排隊論在鋼鐵企業中的應用研究

梁素梅 陳娜

摘要：通過對鋼鐵企業中受鐵罐轉爐兌鐵作業物流過程的解析，在排隊論的基礎上，分別建立了轉爐兌鐵作業的單隊列和多隊列排隊系統;計算出兩種排隊系統的主要數量指標;并討論了轉爐數量對平均等待受鐵罐數（包括節省的）和受鐵罐平均等待服務時間（包括節省的）的影響。研究表明單隊列（M/M/N）的排隊系統可為鋼鐵企業物流優化提供理論參考。

Abstract： Based on the analysis of? hot metal charging ladle's operation logistics process in the iron and steel enterprises， on the basis of the queuing theory， the single-queue and multi-user queuing systems of hot metal charging ladle operation were established respectively; the main quantitative indicators of the two queuing systems were calculated. And it discussed the impact of the number of hot metal charging on the average waiting for the number of hot metal ladles （including savings） and the average waiting time for hot metal ladles （including savings）. Research shows that the single queue can provide theoretical reference for the steel enterprises' material flow optimization.

關鍵詞：高爐-轉爐區段;兌鐵;排隊論;M/M/N

Key words： BF-BOF region;hot metal charging;queuing theory;M/M/N

中圖分類號：F426? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）02-0105-04

0? 引言

隨著產鋼量的迅速增長，進一步節約能源，降低生產和經營成本，儼然成為各鋼鐵企業優先考慮的問題。鋼鐵企業中從總體上研究鋼鐵廠內部結構的新思路被不少有識之士提出，也就是說在開發和采用鋼鐵生產新技術的同時，從宏觀分析鋼鐵企業生產流程。從而可對鋼鐵企業流程進行整體優化和節能增效。鮮少涉及用數學方法分解和研究鋼鐵企業各物流環節。在此思路下本文通過對國內某大型鋼鐵企業中受鐵罐轉爐兌鐵作業環節進行物流分析，在排隊論的基礎上，分別建立了轉爐兌鐵作業的單隊列和多隊列排隊系統;計算出兩種排隊系統的主要數量指標;并對轉爐數量與平均等待受鐵罐數（包括節省的）和受鐵罐平均等待服務時間（包括節省的）關系進行討論。

1? 理論分析

1.1 受鐵罐轉爐兌鐵作業排隊系統

受鐵罐轉爐兌鐵作業實質上是一個排隊系統，其基本結構由受鐵罐、轉爐兌鐵和排隊規則三個部分組成。受鐵罐轉爐兌鐵排隊系統的主要成分是受鐵罐和轉爐。在此作業環節中，受鐵罐可看成排隊系統中的輸入過程，一開始受鐵罐在汽車的運輸或火車頭的牽引下成批到達各個調車場排隊等待調派到轉爐兌鐵，然后受鐵罐到達檢罐站排隊等待檢罐，受鐵罐車檢罐完后按隊列在轉爐處接受兌鐵。

1.2 單多隊列的排隊系統的數學指標

在受鐵罐轉爐兌鐵作業排隊系統中，“單隊列多轉爐兌鐵”的排隊方式即M/M/N（見圖1）：受鐵罐單個到達，相繼到達轉爐的時間間隔服從參數為λ的負指數分布;受鐵罐在每個轉爐的兌鐵時間服從參數為μ的負指數分布且相互獨立;共有N個轉爐對受鐵罐進行兌鐵。和“多隊列多轉爐兌鐵”的排隊方式是指N個M/M/1（見圖2）的排隊系統：只有一個轉爐對受鐵罐進行兌鐵時就是 M/M/1;N個M/M/1是指：有N個獨立的轉爐兌鐵（M/M/1）排隊系統。

通過上述排隊論的相關知識可知：表示系統M/M/1和M/M/N在t時刻的受鐵罐數。則{N1（t），t？叟0}，{N2（t），t？叟0}均是狀態有限的生死過程，平穩解存在[1，2]。假設受鐵罐泊松到達的參數是？姿，轉爐兌鐵時間參數是？滋，現在給出這兩種排隊系統的主要穩定態數學指標。

1.2.1 受鐵罐單隊多轉爐兌鐵排隊系統（M/M/N）

受鐵罐單隊多轉爐兌鐵排隊系統：受鐵罐單個到達，相繼到達轉爐的時間間隔服從參數為λ的負指數分布，此排隊系統中共有N個轉爐可以對受鐵罐進行兌鐵，每個轉爐兌鐵時間服從參數為μ的負指數分布且彼此獨立。一旦有受鐵罐到達，則空閑的轉爐就對受鐵罐進行兌鐵，不然則排成一個等待時間為無限的隊列等待兌鐵。其次對此排隊系統的平穩分布進行討論。對個數為N的多轉爐兌鐵排隊系統，有M/M/N：設轉爐兌鐵利用率為？籽，則？籽=;其中Pn（N=n）（n=1，2，3，…）表示當系統達到平衡狀態后，隊長N的概率分布。則當？籽<1時，受鐵罐單隊多轉爐兌鐵排隊系統存在平穩分布，記為P0，P1，P2…，可得此系統狀態的平衡（即輸入流=輸出流）方程為：

