高中數(shù)學(xué)最值問題題型與解法微探

江蘇省海門中學(xué) 曹 鋒

一提起高中數(shù)學(xué)最為“眼熟”的試題類型，就肯定會(huì)想起“最值問題”。無(wú)論是考試還是平時(shí)練習(xí)，最值問題都會(huì)以不同的方式“為難”學(xué)生，讓學(xué)生猶如“啞巴吃黃連”。高中數(shù)學(xué)教學(xué)通常以知識(shí)模塊為基準(zhǔn)，全面系統(tǒng)地講解一種類型問題的課時(shí)很少，缺乏對(duì)最值問題的全面認(rèn)識(shí)是學(xué)生失分的重要原因，因此教學(xué)需要高度重視。

一、巧解函數(shù)最值問題

函數(shù)的最值問題對(duì)于學(xué)生而言并不陌生，甚至是“家常便飯”的存在。在高中數(shù)學(xué)試題中，函數(shù)最值問題既能以填空題形式考查學(xué)生，也會(huì)在簡(jiǎn)答題中出現(xiàn)。不同類型函數(shù)的最值問題有相對(duì)應(yīng)的解題思路和方法，掌握常見的解題方法是最基本的要求，也是提高解題能力的基礎(chǔ)。

例1：已知函數(shù)f（x）=2x+2-3·4x，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值。

思考：求不典型函數(shù)解析式的最值，首先要將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)解析式，再進(jìn)行求解。該題可以采取配方法，轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)解析式后進(jìn)行求解。

二、細(xì)說數(shù)列最值問題

有關(guān)于數(shù)列的最值問題一般在解答題中“現(xiàn)身”，常見的形式有求解數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列最大或最小的項(xiàng)以及數(shù)列恒成立問題。面對(duì)數(shù)列最值問題的解答，不妨采取函數(shù)法或不等式法轉(zhuǎn)化，以熟悉的方法進(jìn)行求解。采取相應(yīng)的方法進(jìn)行解答時(shí)，要充分利用題目所給的條件。

例3：等差數(shù)列{an}中，已知a1＞0，前n項(xiàng)和為Sn，且S7=S13，求Sn最大時(shí)n的值。

思考：該題可以有多種解法，既可以用函數(shù)法求解，也可以從不等式角度解答，但要注意用不同方法進(jìn)行解答時(shí)，思路和步驟都要有所改變。

解析：（函數(shù)法）

三、深究幾何最值問題

平面幾何、立體幾何或是解析幾何都與最值問題有著密切的聯(lián)系，解答這些問題，除了要熟悉相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，還要掌握一些常見的解題思想，如導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法，其中，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，應(yīng)該得到學(xué)生的重視。

例4：已知正方體棱長(zhǎng)為2，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，以平面α截取正方體，所截得最大平面的面積為_。

思考：有關(guān)于幾何問題的最值，大部分需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答。求解該問題也要采取數(shù)形結(jié)合的方法，解題時(shí)不妨畫出滿足題意的立體幾何圖形，根據(jù)圖畫確定最大值問題，求出最值。

解析：如圖所示，由ABCDEF圍成的平面與正方體所有棱所成角相同，

總之，高中數(shù)學(xué)試題中的最值問題，可以與數(shù)列、幾何以及函數(shù)等許多知識(shí)內(nèi)容聯(lián)系在一起，其考查形式五花八門，試題難度也參差不齊。但通過對(duì)這些問題的歸納總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解答最值問題不僅要對(duì)這些題型十分熟悉，還要掌握常見的解題方法，養(yǎng)成把未知轉(zhuǎn)化為已知的良好思維方式。