讓“數感”在“數量關系”的建構中發展

蔡榮花

[摘 要]數感主要是關于數與數量、數量關系、運算結果、估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系，數量關系的建構有利于數感的建立與發展。因此，小學數學課堂教學中，教師要注重數量關系的具象呈現，強化數量關系的提煉，增強學生的數感，才能提升學生解決問題的能力。而數感的建立需要一個循序漸進過程，需要教師在課堂中創設具體的生活情境，從具象到抽象，從運算到模型，從模型到應用，“學用結合”提高學生對數與數量、數量關系的敏銳感，才能增強學生的數學意識，發展更為良好的數感品質。

[關建詞]具象;構建;提煉;建模;應用

什么是數感？《數學課程標準2011版》指出：數感主要是關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中數量關系。新課標這樣的修訂充實了數感中“數與數量”表述，補充了對數量關系的描述。可見，學生建構了基本和常用的數量關系利于發展學生的數感，而數感的增強有助于學生理解與表述具體情境中的數量關系，有利于提升學生的數學素養。因此，小學數學課堂教學中，教師要注重數量關系的具象呈現，強化數量關系的提煉，增強學生的數感，才能提升學生解決問題的能力。

一、具象數量關系的呈現，增強數感

無論是生活中還是數學問題中，數量之間關系都是抽象的、無形的。對于數感不強、分析與理解能力較弱的學生而言，數量關系的找尋與建構是較難的，如何化無形于有形中，化抽象為具體呢？從直觀素材中提取數據，分析數據并結合加減乘除的運算意義逐步呈現出一些基本的數量關系，能為構建數量關系的模型打下基礎。

1.立足運算意義的理解，感知數量關系模型

數量之間的關系是無形的，它存在于具體的情境與問題中，單純地讓小學生用語言對數量關系進行描述對小學生來說是比較困難的。但如果從小學低段開始教師就有意識地讓學生去感知，讓它具體化、形象化，使學生建立了初步的概念模型，能為后續學習具體的數量關系打下基礎，而低段學生感知數量關系一般是從運算意義的理解與運用入手。從一年級數的認識到加減法初步認識開始，教材就呈現了豐富、直觀的情境與貼近學生生活的事物、活動，在大量學生感興趣的感觀畫面引領中，學生能體會到“把兩個數合并起來用加法計算”這是加法的意義，從“一個數中去掉其中的一部分，求另一部分的數量用減法計算”這是減法的意義。可這樣意義的理解學生不能只停留在列式、計算的層面上，教師在教學時要從靜態畫面變成動態生成再到靜態模型的形成，將運算意義語言化、實質化，才能使學生達到真正理解與運用的效果。特別是一年級教學“一個數比另一個數多多少？或一個數比另一個數少多少？”，學生對其中的運算意義模糊不清，一味默背“有多字用加法，有少字用減法”，這樣的教學是無效的。

如下圖一年級下冊教材練習中這道題：

調查發現，大部分學生并不是建立了其中的數量關系而答題，一旦變式練習為“給希望小學捐書，我們一班捐了47本書，比二班捐的書少12本，二班捐了多少本書？”大部分學生便會出現47-12錯誤思想，此時教師應及時運用多媒體信息手段圖例展示將具體的操作與抽象的數量關系對應起來，讓學生明白“問題中一班捐書數量少，二班捐書數量多，求捐書更多的那一部分，對應的數量關系是一班捐書本數+12本=二班捐書本數”。通過這類數學問題幫助學生主動構建出“小數+相差數=大數”“大數-小數=相差數”“大數一相差數=小數”這樣運算模型，從而提高學生解題的能力。

2.建立乘除法模型，支撐數量關系的構建

在小學階段，第一學段中加減法的模型建立相對乘除法模型而言較容易理解與掌握。而乘法模型是小學階段最根本的一個模型，除法模型是難點，兩者較容易混淆，這兩個模型的建立為后續構建“路程、速度和時間，總價、單價與數量，邊長、周長與面積、體積、底面積與高”等重要數量關系提供支撐。因此，在教學中應讓學生充分體驗學習的過程，通過實物與實景具象化的感悟才能形成抽象化的模型。例如，二年級下冊“除法的初步認識”教學時，我讓學生帶上塑料小盤與白色、黑色圍棋子各20粒，在課上玩“過家家”游戲。先讓學生表演“平均分”，將20粒白色棋子平均分在5個小盤中，該怎么分？為什么這樣分？從而明白20÷5的運算意義，建立平均分用除法計算的模型。接著表演“包含除”，每盤放入5顆黑色棋子，需要用幾個盤子呢？學生動手放一放，擺一擺，感受20÷5的第二種意義“20里有幾個5”的包含除模型。兩次游戲都要讓學生用語言表述分的過程與結果。最后讓學生根據算式12÷4=3用黑白棋子擺一擺，擺出除法的兩種意義。如此實踐操作，讓學生明確除法的運算意義，從具象中抽象出平均分與包含除的模型。為后續建立“被除數、除數與商”三者之間的數量關系模型奠定基礎。

