喚醒“沉默的問題”

丁愛平

[摘 要]學生的頭腦中藏著“沉默的問題”，這些問題是學生最真實、最隱秘的數學思考，是非常值得關注的教學資源。教師應“潛”到學生思維深處，捕捉并點燃“沉默的問題”，讓學生自由暢想，增加數學學習的動力值，提高數學學習的方法值，提升數學學習的效能值。

[關鍵詞]沉默的問題;動力值;方法值

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0001-03

問題是數學的心臟。教師以問題驅動學生的學習向深度推進，但教師看到了學習單上的問題筆記，聽到了學生的提問，這些問題是否就是學生學習的全部真相呢？學生解決了這些問題是否就真的沒有問題了呢？

教學中經常會有一些學生的問題不容易被教師發現，因為得不到教師的關注，或者學生來不及思考，有的學生就將其放在自己的學習“暗箱”中，這類問題，我們稱之為“沉默的問題”。它具有以下幾個特點：一是兒童化，帶著鮮明的兒童特質，是兒童眼中的數學;二是個性化，提出問題的角度與眾不同;三是潛在性，不易察覺、隱而未發，容易被忽略;四是非結構化，問題是隨機生成的，具有跳躍性，呈散點狀分布。打開學生數學學習的“暗箱”，喚醒“沉默的問題”，有利于教師洞見學生思維的最深處，使學生開啟新的學習素材、新的學習方式，擁有“新”的發現，更有“心”的發現。

一、捕捉點燃“沉默的問題”，增加數學學習的動力值

有這樣一個故事：年輕的水手問老船長：“如果前方海面上有一個巨大的暴風圈迎面襲來，您將如何應對？”老船長說：“如果船頭掉轉180°返航，暴風圈在后面追船，只會延長船與暴風圈接觸的時間，非常危險。如果將船向左或右轉90°，會使船身增加與暴風圈接觸的面積，暴風雨一到，大半個船身都處在它的肆虐范圍之下，更加危險。只有一個辦法，就是不偏不倚地迎向暴風圈，沖過去！這樣可以使船與暴風圈接觸的面積最小，由于船的速度和暴風圈的速度組合在一起，也可以大大縮短船體與暴風圈接觸的時間，船很可能就能安全沖過暴風圈。”

1.審慎問題速抉擇，突出“快”而“準”

在課堂教學中，之所以有很多學生的問題被“沉默”，是因為教師面對即將席卷而來的思維風暴選擇了避讓。表面上看似乎獲得了安全感，實則錯失了一次讓學生經歷思維激烈交鋒的珍貴的學習體驗。學生的問題只在一瞬間閃現，教師要快速抉擇：說，還是不說？

例如，教材在“認識方程”的例2（如圖1）中編排的第二幅圖的天平下面寫著150。顯然，教材的意圖是希望學生通過觀察天平左邊的物體，寫出x+50=150，然后在若干式子的分類中揭示方程的含義（如圖2）。

筆者試教時，只出示了圖1的第二幅圖的天平圖，讓學生自由寫式子。絕大多數學生寫的是x+50=150，有幾個學生寫的是x=100，但他們認為x+50=150更有道理，也就沒有舉手提問。不提問，不代表沒有問題。

x=100這個式子到底是不是方程，教師一直有爭議：一種觀點認為它不是方程，雖然它符合教材上“含有未知數的等式是方程”的描述，但是它并沒有讓未知數x與已知數建立加減乘除的運算關系，它“沒干活”，所以它不是方程。另一種觀點認為它是一種特殊的方程，相當于x×1=100，確實在未知數和已知數之間建立了等量關系。

曾有專家把形如x=100的式子稱為“不好的方程”。既然問題來了，就沒必要選擇避讓，因為不準這個問題“開口說話”，在后續的列方程解決實際問題中還是會出現x=12+24這樣的“方程”。直面暴風圈，也許穿越暴風圈的時間更短。

當然，并非所有的學生的問題都要全班交流，如果與本節課的學習內容關聯不大，或者一時半會根本解釋不清，又或者容易強化負面信息的，均不宜在課堂上濃墨重彩，可以私下跟學生交流。關注“沉默的問題”，要突出“快”和“準”，反應太慢，如果學生自己疏于提問，教師也許會錯失寶貴的生成性資源。

2.分析問題說真話，突出“容”和“賞”

