捕捉數(shù)學(xué)活因子 提升經(jīng)驗(yàn)積累力

夏常明

[摘 要]數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力是指把數(shù)學(xué)學(xué)科知識納入學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的能力，是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力的發(fā)展，離不開前延、沖突、聯(lián)結(jié)三個(gè)活因子。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力立足于學(xué)生數(shù)學(xué)活動，捕捉前延、沖突、聯(lián)結(jié)活因子，不斷發(fā)展完善。學(xué)生在不斷優(yōu)化完善數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力的同時(shí)，其數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)也不斷獲得優(yōu)質(zhì)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)活動;活因子;經(jīng)驗(yàn)積累力

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0041-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了“四基”，即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)指出“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”。

數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力是指把數(shù)學(xué)學(xué)科知識納入學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的能力，是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)準(zhǔn)。這里的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力，不僅包含總量（即學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的寬廣程度），也包含質(zhì)量（即學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累效率），更重要的是增量（即學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)新程度以及把數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的程度）。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力的發(fā)展，離不開前延、沖突、聯(lián)結(jié)三個(gè)活因子。前延是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，它能發(fā)掘經(jīng)驗(yàn)積累力，保證數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)前行;沖突是數(shù)學(xué)活動的資源，能夠把數(shù)學(xué)活動引入深處，發(fā)展經(jīng)驗(yàn)積累力，提升數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的品質(zhì);聯(lián)結(jié)則賦予了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)性和假定性的意義，完善經(jīng)驗(yàn)積累力，讓數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)充滿活力。

一、捕捉前延活因子，發(fā)掘經(jīng)驗(yàn)積累力

杜威曾經(jīng)指出：真正的經(jīng)驗(yàn)是具有連續(xù)性的。每一種數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)都建立在已有經(jīng)驗(yàn)之上，同時(shí)又以某種方式納入和改變著原有經(jīng)驗(yàn)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。需要指出的是，小學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的前延不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性知識，還包括數(shù)學(xué)程序性知識，更是包括大量的生活經(jīng)驗(yàn)。這些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的前延是零散的、模糊的、感性的，更有甚者是毫無科學(xué)道理的，但這些前延都是學(xué)生個(gè)性化的感性經(jīng)驗(yàn)，是積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的活因子。為此，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動之前，教師要準(zhǔn)確捕捉學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的前延活因子，并根據(jù)其特點(diǎn)靈活選擇恰當(dāng)?shù)幕顒有问?，高效激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)積累力。

例如，蘇教版教材五年級下冊“圓”第一課時(shí)時(shí)展示了幾種不同的畫圓方法。

第一種，圓規(guī)畫圓。學(xué)生通過自主操作嘗試，都能夠熟練掌握。

第二種，器具畫圓。找到圓形器具，用一只手壓住，另一只手用筆描邊畫圓。

第三種，繩子畫圓。繩子一端系在鉛筆上，另一端固定在中心點(diǎn)上，以其為圓心，拉直繩子作半徑，旋轉(zhuǎn)繩一周即可畫圓。

第四種，轉(zhuǎn)圈畫圓。教師手拿帶勺子的竹竿，舀上石灰，以自己的腳為中心，原地轉(zhuǎn)圈。

除了第一種方法外，教材均是以靜態(tài)的方式呈現(xiàn)出其余三種方法，學(xué)生很難感受。教師用課件的方式動態(tài)展示四種畫圓的方法，讓學(xué)生觀察、比較：不同的畫圓方法，有什么相同之處？學(xué)生通過觀察、比較，很容易得出：都有一個(gè)中心點(diǎn)和固定長度，即圓心和半徑。