3.情境數據引領，建立基本數量關系

基本數量關系的建立常常來自于具體的問題情境中，讓學生從生動的情境中提取相關數據，分析數據之間的關系，用相應的運算表達，抽象出“數學情境”中的數量關系，并將數量關系構建與運用過程有機結合起來，才能達到真正地理解與掌握，建立數感。例如，北師大版三年級上冊《路程、速度和時間》教學中，教材創設了猴子、小兔與松鼠競走比賽，誰走得快的實際情境，讓學生認識與理解“速度”這一概念，從而掌握路程、速度與時間三者之間的數量關系。課中，首先讓學生通過三個表格的數據進行分析與運算，明白路程相同，時間用得少走得快，時間相同路程走得多，走得快。當時間與路程不同時，可算一算小動物一分鐘分別能走多少米？從而建立速度的概念。并從280÷4，240÷3這兩個除法運算中抽象出“路程÷時間=速度，這一基本數量關系。表格如下：

緊接著，讓學生通過拓展延伸思考下列問題：

①淘氣從學校去少年宮參加興趣小組活動，每分走60米，走了10分鐘，從學校到少年宮有多少米？

②笑笑爸爸帶著一家人自駕旅行，從華陽村出發，每小時行駛70千米，到武夷山風景區共行駛了140千米 ，行駛了多少時？

學生通過畫圖與計算，數形結合，在直觀的線段圖中得到了感性材料的支撐，完善了“路程÷速度=時間，速度×時間=路程”這兩個數量關系的建構。因此，引導學生對數據進行解讀與分析，將數據抽象為數量關系是十分必要，否則數據一轉換，數量關系又模糊不清了。

再如下圖，北師大版三年級下冊教學乘除混合運算，在解決問題時要求學生能畫出簡單的示意圖來表示題意，同時也要求學生能看懂示意圖。可在教學中，我常發現學生對圖中的數量關系弄不明白，乘除法用錯。究其原因是學生對乘除法意義衍生的數量關系的含混 ，特別是乘除混合時，無法準確判定是“求幾個幾的總和”，還是求將“總數平均分成若干份中的部分數”。因此，利用圖中數據理解圖意，自編成生活中的數學問題，再將數據抽象為數量關系是十分必要。

“讓數據說話”，從數學問題中構建基本數量關系，才能建立數感。

二、加強數量關系的提煉，提升數感

隨著課程改革的推進，淡化數量關系以及無視數量關系教學的思想又得以轉變。在課堂實踐中，許多學生在問題解決中，思維局限，無從著筆，其原因之一是找不出問題中相等的數量關系，無法進行推導與運算。無論是哪個領域中的數學問題，數量之間的特定聯系構成了不同的數量關系，學生在主動學習中經歷滲透、感知、體驗、積累、抽象與概括的過程，自主地將這些潛藏的數量關系提煉出來進行理解與構建，才能提升數感。例如，有這樣一道數學問題“為慶祝六一兒童節，老師讓笑笑去商店購買12米彩帶來裝飾教室，每米彩帶2.5元，笑笑至少要帶多少錢呢？如果裝飾教室需要15米彩帶，用這些錢去購買，你該與店主商定每米彩帶的價格是多少呢？”調查學生的作業，我發現數感不強的學生在第二個問題上出現錯誤，用2.5×15=37.5（元）解決，這樣的結果出現，且不說每米彩帶37.5元這個價格的荒唐，學生竟沒有發覺，實在缺乏對數的敏感度。本題中三個數量“每米彩帶的價格，所需的彩帶米數，花費的錢”，這三者之間的數量關系學生因為沒有模型支撐，識別不敏銳，造成解題錯誤這才是關鍵。如果學生對“單價×數量=總價，總價÷數量=單價，總價÷單價=數量”這些基本數量關系有了學習體驗，建立了模型，在本題就能自主提煉出“每米彩帶的價格×所買的彩帶的米數=花費的錢，花費的錢÷需要的彩帶米數=每米彩帶的價格”這樣的數量關系，問題就能迎刃而解。而小學數學中數量關系教學涉及基本數量關系與常用數量關系，課中教師將它們用靈動的方式反復提煉與運用，是可以提升學生數與數量以及數量關系辨析的敏感度的。