其中。由此可推導出此系統的主要的穩定態數學指標：

等待兌鐵的平均受鐵罐數：

平均受鐵罐數（包括等待的和服務的）：

受鐵罐平均等待時間：

受鐵罐的平均逗留時間：

1.2.2 受鐵罐多隊多轉爐兌鐵排隊系統（N個M/M/1）

單個轉爐兌鐵系統M/M/1：受鐵罐的相繼到達轉爐的時間服從參數為λ的負指數分布，轉爐兌鐵時間同樣也服從參數為μ的負指數分布，且轉爐臺數為一臺的空間無限允許無限排隊的最簡單的排隊系統。N個M/M/1是指：有N個獨立相同的M/M/1系統。

M/M/1：設兌鐵強度為？籽，則？籽=;=其中P0=1-？籽，n=1、2，…。當？籽<1時，此系統存在平穩分布，記為P0，P1，P2…，并推導出系統狀態的平衡方程為：（6

據此，主要的穩定態數學指標如下：

平均受鐵罐數（包括等待的和服務的）：

等待兌鐵的平均受鐵罐數：

每個受鐵罐平均等待時間：

每個受鐵罐的平均逗留時間：

1.3 單多隊列排隊系統主要數學指標對比

如果把到達的受鐵罐均勻分流到N個M/M/1/排隊系統中去，每個子流強度為，依然還是泊松流。現在比較N個單獨的轉爐兌鐵的排隊系統與具有N個轉爐兌鐵的排隊系統的主要數學指標。假設每個轉爐兌鐵率都是？滋，且？籽=<1。則有

①兌鐵強度。M/M/N系統？籽=。N個M/M/1系統？籽==，相同。

②轉爐兌鐵空閑概率。

因此。而M/M/1系統。從而M/M/N系統空閑概率小于N個M/M/1系統空閑概率。

③受鐵罐等待概率。

M/M/N系統受鐵罐等待概率為

但

所以 （11）

但是在N個M/M/1系統，系統受鐵罐排隊等待概率，根據上述得到N個M/M/1系統等待機會大。

④等待受鐵罐數。

M/M/N排隊系統 （12）

而N個M/M/1系統

得到N個M/M/1系統受鐵罐等待罐數多。

⑤受鐵罐數。

M/M/N排隊系統（13）

N個M/M/1系統平均受鐵罐數是M/M/N排隊系統受鐵罐數的N倍，

為（14）

但是 （15）

為N個M/M/1系統的受鐵罐數。

⑥受鐵罐等待兌鐵時間。

M/M/N系統受鐵罐平均等待兌鐵時間

而N個M/M/1系統? ? ??由（16）、（17）知，即M/M/N系統受鐵罐等待兌鐵時間短。

綜上六個方面比較：單多隊列排隊系統，在受鐵罐轉爐兌鐵作業中，除空閑概率P0外，單隊列排隊系統的其它主要數學指標都優于多隊列排隊系統的。然而受鐵罐多隊列排隊系統的空閑概率小，也就表明此系統的效力高，據此合營比單干產生的效益確實高一些。式（2）到式（10）的數學指標越小，那么排隊系統的性能反而會越好。式（2）到式（5）與式（7）到式（10）解析比較并結合上述六個方面得出前者優于后者，因此受鐵罐單隊列排隊系統比多隊列排隊系統更優。

2? 案例實施

某大型鋼鐵企業用受鐵罐“一罐到底”模式代替現有的“魚雷罐-兌鐵包”模式。據相關文獻報道[3]，用100t的受鐵罐來盛接鐵水，則也要用對應公稱容量為100t的轉爐，用一車3罐的方式來進行運輸。則受鐵罐泊松到達的參數？姿為3罐/時，那么受鐵罐到達時間間隔則服從平均時間為1/3時的負指數分布。受鐵罐轉爐兌鐵作業服從平均服務時間為15分鐘的負指數分布，即？滋為1/15罐/分鐘。

