基于四階Runge-Kutta方法的柴油密度數值模擬

吳世寶 要淞洋 馬佳

摘 要：為了預測不同壓強下柴油的密度并觀察不同壓強下柴油密度的變化趨勢，首先建立了壓強和柴油密度之間的微分方程模型;隨后，利用Python語言編寫了四階Runge-Kutta方法的迭代條件以求解微分方程。結果表明：預測的結果基本符合實際，柴油的密度隨壓強的變化幅度較大。

關鍵詞：柴油密度;四階Runge-Kutta;Python;數值模擬

中圖分類號：TB ? ? 文獻標識碼：A ? ? ?doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.06.094

0 引言

在現代化工業生產中，柴油作為一種能量密度高、燃油消耗率低的燃料，廣泛應用于重型貨車、工程機械以及船舶的柴油發動機中。然而，隨著柴油需求量的不斷增加，國內相關法律法規對油耗的限制也越來越嚴格。因此，提高柴油機的工作效率，就能在不違反相關法律規定的前提下，充分滿足人們的使用需求?，F有的文獻表明，影響柴油機工作效率的因素有很多，包括有效熱效率、缸內燃燒的等容度、燃燒室的燃燒特性等，其中，改善燃燒室的燃燒特性對提高柴油機的工作效率起著至關重要的作用。由于燃燒室的工作狀況十分惡劣，其內部的壓強必然隨著工作狀態的變化而變化。事實上，柴油的一些物理性質，例如密度、體積彈性模量等，受壓強的影響變化幅度較大。因而，研究這些物理性質隨著壓強的變化規律對于改善柴油機燃燒室的燃燒特性，進而提高柴油機的工作效率具有十分重要的意義。

基于以上分析，本文利用某次實驗測得的柴油的體積彈性模量隨壓強的變化關系，建立了用于預測在不同壓強下柴油密度的微分方程模型并利用四階Runge-Kutta方法進行求解，得到了當壓強在0～200MPa的范圍內變化時，柴油密度的變化規律。

1 問題分析與模型建立

在建立微分方程模型之前，有必要將柴油的密度、體積彈性模量和壓強的關系進行交代。由油液的體積彈性模量的定義可知，柴油的壓力變化量與密度變化量成正比，且比例系數為柴油的體積彈性模量與其密度之比，上述關系可以用式（1）所示的關系式來表達。

由圖2和圖3可知，當壓強在0～200MPa的范圍內變化時，柴油的密度在0.79～0.94mg/mm3的范圍內變化，預測的結果基本與實際情況相符。但是，與其標準值相比，這樣的變化范圍顯然是較大的。隨著壓強的增加，柴油的密度也隨之增加，且幾乎是呈直線形式的增加。由此可見，壓強對柴油密度具有較大的影響。

3 結語

通過本文建立的一階線性齊次微分方程，本文利用四階Runge-Kutta方法并結合Python語言編程，預測了當壓強在0～200MPa的范圍內變化時，不同的壓強下對應的柴油的密度。通過本文的模擬不難發現，柴油的密度受壓強影響較為劇烈。作為柴油重要的物理性質之一，柴油的密度將直接影響其燃燒性能。當柴油作為柴油機燃燒室內的燃料時，柴油的燃燒性能將對燃燒室的工作特性產生影響。因而，只有將燃燒室內的壓強控制在合理的區間內，才能保證柴油的密度不發生劇烈變化，進而能夠提高柴油機的工作效率并減少排放。

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