是45+55優(yōu)先，并沒有被其他的算式捷足先登，算序未變，從宏觀層面看，單用了加法交換律。”為了證明這一點(diǎn)，先來回顧乘法交換律和乘法結(jié)合律的定義。（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積保持不變，用字母表達(dá)式表示就是a×b=b×a。（2）乘法結(jié)合律：三數(shù)相乘，先求出前兩個數(shù)的積，再計(jì)算與第三個數(shù)的積，或者先求出后面兩個數(shù)的乘積，再計(jì)算與第一個數(shù)相乘的積，結(jié)果不發(fā)生改變，用字母表達(dá)式表示就是（a×b）×c=a×（b×c）。加法交換律和結(jié)合律與乘法的類似，不再贅言。通過溫習(xí)舊知，需要重申以下幾點(diǎn)：（1）結(jié)合律中左式中的括弧，對算序沒起作用，只是為了美觀對稱，書寫時(shí)一般不輕易省掉;（2）隨著數(shù)域的擴(kuò)展，公式的字母可以表示各種數(shù)型，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均無不可，當(dāng)然，這些字母既能代表數(shù)值，也可表示一個抽象的式子;（3）交換律只改變數(shù)序，不改變計(jì)算順次;（4）結(jié)合律的作用僅僅是改變算序，而不改變數(shù)序。下面就按此邏輯來研磨上述三題。在例1中，左式預(yù)定的是求三個數(shù)的和，按照正常順序，要求出25+38的和值63，再用這個和值63與75求和，得到138。而右式（25+75）+38是左式變換之后得到的，變形經(jīng)過是這樣的：25+38+75=25+（38+75）（運(yùn)用了加法結(jié)合律）=25+（75+38）（括號里運(yùn)用了加法交換律）=25+75+38（去括號）=（25+75）+38，因此這道題綜合運(yùn)用了兩種定律。流行觀點(diǎn)認(rèn)為，最后一步用到結(jié)合律，筆者不敢茍同，此處沒有運(yùn)用任何定律，只是按正規(guī)程序計(jì)算，是對加法結(jié)合律書寫美觀需要所致，是習(xí)慣問題;第一步才是結(jié)合律的落腳點(diǎn)，一般情況下，這一步被自動忽略了。這里，的的確確使用了加法結(jié)合律，但這也僅僅屬于38和75的結(jié)合，而絕非崔文所言第一個和第三個加數(shù)結(jié)合。38和75先結(jié)合起來，再交換位置，兩種運(yùn)算律使用上有先后之別，卻無主次之分。

三、加括號原為對稱美

對于例2（1），筆者覺得邏輯應(yīng)該是這樣的：125×7×8=125×（7×8）（運(yùn)用了乘法結(jié)合律）=125×（8×7）（運(yùn)用了乘法交換律）=125×8×7（去括號），之后原式=（125×8）×7=1000×7=7000，所以這道題依然是綜合運(yùn)用了兩種運(yùn)算律。在例2（2）中，顯現(xiàn)的是粗線條，而不是整個來龍去脈，但是不能因?yàn)槌鍪玖舜志€條而曲解它，其中（125×8）×7一步，將前面兩個因數(shù)括起來，有人就想當(dāng)然覺得是用了乘法結(jié)合律。正如前文所言，是為了造成美觀效應(yīng)，按照慣例行事，與運(yùn)算律一概無關(guān)，說是括號引起的誤會，實(shí)在是冤枉了括號。對于例3，崔文提出，這道題是合用了兩種運(yùn)算律，在引言中，作者是站在三個數(shù)的視角來探析;杜文也是如出一轍，分析后說：“……，所以運(yùn)用了交換律和結(jié)合律……”最后又說：“宏觀來看，單獨(dú)使用了乘法交換律。”這段話讓人摸不著頭腦，莫名其妙。前后矛盾的說法，讓人無所適從。其實(shí)這個問題也很好解釋：23+（45+55）不應(yīng)視為三個數(shù)，而應(yīng)該把（45+55）視為一個數(shù)，也就是一個基礎(chǔ)的加法算式（因?yàn)樵街邪?5+55括起來，已然是一個整體），在這里就只涉及加法交換律，沒有其他。看成三個數(shù)，是站不住腳的，沒有看透加法運(yùn)算本質(zhì)，浪費(fèi)時(shí)間，最后走進(jìn)迷宮，只有原地打轉(zhuǎn)，無法逃脫。

以上是筆者個人的分析，望能拋磚引玉，引發(fā)廣大教師更深入的探討。

（責(zé)編 黃春香）