數(shù)學(xué)操作：實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的蛻變

吳兆明

[摘 要]基于教學(xué)實(shí)踐，教師結(jié)合教學(xué)案例，深度設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，能讓學(xué)生在操作實(shí)踐中化解思維的形象性與數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性之間的矛盾，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐操作能力，有助于學(xué)生樹(shù)立建模意識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

[關(guān)鍵詞]操作;直觀;抽象;建模

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）35-0086-02

蘇霍姆林斯基曾言：“兒童的智慧在他靈巧的手指尖上。”這生動(dòng)地說(shuō)明了在學(xué)習(xí)過(guò)程中讓學(xué)生動(dòng)手操作的重要性。新課標(biāo)明確指出，認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。這里的“動(dòng)手實(shí)踐”實(shí)際上就是數(shù)學(xué)課堂上的操作活動(dòng)。就目前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的操作活動(dòng)現(xiàn)狀來(lái)看，存在著重操作輕思考、重形式輕實(shí)質(zhì)等傾向。那么教師如何在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，借助動(dòng)手操作這把“金鑰匙”幫助學(xué)生打開(kāi)智慧的大門(mén)？

一、在操作中有思考，提高數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

教育學(xué)家布魯納關(guān)于兒童心智發(fā)展的研究結(jié)果證實(shí)，兒童獲得抽象知識(shí)的過(guò)程是呈階梯式遞進(jìn)的，即由最初的動(dòng)作表征過(guò)渡到圖像表征，最后上升為抽象思考。小學(xué)生的思維以形象思維為主，他們需要借助直觀的實(shí)物操作來(lái)形成圖像表征，再依據(jù)實(shí)物在腦海中的影像內(nèi)化為抽象知識(shí)。教師基于兒童思維的基本特點(diǎn)，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，做到手腦并用，以操作促思考，以思考引操作，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思維，使學(xué)生深入思考，理解數(shù)學(xué)。

【“20以內(nèi)加法”教學(xué)片段】

師：同學(xué)們，現(xiàn)在每一組都有兩捆小棒，每一捆都是10根，現(xiàn)在讓我們用擺小棒的方法來(lái)計(jì)算8+6。請(qǐng)同學(xué)們以組為單位，想一想，擺一擺吧。

生1：我們組先從小棒中取出8根，再取出6根，把它們放到一塊，最后我們數(shù)了數(shù)，一共是14根，所以8+6=14。

師：對(duì)，這一組是先擺放，再一根一根數(shù)的，但是這個(gè)方法有點(diǎn)麻煩。還有其他的方法嗎？

生2：我們組是先取出8根，然后再取出2根，8和2是“好朋友數(shù)”， 能湊成10，最后再加上4根，所以8+6=14。

生3：我們組是這樣做的，先取出6根，再取出4根，6和4是“好朋友數(shù)”，能湊成10，然后再加上4根，我們也得出8+6=14。

師：同學(xué)們做得非常好。我們看一下，有兩組同學(xué)用了“湊十法”，最后都是10+4，但是他們最后加的4是一樣的嗎？

生4：一樣，他們都是先湊成10，再加上4。

生5：不一樣，雖然他們都是10+4，但是有一組是把6分成了2和4，他們先算8+2=10，再算10+4=14;而另一組是把8分成了4和4，他們先算6+4=10，再算10+4=14，所以最后他們加的4是不一樣的。

師：你分析得很好。在用“湊十法”的時(shí)候，我們既可以把前面的數(shù)拆開(kāi)，也可以把后面的數(shù)拆開(kāi)，雖然方法不一樣，但得到的結(jié)果是一樣的哦。

教學(xué)中，學(xué)生把擺小棒的過(guò)程用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，實(shí)際上就是邊操作，邊思考的體現(xiàn)。學(xué)生通過(guò)擺放小棒得出結(jié)論，使得抽象的算法變得直觀生動(dòng)，深刻地理解了“湊十法”的真正含義。可見(jiàn)，操作是外部因素，思考是內(nèi)部因素，學(xué)生只有在做中思，在思中做，才能避免“為操作而操作”的情況發(fā)生，進(jìn)而提高操作的實(shí)效性，促進(jìn)思維的發(fā)展。