師：畫圓的時(shí)候要注意什么？

生1：中心點(diǎn)位置不能偏，偏了就畫不圓了。

生2：固定長度的距離要保持好，不能忽長忽短。

師：中心點(diǎn)是圓心，固定長度是圓的半徑。關(guān)于圓心和半徑，你還有哪些認(rèn)識？

生3：圓心能夠確定圓的位置，因?yàn)檫@些圓的位置都是由圓心決定的。

生4：在同一個(gè)圓內(nèi)，半徑的長度都是相等的?？梢詮牟煌媹A的方法中看出來。

生5：在不同的圓內(nèi)，半徑的長度是不相等的。

……

動手操作是學(xué)生認(rèn)識圖形、探索與圖形有關(guān)知識的一個(gè)重要方法和途徑。課中，教師讓學(xué)生動手畫圓，在畫圓過程中認(rèn)識圓的相關(guān)特征。其中，器具畫圓、繩子畫圓、轉(zhuǎn)圈畫圓是學(xué)生日常生活中經(jīng)常見到或使用過的方法，這些都是學(xué)生關(guān)于畫圓經(jīng)驗(yàn)的前延因子。生動熟悉的生活素材與生活情境和自己的親身經(jīng)歷可以使數(shù)學(xué)由抽象變得具體，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生通過畫圓操作，不僅掌握了畫圓的技巧，還發(fā)現(xiàn)了圓的相關(guān)特征。教師巧妙利用課件，動態(tài)展示了畫圓的方法，捕捉了前延活因子，極大地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有力地促進(jìn)了學(xué)生主動思考。

二、捕捉?jīng)_突活因子，發(fā)展經(jīng)驗(yàn)積累力

奧蘇伯爾在有意義學(xué)習(xí)觀點(diǎn)中指出：在新知識的學(xué)習(xí)中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有經(jīng)驗(yàn)起決定作用，這種原有的知識經(jīng)驗(yàn)對新知識起固定作用。學(xué)生必須積極主動地使這種具有潛在意義的新知識與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知識發(fā)生相互作用。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的過程，是自主建構(gòu)新知的過程，是學(xué)生與課堂諸因素之間相互作用的過程。在這個(gè)過程中，沖突是有意義的學(xué)習(xí)所必不可少的。不同學(xué)生個(gè)體年齡大小、心理特征、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面存在差異，即使面對相同知識，不同學(xué)生仍然會積累不同的活動經(jīng)驗(yàn)，甚至是前后沖突的經(jīng)驗(yàn)。如果出現(xiàn)沖突經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)就處于一種失衡狀態(tài)，沖突此時(shí)成為“因子”。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，教師要善于把學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)沖突當(dāng)成資源，從外在的表現(xiàn)形式入手，展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，從而把學(xué)習(xí)活動引入深處，逐步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)積累力。

例如，在教學(xué)“小數(shù)除以小數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生上黑板板演“7.98÷4.2”。

第一位學(xué)生算出0.19。算理：4.2的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，用7.98除以42，所得到的結(jié)果就是0.19。

第二位學(xué)生算得19。算理：4.2的小數(shù)點(diǎn)移動到最右邊，7.98的小數(shù)點(diǎn)也移動到最右邊（很顯然，他忘了應(yīng)該是移動相同位數(shù)）。

第三位學(xué)生算得1.9。算理：4.2的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，7.98的小數(shù)點(diǎn)也跟著向右移動一位。

師：對于上述幾種不同的計(jì)算方法，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：第一位同學(xué)把除數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動了一位，而被除數(shù)沒有變化。

生2：第二位同學(xué)把除數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動了一位，卻把被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動了兩位。

……

可誤主義數(shù)學(xué)觀下，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)在“批判—認(rèn)同”的建構(gòu)中創(chuàng)新。學(xué)生主體同時(shí)建立和構(gòu)造關(guān)于新經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。既要建立對新知識的理解，將新知識與已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，又要將新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)合，通過納入、重組和改造，構(gòu)成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生在嘗試解決小數(shù)除以小數(shù)的問題之前，已經(jīng)積累了小數(shù)乘以小數(shù)、整數(shù)除以小數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)。這些未經(jīng)提煉和優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)，很大一部分還處于一種因操作性和情境性太強(qiáng)而不能與之分離，或者停留于不能轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)表征的淺層次經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生運(yùn)用這些淺層次經(jīng)驗(yàn)去解決問題時(shí)，必然會出現(xiàn)不科學(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至錯(cuò)誤的結(jié)果，產(chǎn)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)“沖突”因子。為此，教學(xué)中教師需要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧富含個(gè)人經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動，并進(jìn)行討論、反思、總結(jié)，以實(shí)現(xiàn)感性經(jīng)驗(yàn)理性化，個(gè)人經(jīng)驗(yàn)社會化，零散經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化。