在小學階段的數量關系教學中，教師從第一學段的簡單常用的基本數量關系到第二學段的復雜的復合數量關系的構建，逐步遞進，由于復合數量關系是學生理解與提煉的難點與核心，學生在掌握了基本的數量關系之后必需要學會建構復合的數量關系模型，才能以模型化繁為簡，深入淺出地分析問題，解決問題。例如，北師大版小學六年級學習了分數應用題，學生常常要能用不同的方法解決生活中的這類數學問題：一套課桌椅共240元，一把椅子的價格是一張桌子價格的1/4，一張椅子與一張桌子各多少元？分析題意我們不難發現，此題中蘊含兩個數量關系，“一張課桌的價格+一把椅子的價格=一套課桌椅的價格”，這是加法模型，“一張桌子的價格×1/4=一把椅子的價格”，這是乘法模型，兩個數量關系結合在一起分析與運用，才能列出方程解決問題，哪怕是用比的知識解決，學生也要從題意中提煉出這兩個數量關系，才能明白，“一套桌椅價格共為5份，一張桌子價格占了4份，而一把椅子價格占了1份”這樣的比例分配。

可見，加強數量關系的提煉，讓學生將數學知識與生活緊密聯系，并能將解決問題從經驗式提升到數學方法的應用。無論是用等式、符號、語言還是圖形來表示各種數量關系，只要讓學生經歷了抽象、體驗、提煉、建模、運用的全過程，豐富體驗，積累經驗，就能提高數學思維能力，也就提升了數感。

三、拓寬數量關系的應用，發展數感

數量關系是數學問題的重要結構之一，就好像人的骨架一樣支撐著人體，在各學段中抓住數學問題中的數量關系，解決多樣的生活中的數學問題，拓寬應用，形成一定的解題策略，才能發展數感。

1.低年級將基本數量關系滲透于運算意義中進行拓展練習。如，“淘氣家有4口人，吃飯時飯桌上要擺放幾雙筷子，共有多少根呢？”學生會用”“2+2+2+2”來計算，教師要有意識地引導學生理解這道算式表示為4個相同的2相加，可用乘法“2×4”計算更為簡便，并讓學生理解“每雙筷子2根×人數=筷子的總根數”這一數量關系，初步建立“每份數×份數=總數”這一數量關系模型。

2.中年級以常用數量關系為主，在操作與演示中遷移應用。如，在教學完《路程、時間與速度》這一課后，教材中有這樣一道生活中的數學問題：

王大叔從河西村到河東村，每分鐘走60米。

（1） 出發十分鐘后，他大約在什么位置？

（2） 王大叔9：15出發，走完一半路程時是什么時間？

這道問題對于數感不強的學生而言，在數量關系的運用上是有一定難度的。課上，教師可以以教室為場景，現場模擬表演，再畫線段圖表示，讓學生在親身體驗與直觀示意中明白，要確定王大叔出發10分后的位置，運用“速度×時間=路程”這一數量關系計算出王大叔10分鐘所走的路程。要確定王大叔9：15分出發，走完一半路程是幾時幾分？得運用“路程÷速度=時間”這個數量關系先計算出王大叔走完一半路程用了多長時間。如此學習讓常用數量關系在生活問題解決中得以靈活應用，得以鞏固延伸，久而久之，學生的數感也得以提升。

3.高年級可靈活運用各種數量關系，在尋找等量關系中抽象思維與建模。如，六年級下冊“正比例與反比例”應用中，判定“一輛車行駛一定路程，這輛車車輪的周長與車輪轉動的圈數之間成什么關系”。學生以敏銳的數感反應，找尋到“車輪轉動一周的長度×車輪轉動的圈數=車輛行駛的路程”這一數量間的等量關系，從而判定這兩種數量成反比例關系。

可見，不同學段，不同領域教學中，教師要適時引導學生應用已建立的數量關系模型，拓寬解題策略，拓展學生的數學思維能力，發展數感，提升數學素養。

總之，數量關系的建構有利于數感的建立與發展，而數感的建立需要一個循序漸進過程，需要教師在課中創設具體的生活情境，從具象到抽象，從運算到模型，從模型到應用，“學用結合”提高學生對數與數量、數量關系的敏銳感，增強學生的數學意識，發展更為良好的數感品質。

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（責任編輯 陳始雨）