神奇的常數e

e是一個無理數，是自然對數的底，e=2.71828……。e的“影響力”還不限于數學領域。大自然中向日葵的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都與e有關，建構音階也要用到e，還有圣路易斯大拱門的外形都與神秘的數字e，有著千絲萬縷的聯系。e的背后隱藏著無數鮮為人知的傳奇，在數學、物理、生物、音樂、金融等眾多領域中都有與e密切相關的現象。

1.歐拉恒等式與e

但凡說起e，一個必定要提到的公式就是歐拉恒等式——被譽為世界上最美麗的公式。

數學中最基本的5個常數——0、1、圓周率π、自然對數的底e和虛數單位i，以及數學中最基本的兩個符號，等號和加號，就這樣通過一個簡單的恒等式聯系在了一起，實在是讓人嘆服。這個等式有個一幾何的直觀解釋。一個實數在實數軸上可以用一個向量表示，旋轉這個向量，就相當于乘以一個虛數i。據此建立一個以實數為橫軸，虛數為縱軸的坐標系。實單位向量，每次逆時針旋轉π/2，可以分別得到結果1，i，-1，-i，1. 即轉4次以后就回到了原位。而當實單位向量保持長度不變旋轉θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根據歐拉公式 可以看出 就代表實單位向量1旋轉θ角后而得到的向量。所以 意味著單位向量逆時針旋轉了π，結果顯然是-1。

2.增長規律與e

這個世界上有許許多多的事物滿足這樣的變化規律：增長率正比于變量自身的大小。例如放射性元素衰變的時候，衰變率就和現存的放射性物質多少成正比;資源無窮多的社會，人口出生率（近似的）和現存人口數成正比等等。而此類變化規律所確定的解，則是由以e為底的指數增長所描述的。如果x的變化率等于變量x自身的λ倍，那么該變量隨時間t的函數則為

其中C是任意常數。

到底什么是e？簡單地說，e就是增長的極限。看下面的例子：

某種類的一群細胞生物每24小時全部分裂一次，在不考慮死亡與變異等情況下，這群單細胞生物的總數每天會增加一倍。增量公式為：Y=2x，x表示天數。

這個公式可改寫為：y=（1+100%）x。其中，1表示原有數量，100%表示單位時間內（24小時）的增長率。

根據細胞生物學，每過12小時，也就是進行到一半的時候，平均會新產生原數量的新細胞，新產生的細胞在之后的12小時內已經在分裂了。因此一天24小時可以分成兩個階段，每一個階段的細胞數量都在一個階段的基礎上增長50%;

y=（1+100%/2）2=2.25，即在一個單位時間內，這些細胞的數量一共可以增至原數量的2.25倍。倘若這些細胞每過8小時就可以產生平均1/3的新細胞，新生細胞立即具備獨立分裂能力，那就可以將1天分成3個階段，在一天內時間細胞的總數會增至為：

y=（1+100%/3）3=2.37037，即最后細胞數擴大為2.37倍。

實際上，這種分裂現象是不間斷、連續的，每分每秒產生的新細胞，都會立即和母體一樣繼續分裂，一個單位時間（24小時）最多可以得到多少個細胞呢？答案是：y=lim（1+100%/n）n=2.718281828…

即當增長率為100%保持不變時，在單位時間內細胞種群最多只能擴大2.71828倍。數學家把這個數稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限。這個值是自然增長的極限，是自然律的精髓所在，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

3.正態分布與e

正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個統計模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從正態分布，盡管這些現象的根本原因經常是未知的。而理論上則可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量X，那么這個變量X服從正態分布：

正態分布在生活中也可謂是無處不在。多次反復測量一個物理量，測出來的值一般來說總是呈正態分布;瓶裝可樂的實際體積，也是正態分布;一大群人的壽命分布、智商分布等，也都是正態分布，而正態分布的表達式中，也神奇的出現了e。

4.伽馬函數及斯特林公式與e

階乘運算n！本來是定義在正整數上的。數學家最愛做的事情就是推廣，因此階乘函數自然不能幸免。當把階乘函數推廣到定義域為復數的時候，我們要尋找的函數就是一條通過了所有（n+1，n！）點的函數。所謂的伽馬函數Γ（z）滿足了這個性質，而伽馬函數的表達式中又出現了e：

階乘n！與e還有另一層神秘的聯系。當n趨于無窮大的時候，n！滿足下面的近似關系式——斯特林公式：

（其中“～”符號表示同階，可以大致認為是n趨于無窮大時的約等于）

要計算很大的階乘值，位數受限而不能直接用計算機求出時，就可以用斯特林公式近似求出了。

5.素數與e

素數是指除了1和它本身之外，無法被其他自然數整除的數，如100以內的素數共有25個。素數看似和e毫無聯系，可是，素數分布的理論指出，素數的分布與e息息相關。

6.自然界中的

鸚鵡螺殼，向日葵的種子，螺線星云等的形狀類似于 —對數螺線的曲線形狀。如菊的種子排列成對數螺線，鷹以對數螺線的方式接近它們的獵物，昆蟲以對數螺線的方式接近光源，蜘蛛網的構造與對數螺線相似，旋渦星系的旋臂差不多是對數螺線。

7. 黃金分割與e

外切于對數螺線的矩形，是黃金矩形。長：寬=1.618。對黃金矩形依次舍去所做的正方形，可得到不斷縮小的黃金矩形序列。正方形中的1/4圓弧就構成了對數螺線。

8. 懸鏈線

懸鏈線的方程是：

世界著名的標志性建筑物——密蘇里的圣路易斯大拱門就是懸鏈線形狀。即以 的圖形的理念設計的。

E就這樣一次次如幽靈般恰當的出現在了每一處，時常給人們帶來驚喜。而上述這些，也只不過是它的冰山一角而已。

作者簡介：張大慶（1974.4），男，遼寧鞍山人，博士，教授，主要從事模糊控制、魯棒控制、廣義系統理論與應用方面的研究。