輔助平面在圖解空間幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

林冬梅

【摘要】本文通過(guò)對(duì)畫法幾何相交問(wèn)題中求交時(shí)用到的輔助平面進(jìn)行綜合分析，總結(jié)出選擇輔助平面考慮的因素以及輔助平面特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】畫法幾何 輔助平面 交點(diǎn) 交線

一、前言

在平面上圖解空間幾何問(wèn)題是畫法幾何學(xué)科的基本任務(wù)之一。輔助平面法是畫法幾何解題中常用的一種輔助手段。本文通過(guò)分析圖解空間幾何問(wèn)題時(shí)用到的輔助平面，得出選擇輔助平面時(shí)要考慮的因素以及所選輔助平面的特點(diǎn)。

各種位置平面的投影特性

由于正投影法能比較簡(jiǎn)便的表達(dá)空間物體的形狀，畫法幾何采用的基本投影理論是正投影法。在此投影體系中，根據(jù)平面在投影面體系中的相對(duì)位置有如下三種情況：投影面垂直面；投影面平行面；一般位置平面。這些位置下平面投影特性見(jiàn)下表1：

二、輔助平面的應(yīng)用分析

工程技術(shù)中遇到的空間幾何問(wèn)題歸結(jié)起來(lái)主要包括度量、定位、軌跡等方面，這些問(wèn)題的求解都要涉及幾何元素之間的平行、相交、垂直等基本作圖，在求交的作圖中反復(fù)用到了輔助平面。

1.求直線與平面的交點(diǎn)

當(dāng)直線與平面相交，其中有一幾何元素處于投影面特殊位置時(shí)，可利用具有積聚性的投影作圖得到交點(diǎn)的投影；當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)就需要通過(guò)作輔助平面才能求得，通過(guò)空問(wèn)分析（圖得到輔助平面求交點(diǎn)的方法如下：（1）包含已知直線DE作輔助平面P；

（2）求輔助平面P和已知平面ABC的交線MN；（3）交線MN和已知直線DE的交點(diǎn)即為所求。

例1：求圖2中平面ABC與直線DE的交點(diǎn)。

直線與平面都處于一般位置，需包含直線作輔助面來(lái)求交點(diǎn)，為作圖簡(jiǎn)便，所作輔助平面最好是特殊位置平面，這樣可以利用投影積聚性確定面面交線，此處作一正垂面。作圖見(jiàn)圖20

2.求平面于平面的交線

當(dāng)兩平面相交，其中有一平面處于投影面特殊位置時(shí)，可利用具有積聚性的投影求出交線；當(dāng)兩

平面都處于一般位置時(shí)，作輔助平面法是求兩平面交線最基本的方法，求法如下（見(jiàn)圖3）：（1）作一平面S1，使之與P相交得交線L1，與Q相交得交線L2；（2）L1和L2的交點(diǎn)A為P、Q、S1三面的共有點(diǎn)，也是P、Q交線上的一點(diǎn)；（3）再作平面S2，重復(fù)步驟1、2，又可得共有點(diǎn)B。AB即為平面P、Q的交線。

例2：求圖4中平面ABC和平面DEF的交線。

兩平面均為一般位置平面，采用輔助平面求交線，為作圖方便，以投影面平行面、垂直面為好，此處以水平面作為輔助平面。作水平面S1，S2即可求得K1、K2（k2，k2），K1K2即為所求。

3.求直線與立體表面的交點(diǎn)

直線和立體表面相交時(shí)交點(diǎn)稱為貫穿點(diǎn)，它是直線和立體表面的共有點(diǎn)，一般要借助輔助平面才能求得。

當(dāng)求直線與平面立體表面貫穿點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上就是求直線和平面交點(diǎn)；當(dāng)求直線與回轉(zhuǎn)體表面

貫穿點(diǎn)時(shí)，兩元素中有一元素的投影具有積聚性，則可利用具有積聚性投影作圖求得，否則需要作輔助平面才能求得貫穿點(diǎn)，方法如下：（1）包含直線作一適當(dāng)?shù)钠矫鏋檩o助平面；（2）求輔助平面與曲面立體的截交線；（3）求直線與截交線的交點(diǎn)，即為貫穿點(diǎn)。

三、結(jié)論

從上面各例來(lái)看，輔助平面不都是處于投影面的特殊位置，也可以是一般位置，如求貫穿點(diǎn)一例。輔助平面歸納起來(lái)就是利用共點(diǎn)原理，線面相交是兩面一線共點(diǎn)，面面相交是三面共點(diǎn)。就其幾何原理上講，輔助平面的位置是沒(méi)有限制的，可以是投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面中的任意一種，但是在具體選擇輔助平面時(shí)，要從作圖簡(jiǎn)便考慮，使得輔助平面產(chǎn)生的線的投影簡(jiǎn)單易畫，如直線、圓等，同時(shí)輔助平面盡量與投影面平行以便反映實(shí)形。

參考文獻(xiàn)：

[1]畫法幾何與工程制圖 中國(guó)紡織大學(xué)

[2]畫法幾何與工程制圖 高等教育出版社 華中工學(xué)院等九院校編