三、捕捉聯(lián)結(jié)活因子，完善經(jīng)驗(yàn)積累力

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)分為靜態(tài)和動態(tài)兩方面。從靜態(tài)上看，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是知識;從動態(tài)上看，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是過程。日常教學(xué)中，教師容易將數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)客體化，將一切人類認(rèn)識成果當(dāng)作靜態(tài)經(jīng)驗(yàn)。本質(zhì)上，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)是由經(jīng)驗(yàn)生問題，通過知識與學(xué)生的相遇，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)意義的增加。其中，聯(lián)結(jié)起到了關(guān)鍵作用。聯(lián)結(jié)是心理原理的一個(gè)重要概念，在這里，聯(lián)結(jié)賦予了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)性和假定性的意義，通過學(xué)生感受與理解、歸納與抽象、感悟與升華、體驗(yàn)與反思等活動，經(jīng)驗(yàn)具有了活力，變得鮮活，情感和思想有了聯(lián)結(jié)，從而得出了新的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。需要指出的是，學(xué)生新的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)不一定是科學(xué)的，也不一定是正確的，但是已觸及了經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)結(jié)。也許學(xué)生并不清楚這種內(nèi)在聯(lián)結(jié)，也不能清楚地表達(dá)這種內(nèi)在聯(lián)結(jié)，但是學(xué)生是能感受到這種內(nèi)在聯(lián)結(jié)的。

例如，教學(xué)蘇教版教材五年級上冊“平行四邊形的面積”時(shí)，出示例1中的一組圖形。

有的學(xué)生采用數(shù)格子的方法，有的學(xué)生把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成長方形這一規(guī)則圖形。

師：比較這兩個(gè)圖形的面積時(shí)，是數(shù)方格方便，還是轉(zhuǎn)化后再比較方便？

師：把不熟悉的、較復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的、簡單的圖形，是計(jì)算圖形面積的一種常用方法。

師：你能想辦法求出平行四邊形的面積嗎？

（學(xué)生演示各種剪拼方法）

師：這些方法各不相同，方法之間有相同的地方嗎？

生：它們都是沿著平行四邊形的一條高剪開的。

師：所有的平行四邊形都能用剛才的方法轉(zhuǎn)化成長方形嗎？

……

上述平行四邊形的面積計(jì)算教學(xué)分兩個(gè)層次進(jìn)行。第一層次，要求學(xué)生判斷例1兩個(gè)圖形的面積是否相等，引導(dǎo)學(xué)生在動手操作中體會到：不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，割補(bǔ)、平移是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的基本方法。同時(shí)讓學(xué)生明確，轉(zhuǎn)化前后的圖形的形狀雖然發(fā)生了變化，但是面積是不變的，為學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算做好準(zhǔn)備。第二個(gè)層次，首先要求學(xué)生獨(dú)立動手操作，完整經(jīng)歷把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程;其次，展示學(xué)生獨(dú)立剪、拼的成果，引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較，建立初步猜想。學(xué)生在剪拼活動中的操作是有個(gè)性特征的，在拼的過程中獲得的經(jīng)驗(yàn)又是多樣的。通過引導(dǎo)學(xué)生對比不同的剪拼方法，發(fā)現(xiàn)共同特征：沿著平行四邊形的一條高把它剪成兩個(gè)部分。最后，組織學(xué)生參與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)活動。對于轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形面積以及相關(guān)邊長的對應(yīng)聯(lián)結(jié)，學(xué)生在活動已經(jīng)有了感知，并且在平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程中數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力得到了很好發(fā)展。

學(xué)生在實(shí)際操作、主動猜想、觀察比較和推理抽象的過程中發(fā)現(xiàn)了各種圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且進(jìn)一步合乎邏輯的推理抽象出平行四邊形面積公式。這樣的教學(xué)安排，不僅讓學(xué)生充分經(jīng)歷了平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，還讓學(xué)生充分經(jīng)歷了由建立猜想到驗(yàn)證猜想，獲得正確結(jié)論的過程，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)。

綜上可知，教師在觀察的基礎(chǔ)上，從簡單問題入手，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想和發(fā)現(xiàn)的過程，不斷嘗試和反思，進(jìn)而建構(gòu)一定的數(shù)學(xué)直觀感知和判斷能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力的提升并不是一兩次感性直觀行動就能完成的，也不是簡單的理性模式，而是要多捕捉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的活因子。數(shù)學(xué)源于生活，但不等同于生活。教師必須充分利用學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，從中捕捉數(shù)學(xué)活因子，設(shè)計(jì)生動有趣、直觀形象的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在生動具體的情境中提升數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 王林.我國目前數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)研究綜述[J].課程·教材·教法，2011（6）.

[3] 杜威.經(jīng)驗(yàn)與教育[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4] 張鑫.波普爾知識增長四段圖式理論的思考[J].廣西民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（6）.

[5] 皮亞杰，英海爾德.兒童心理學(xué)[M].北京：商務(wù)印書館，1980.

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)‘積累力提升策略的研究”的階段研究成果之一?！?/p>

（責(zé)編 黃春香）