二、在操作中有建模，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)模型指的是根據(jù)生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題所總結(jié)出來(lái)的一般規(guī)律。在教學(xué)中，教師要通過(guò)操作活動(dòng)使學(xué)生積累足夠的直觀經(jīng)驗(yàn)，再把這些經(jīng)驗(yàn)通過(guò)推理進(jìn)行思維上的提升和深化，從而形成穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終構(gòu)建解決問(wèn)題的模型。教師在指導(dǎo)建模過(guò)程中，要注意遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，先引導(dǎo)學(xué)生由直觀操作產(chǎn)生足夠的直觀經(jīng)驗(yàn)和表象，再上升為抽象思維，使直觀操作和抽象思維之間有足夠的緩沖時(shí)間，這樣學(xué)生才能真切體會(huì)從操作活動(dòng)到抽象建模的形成過(guò)程。如果學(xué)生不能建立足夠的直觀經(jīng)驗(yàn)，就會(huì)對(duì)模型的意義認(rèn)識(shí)不到位，這樣建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型就是機(jī)械式的，缺乏融通性和遷移性，這樣的建模就成了“貼模”，既不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，也不能起到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用。

【“三角形”教學(xué)片段】

師：同學(xué)們，我這里有四組小棒，第一組小棒的長(zhǎng)度分別為4厘米、4厘米、8厘米;第二組小棒的長(zhǎng)度分別為6厘米、6厘米、6厘米;第三組小棒的長(zhǎng)度分別為4厘米、3厘米、6厘米;第四組小棒的長(zhǎng)度分別為4厘米、5厘米、10厘米。我把這四組小棒分別發(fā)給一組、二組、三組、四組的同學(xué)，請(qǐng)你們?cè)囍研“魯[成三角形，注意3根小棒要首尾相連。

（學(xué)生操作，教師巡視并予以指導(dǎo)）

生1：我們一組的3根小棒不能擺成三角形，因?yàn)椴还茉趺磾[，最后那一根不是太長(zhǎng)，就是太短。

生2：我們二組很順利地就擺成了一個(gè)三角形。

生3：我們?nèi)M也擺成了一個(gè)三角形。

生4：我們四組和一組一樣，也沒(méi)有擺成三角形，最后那一根不是太長(zhǎng)，就是太短。

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，一組和四組的同學(xué)為什么不能擺成三角形，而二組和三組的同學(xué)可以擺成三角形呢？

生5：這應(yīng)該和小棒的長(zhǎng)短有關(guān)系。

生6：我發(fā)現(xiàn)4+4=8，兩根小棒的長(zhǎng)度之和等于第三根小棒的長(zhǎng)度，這種情況不能擺成三角形。

生7：我發(fā)現(xiàn)6+6>6，兩根小棒的長(zhǎng)度之和大于第三根小棒的長(zhǎng)度，這種情況能擺成三角形。

生8：我發(fā)現(xiàn)4+3>6，兩根小棒的長(zhǎng)度之和大于第三根小棒的長(zhǎng)度，這種情況也能擺成三角形。

生9：我發(fā)現(xiàn)4+5<10，兩根小棒的長(zhǎng)度之和小于第三根小棒的長(zhǎng)度，這種情況不能擺成三角形。

師：好。那么，第一組中的4+8>4，滿足“兩根小棒的長(zhǎng)度之和大于第三根小棒的長(zhǎng)度”條件，為什么還是不能擺成三角形呢？看來(lái)這個(gè)結(jié)論還是不嚴(yán)謹(jǐn)呀！（學(xué)生集體思考）