2.1 受鐵罐單多隊列排隊系統的主要數量指標

受鐵罐排隊系統主要由輸入過程（受鐵罐）、受鐵罐到達規則、受鐵罐排隊規則、轉爐結構、兌鐵時間以及兌鐵規則等要素來組成。在鋼鐵企業受鐵罐轉爐兌鐵作業環節中，受鐵罐單隊列M/M/N排隊系統：表示在此作業中的受鐵罐到達間隔時間（但參數一般不同）、受鐵罐服務時間服從負指數分布，且有N個轉爐的排隊系統;受鐵罐多隊列N個M/M/1表示受鐵罐到達間隔時間和服務時間均服從負指數分布且只有一個轉爐的排隊系統[1，2，4]。排隊系統的評價指標分為受鐵罐和轉爐兩方面。可用排隊時間、等待隊長、隊長、堵塞概率、排隊的概率等來作為判斷受鐵罐的主要數量指標。與轉爐相關的數量指標主要有轉爐利用率、排隊區利用率、受鐵罐兌鐵能力等。對雙方利益進行綜合考慮，通過對受鐵罐轉爐兌鐵排隊系統的主要數量指標（等待概率P、平均等待的受鐵罐數Lq、進入車軌的平均受鐵罐數Ls、每個受鐵罐在車軌內的平均逗留時間Ws和平均等待服務時間Wq以及轉爐兌鐵繁忙率/空閑率等）對排隊系統進行評價。用單多隊列排隊系統的主要數量指標對N=2（即轉爐臺數=2）進行計算，得到結果表1。

2.2 單多隊列排隊系統下轉爐數量對平均等待受鐵罐數Lq的影響

單多隊列排隊模式下，轉爐數量與平均等待受鐵罐數Lq的關系見圖3。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數量的增多，平均進入車軌中的等待受鐵罐數目越來越少;并且對于多隊列，隨著轉爐數量增多，平均等待受鐵罐Lq=2.25罐不變。

2.3 單多隊列排隊系統下轉爐數量對受鐵罐平均等待服務時間Wq的影響

單多隊列排隊模式下，轉爐數量與受鐵罐平均等待服務時間Wq的關系見圖4。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數量的增多，受鐵罐平均等待服務時間也越來越短;并且對于多隊列，隨著轉爐數量的增多，受鐵罐平均等待服務時間都是0.75h。

2.4 單隊列排隊系統下轉爐數量對節省的平均等待受鐵罐數Lq的影響

單隊列排隊模式下，轉爐數量與節省的平均等待受鐵罐數Lq的關系見圖5。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數量的增多，節省的平均等待受鐵罐數也越來越多，平均節省了0.87罐。

2.5 單隊列排隊系統下轉爐數量對節省的受鐵罐平均等待兌鐵時間Wq的影響

單隊列排隊模式下，轉爐數量與受鐵罐平均等待兌鐵時間Wq的關系見圖6。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數量的增多，節省的受鐵罐平均等待兌鐵的時間Wq也越來越短;并且對于多隊列，隨著轉爐數量的增多，平均節省了0.633h。

綜上所述，通過單多隊列中轉爐數量對平均等待隊長（包括節省的）和平均等待時間（包括節省的）的影響，受鐵罐單隊列多轉爐的排隊模型的各項數量指標（平均等待的受鐵罐數Lq、進入車軌的平均受鐵罐數Ls、受鐵罐在車軌內的平均逗留時間Ws和平均等待服務時間Wq等）明顯優于受鐵罐多隊列多轉爐的排隊模型。

3? 結論

通過對鋼鐵企業受鐵罐轉爐兌鐵作業環節的物流分析，構建其單多隊列排隊系統;在單多隊列排隊模式下，對轉爐數量對平均等待受鐵罐數（包括節省的）和受鐵罐平均等待時間（包括節省的）的影響進行討論，并得到以下結果：

①在數學解析方法（排隊論）的基礎上，通過實際鋼鐵企業中的受鐵罐轉爐兌鐵作業，對單隊列（M/M/2）和多隊列（2個M/M/1）排隊系統的主要數量指標進行分析，可發現單隊列排隊的排隊系統的各項數量指標都比多隊列排隊系統優。

②隨著轉爐數量的增多，單隊列排隊方式時平均等待受鐵罐數和受鐵罐平均等待服務時間得到了優化，節省的也越來越多，其分別平均節省了0.87罐和平均節省了0.633h。從而可為鋼鐵企業帶來直接的經濟和社會效益。

參考文獻：

[1]孫榮恒，李建平.排隊論基礎 [M].北京：科學出版社，2002.

[2]唐加山.排隊論及其應用[M].北京：科學出版社，2016.

[3]李亞軍.鋼鐵企業高爐——轉爐區段界面鐵水溫降研究[D].沈陽：東北大學碩士論文，2008.

[4]陸風山.排隊論及其應用[M].長沙：湖南科學技術出版社，1984.