探究三角形四等分線分割面積的問(wèn)題

黃錦濤 謝濤 葉濟(jì)宇

摘要：本文對(duì)三角形邊的四等分線進(jìn)行研究，把分割形成的30個(gè)圖形進(jìn)行分類，得出各類圖形的面積大小并且對(duì)圖形的面積進(jìn)行了證明，

關(guān)鍵詞：三角形;四等分線;分割面積

文獻(xiàn)[1]對(duì)三角形三等分點(diǎn)有關(guān)的面積問(wèn)題進(jìn)行了研究，并對(duì)分割以后的19塊圖形進(jìn)行了面積的計(jì)算，把面積相同、形狀相同的圖形歸為一類，最后給出了面積的證明，文獻(xiàn)[2]通過(guò)引理對(duì)文獻(xiàn)[1]的結(jié)論給出了幾種不同的證明，筆者由此受到啟發(fā)，并對(duì)三角形邊的四等分線分割面積問(wèn)題進(jìn)行探究。

1問(wèn)題重述

如圖1所示，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K，L為△ABC的邊BC，CA，AB的四等分點(diǎn)，連接AABC的頂點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的四等分點(diǎn)，把AABC分成24個(gè)三角形、6個(gè)四邊形共30個(gè)圖形，假設(shè)AABC的面積為1.則這30個(gè)圖形的面積如圖2所示。

引理2如圖1.條件同上，則每個(gè)頂點(diǎn)上中間這條四等分線被其他六條四等分線所截的四條線段的長(zhǎng)度（從頂點(diǎn)開(kāi)始）之比都為42：28：20：15.

證法與引理1類似。

3面積問(wèn)題的證明

通過(guò)對(duì)圖2的觀察可以發(fā)現(xiàn)，這30個(gè)多邊形可以分為以下六類，下面給出這六類面積的證明，為節(jié)省篇幅，下面只證各類結(jié)論中的第一個(gè)面積，其余同理可得，同時(shí)從第2類面積起，只列舉出一種證法，其余證法可參照第一類面積的證明。