生10：應(yīng)該是任意兩根小棒的長(zhǎng)度之和大于第三根小棒的長(zhǎng)度才能擺成三角形。

師：對(duì)，這樣就能合理地解釋一組和四組的同學(xué)為什么不能擺成三角形了。

教學(xué)中，首先，教師在引導(dǎo)學(xué)生操作時(shí)，使學(xué)生分別考慮“兩邊之和大于第三邊”“ 兩邊之和等于第三邊”“ 兩邊之和小于第三邊”這三種情況;其次，教師善于激發(fā)學(xué)生的模型意識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生從直觀操作中得出一般性規(guī)律;最后，在提煉和總結(jié)階段，通過(guò)列舉反例使學(xué)生意識(shí)到只有“任意兩邊之和大于第三邊，才能擺成三角形”，強(qiáng)調(diào)“任意”二字，使模型建構(gòu)得更加準(zhǔn)確。在操作活動(dòng)中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生探究問(wèn)題的欲望，教師要適時(shí)拓寬學(xué)生思維的廣度，為模型構(gòu)建打下基礎(chǔ)。對(duì)于某些數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在初次理解時(shí)會(huì)產(chǎn)生不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知甚至是錯(cuò)誤的認(rèn)知，此時(shí)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多次操作獲得足夠的直觀經(jīng)驗(yàn)，把各種情況都考慮進(jìn)來(lái)。

三、在操作中有思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)在思維中的升華結(jié)果。在小學(xué)階段，重要的數(shù)學(xué)思想方法主要包括數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、列舉思想、方程思想、符號(hào)思想等，滲透數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一。教學(xué)中，教師可在引導(dǎo)學(xué)生邊操作邊體驗(yàn)中，滲透操作背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法。

【“拼數(shù)”游戲教學(xué)片段】

師：用數(shù)字卡片2、3、4可以拼出哪些兩位數(shù)呢？

生1：可以拼出23、42、34、24、43這5個(gè)兩位數(shù)。

生2：不對(duì)，應(yīng)該是6個(gè)。

師：第一個(gè)同學(xué)的方法容易重復(fù)和遺漏，其他同學(xué)有更好的辦法嗎？

生2：我是這樣拼數(shù)的，先用卡片2和3，這樣可以組成23和32，然后再用卡片2和4，這樣可以組成24和42，最后再用卡片3和4，這樣可以組成34和43。所以，一共可以組成6個(gè)兩位數(shù)。

師：很好，這種列舉方法思路很清晰，不容易出錯(cuò)。

生3：我和他們的方法不一樣。我先把卡片2固定在十位上，這樣可以組成23和24，再把卡片3固定在十位上，這樣又可以組成32和34，最后把卡片4固定在十位上，這樣可以組成42和43。一共可以組成6個(gè)兩位數(shù)。

師：這種列舉方法也很棒！還有其他方法嗎？

生4：我和第三個(gè)同學(xué)的方法差不多。只不過(guò)我是先把卡片2固定在個(gè)位上，這樣可以組成32和42，再把卡片3固定在個(gè)位上，這樣可以組成23和43，最后把卡片4固定在個(gè)位上，這樣可以組成24和34。一共可以組成6個(gè)兩位數(shù)。

師：大家做得很棒！我們?cè)谄磾?shù)的時(shí)候一定要注意順序問(wèn)題，把這些卡片按照一定的方法進(jìn)行拼湊，然后再一一列舉出來(lái)，這樣就清楚得多，如果是隨意拼湊，那樣就會(huì)顯得很亂，而且容易出錯(cuò)。

在教學(xué)中，教師的做法值得學(xué)習(xí)：首先，在列舉的過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，不拘泥于某種形式或者方法去拼數(shù)，這樣就打開(kāi)了學(xué)生的視野，使學(xué)生可以探究多種列舉方法;其次，教師最后的總結(jié)非常重要。由于數(shù)學(xué)思想方法具有隱含性，低年級(jí)學(xué)生難以總結(jié)，盡管他們有所體會(huì)，但是這種體會(huì)依然是朦朧的。這個(gè)時(shí)候，教師用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言對(duì)學(xué)生提出的觀點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)，捅破認(rèn)知上的“窗戶紙”，令學(xué)生豁然開(kāi)朗。教學(xué)中，教師最后的總結(jié)和點(diǎn)評(píng)，能起到了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。

數(shù)學(xué)操作是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的重要方法，操作活動(dòng)的直觀性和形象性有利于學(xué)生突破抽象的數(shù)學(xué)認(rèn)知障礙;有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，觸及知識(shí)的本質(zhì);有利于學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，最終達(dá)到提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用。

（責(zé)編 覃小慧）