當學生的“沉默的問題”被喚醒，思維的暴風雨頃刻而至。對此，教師應以包容、欣賞的眼光組織學生思辨。

例如，當筆者呈現“x=100”后，有學生認為式子是錯的，天平的兩端明明有50克的砝碼，但是這個式子沒有寫進去。有學生反駁：“天平兩端都有50克的砝碼，索性抵消掉，x=100可以表示兩邊物體質量的大小關系。”“那么x=100是不是方程？”經過辯論，很多學生認同x=100是方程，只是這個方程“太瘦了”，它是從方程x+50=150“減肥瘦身”而來的，可叫它“瘦子方程”。

相比專家所說的“不好的方程”，筆者更喜歡學生命名的“瘦子方程”，因為它更有想象力和張力。方程就是在復雜的數量關系中尋找未知數與已知數之間的等量關系，有一些原始方程的結構很豐富，利用等式的性質通過一次次化簡，步步簡約，最終求得方程的解。在總結這場辯論時，筆者充分肯定了學生的思考，并且提出：“今天是第一次學習方程，方程的含義可不僅僅是‘含有未知數的等式這個形式上的意思，它強調一種等量、平衡的關系，順向思考，以后在解決實際問題的過程中慢慢體會。”

如果教師選擇屏蔽“沉默的問題”，學生的頭腦中雖有疑惑“我的答案怎么跟別人的不一樣？錯了嗎？”，但迫于教師往下推進教學環節而沒有提問的機會，那么這個問題極有可能被放進學習的“暗箱”中。如果學生的問題一次次地被忽視，學生探索的勇氣、學習的興趣和自我的發現與確認將會喪失。每一個學生都渴望被關注、被寬容、被賞識，學生的“沉默的問題”需要被激發、被盤活、被點燃。

二、回爐再造“沉默的問題”，提高數學學習的方法值

很多時候，學生只能叫“在學習”，而不是“會學習”。美國心理學家卡爾·羅杰斯在《自由學習》一書中提出：“只有學會了如何學習、如何適應、如何改變，才能了解到沒有任何知識是確定的，只有獲取知識的能力可以為我們帶來安全感。具備了這種能力的人才是受過教育的人。”

學生的“沉默的問題”需要回爐再造，這不是為了復習該問題的答案，而是為了引導學生站在學習的時間軸上尋找新舊知識間的聯系，學會反省、學會學習，提高學習的方法值。

1.專題回放，開展焦點式訪談

有的“沉默的問題”雖然出自個別學生，但是具有挑戰性，單靠學生獨立探究很難解決，這就需要教師設計專題以回放問題，開展學生焦點式訪談，打開學生思維的結。

例如，李叔叔的養雞場今天一共收260千克雞蛋，每15千克雞蛋裝一箱，可以裝多少箱？還剩多少千克雞蛋？

多數學生列式“260÷15=17（箱）……5（千克）”，有幾個學生列式“260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）”。學生都知道“260÷15=17（箱）……5（千克）”一定是正確的，他們還在之前的學習中初步建立了數學模型：當除數是兩位數時，可以轉化成連續除以兩個一位數，這樣計算更簡便，例如270÷18=270÷9÷2=15。但是“260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）”，余數怎么變小了呢？計算過程沒問題，難道之前的規律有限定范圍，不能有余數？

對此，筆者未做講解，而是布置了一個專題小研究，讓學生用圖文解析的形式表達對這道題的理解，這是一個“回爐再造”問題的過程。在學生完成后，筆者展示圖文解析（如圖3），請學生講解，但仍有學生百思不得其解——雞蛋怎么變少了呢？

對新知識的理解是學習者的心智表征發生改變的結果，這種改變是根本性的。學習者不是單純的學習“參與者”，而是他所學知識的“創造者”，他人永遠無法替代他去學習或者一廂情愿地加快他學習的進程。因此，筆者在學生依然疑惑不解的時候選擇戛然而止：“不明白沒關系，等大家到了五年級再回來找雞蛋。”五個學生的疑惑暫時擱置。

2.階段回爐再造，培養反省性思維

在學完小數除法之后，全班學生“重啟”“找雞蛋”，發現260÷15=17.333……，得到的是一個循環小數，260÷15=260÷5÷3=17.333……，兩個計算方法結果相等，當年的余數并不是最終的計算結果，而是一個過程性的記錄，260÷5÷3的余數是1，記錄的是“按照5千克裝，余下的1箱（5千克）”。至此，當初“沉默的問題”回爐再造，學生感受到數學學習是前后呼應的。可見，待學習了除法、分數和比的聯系后再次引導學生回憶“找雞蛋”，學生又是一番別樣的感受。

