借助對稱思想，優化幾何問題求解

江蘇省南通市海門實驗學校 卞海新

高中數學幾何問題不僅包含了數學的代數美，更容納了數學的幾何美，幾何問題對稱思想就是一種兼具美學和實用價值的解題方法，對稱利用得巧、利用得妙，將使得問題解決又快又好。在平面解析幾何問題中，對稱問題就是其中一種十分常見又重要的問題。認真分析對稱結構，掌握對稱問題的解題技巧，可以很好地實現問題的解決。

一、求解參數取值

幾何中會涉及一些軌跡方程中求解參數的問題，一般需要借助點的坐標，并將坐標代入求解。但當題意未直接告知點的坐標時，則需要借助題目信息進行分析、判斷。

例1：已知圓C：x2+y2+2x+ay-3=0（a為任意實數），且任意屬于該圓C的點關于直線l：x-y-2=0 的對稱點均位于該圓上，試問a=_。

二、求解軌跡方程

軌跡方程是幾何中一個十分重要的要素，通過軌跡方程可以判斷曲線的類型和有關性質等內容，反過來，借助已知信息也可以求解軌跡的方程表達式。

反思：按照常規的解法，已知點P坐標，可以先設出過點P的弦的點斜式方程，并與橢圓方程聯立，再結合中點坐標以及韋達定理和斜率等知識進行求解。思路很清晰，但在具體操作過程中，求解過程相對煩瑣和復雜。

三、攻克最值問題

幾何中的最值問題，可以借助函數的幾何意義進行轉化與求解，也可以將最值問題轉化為切線問題。每種解決方法都有自己最佳的使用范圍和條件，因此，當有對稱性的幾何中問題涉及最值時，不妨從對稱的角度去思考。

例3：對于圓O：x2+y2=4，已知點P為該圓上的任一動點，假定動點P相對于x軸及y軸的距離之和為a，試求a的最大值。

反思：針對此類動點類問題，尤其是涉及圓形時，不妨嘗試采用幾何對稱思想求解。以本題為例，構造直線l：y=x，得到點P的對稱點，將距離和問題轉化成直角梯形中線取值求解，取代學生首選的代數法求最值。

總之，把握對稱思想的本質，挖掘題目中潛在的對稱信息，借助對稱的特性實現復雜問題簡單化、煩瑣問題極簡化，出奇制勝，降低問題的難度，最終實現巧妙解題。因此，在解決幾何問題中，將對稱思想化成意識內容，以便在需要時迅速提取。