回爐“沉默的問題”是一種策略，旨在引導學生在新一輪的數學思考中打開學習的“暗箱”，厘清模糊的認知，萃取數學知識本質，凝練數學思想方法，形成持久的學習力。經常性“回爐”曾經的困惑，有利于培養學生的反省性思維。教師應給學生提供更多從容不迫的反思、想象、琢磨的機會，讓學生享受思考的快樂，獲得經驗，提高學習的方法值。

三、自由暢想“沉默的問題”，提升數學學習的效能值

當下流傳著一個數學學習“攻略”：時間有限，質量當頭。“為什么”不重要，關鍵是熟練掌握通識解法，“怎么做”最現實。學生的問題經常被“幽閉”，學生只是不斷地回答教師的提問、解答習題的問題。教師應松開應試的“手掌”，讓學生自由暢想“沉默的問題”，擁有自由的思維和表達，在學科智識、情感態度、品格涵養等方面都有所發展，提升學習的效能值。

1.轉變主體地位，處理好“我回答”與“我問你”的關系

以單元練習設計為例，傳統意義上的一份單元練習講究參照《雙向細目表》，按照7∶2∶1的難度分配。結構化的練習題是面向全體學生、以教師為主體的單方調控與統一操作，為教學質量做必要的測查與評估，學生所做的是“我回答”。除此之外，可以補充一種非結構化的以學生的問題為中心的習題，讓學生來說“我問你”，兩者互為補充。在學習的任何階段，都可以開展“我問你”的活動。命題人是自主報名的學生，命題范圍是該學生一直想不明白的、想要探究的問題，題量自由設定，測試對象是自主報名的學生，評價反饋和獎懲措施都由命題人組織親友團來完成。

例如，學完平行四邊形、三角形、梯形的面積之后，有學生出了一道練習題：方格紙上有一個長是6厘米，寬是4厘米的長方形，它是由一個圖形轉化來的，那個圖形可能是什么樣子？“為什么要出這道題？”學生回答：“給出一個平行四邊形，畫出轉化后的長方形，閉著眼睛都會畫。我就反過來想，知道了轉化后的長方形，是不是只要湊出面積是24平方厘米的圖形就可以了？有沒有不同的形狀？如果只是湊湊，那這樣的轉化還有什么意思呢？”學生的頭腦中原來有這么多有價值的問題！

2.叩問價值取向，處理好“使人聰明”與“數學向善”的關系

數學故事《網開一面》是這樣的：古人圍獵時不會把野獸趕盡殺絕，都會留給野獸逃生的機會。用一根40米長的繩子來圍獵，如果圍成正方形（如圖4），面積是（40÷4）2=100（平方米）。假定野獸事先并不知道哪面有網，并且朝四個方向均勻逃散。由于四面都有網，野獸觸網被捕獲的可能性是四分之四，假設此時的捕獲量為“1”，如果“網開一面”，“圍成”的正方形就有三個面有網，野獸觸網被捕獲的可能性是四分之三，（40÷3）2÷4×3=133.3333…… ，捕獲量約為“1.3”。如果“網開三面”，只有一個面有一根長40米的網，“圍成”的正方形面積是40×40=1600（平方米），野獸觸網被捕獲的可能性是四分之一，1600÷4×1=400（平方米），捕獲量為“4”。

學生閱讀后提出：“故事里說古人留給野獸逃生的機會，不想趕盡殺絕。但是在‘網開三面的情況下，它們的捕獲量反而最大，真是欲擒故縱，放長線釣大魚，這不是很虛偽嗎？”這個問題令筆者驚訝，故事的本義是想讓學生通過數學思維來感受欲擒故縱的策略是多么富有智慧，沒想到學生的感受完全相反。想一想，數學其實是對生活的高度抽象與概括，數學和生活之間不能畫等號。數學課上，師生津津有味地討論雞兔同籠問題，感悟假設的策略，但生活中并沒有人把雞和兔關在一個籠子里。《網開一面》的故事蘊含著數學的智慧、人文情懷和人生哲學，也許學生在以后的成長過程中，會突然頓悟，給自己一個合理的解釋。誠然，數學是自由的，數學使人聰明，但它也是有約束的，數學向善是不變的初心，是無須提醒的自覺。

各種各樣“沉默的問題”真實地記錄著學生的學習軌跡。在“學為中心”的教學理念下，關注學生的“沉默的問題”是一個新的學習視角。在這里，教師敏銳地點燃問題，獨具匠心地“回爐”問題，最終，讓學生跳出被動學習，自由暢想“沉默的問題”，逐漸成長為自由的、智慧的、懷滿善意的學習者。

（責編 金 鈴）