一道中考題的答題分析與教學建議

孫勇

摘要：本文以2019年安徽省舍肥市中考數學試卷第22題為例，首先進行試題背景分析與簡要賞析，然后對其答題情況進行分析，感悟數學課堂教學中存在的諸多問題，并提出三點教學建議：一是注重數學語言的形式化轉換;二是注重邏輯推理能力的培養(yǎng);三是注重數學思想方法的浸潤。

關鍵詞：教學建議;數學語言;邏輯推理;數學思想

1試題背景及呈現(xiàn)

1.1試題背景

近幾年，安徽省的中考數學試題在不斷創(chuàng)新中展現(xiàn)出其獨有的魅力和顯著的特色，獨樹一幟，“似曾相識燕歸來，小園香徑獨徘徊”——今年的安徽省數學試卷在繼續(xù)保持原有風格的基礎上做出了一些調整與創(chuàng)新，概括為以下三點：一是增加了對于高一級數學學習需要的知識、技能和方法的考查;二是注重數學核心素養(yǎng)的考查，使教師和學生意識到依靠刷題和重復訓練得高分是不可能的;三是基于數學教學承載著對于學生思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重任，因而有適度增加數學試卷難度的趨勢，筆者認為，今年的數學試題難度與近幾年相比無疑是較大的，其中第14題和第22題涉及函數問題的壓軸題，考查了學生的抽象思維能力，整體的答題情況不容樂觀，引起教師對于數學課堂教學中如何更加有效地培養(yǎng)學生的抽象思維能力的重視，基于此，筆者根據合肥市中考數學的閱卷情況，以第22題為例進行簡要分析：

1.2原題呈現(xiàn)

題目（安徽省2019年中考數學第22題）一次函數y=kx+4與二次函數y=ax²+c的圖象的一個交點坐標為（1.2），另一個交點是該二次函數圖象的頂點，

（1）求k，a，c的值;

（2）過點A（O，m）（O2+c的圖象交于B，c兩點，點O為坐標原點，記W=OA²+BC²，求W關于m的函數解析式，并求W的最小值。

1.3簡要賞析

本題一改往年二次函數壓軸題風格，不再考查學生常見的利潤最大值、面積最大值等問題，而是讓學生走出“題海”，關注數學素養(yǎng)、突出學科特點，注重數學思維品質的培養(yǎng)以及對數學本質的理解，著重考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力和理性思辨能力，能夠有效檢測出學生思維的條理性和嚴謹性以及計算、閱讀理解、數學語言的表達等技能，從考查內容上來看，本題作為函數壓軸題，著重考查了學生對于一次函數與二次函數基本概念的理解、函數圖象的性質、函數與方程的關系;同時還考查了一些與函數相關的知識點，如一元二次方程的解法、二次根式的運算、分母有理化、根與系數的關系、二次函數的配方等知識，可以說本題全方位地考查了學生的“四基”。

2答題情況及分析

2.1答題情況

從合肥市中考數學閱卷數據的統(tǒng)計情況來看，第22題平均得分為6.65分，難度系數0.55.與總體難度系數0.72相比，得分率偏低，因而屬于壓軸型較難題，下面逐一分析此問題的多種解法以及閱卷過程中出現(xiàn)的典型錯誤，以期為后續(xù)的教學找到問題的源頭。

2.2答題分析

第（1）問的解法相對單一，絕大多數學生對于k值求解不存在問題，但卻無法求解n，c的值，錯因主要表現(xiàn)為對函數y=ax²+c圖象性質不熟悉，未能意識到該函數圖象的頂點坐標為（O，c），代人一次函數即可求得c的值，從而陷入困境，所以教師對于二次函數的教學應該注重函數的本質，使學生對于一些基本函數圖象和特殊性質以及它們之間內在的聯(lián)系有更加形象透徹的理解（如y=AX²，y=AX²+c，y=ax²+bx，y=n（x+k）²），同時強調函數圖象之間的關系和性質的生成過程;另外，在平時的教學中還要注意培養(yǎng)學生的閱讀能力和良好的審題習慣，以避免一些學生由于漏看題干條件（如交點為二次函數頂點）而錯失本題的關鍵信息，

第（2）問的解法可以分為三步：第一步求出OA=m（或OA²=m²）的值;第二步用含m的代數式表示BC（或BC²）是本題的關鍵和難點;第三步對W進行配方求解最值。

大多數學生都能直接求出第一步的答案，但學生的錯誤率在第二步明顯比較高，這個過程著重考查學生的邏輯推理能力、計算能力，學生的做法主要有以下三種：

其中，解法1主要是在含參數方程解法中出現(xiàn)問題，分母有理化錯誤導致兩個解無法解出，只有少數學生能夠完整求出;而一部分學生未采取分母有理化，后期通過平方運算直接得到結果;還有一部分學生對分母有理化理解不清楚，更是不熟練平方運算、根式運算，直接造成出錯，解法2和解法3對學生的思維要求較高，采取這種方法的同學基本屬于思維能力較好，計算能力過關的學生，能獨立處理本題。

在第三步中，二次函數求最大值屬于常見題型，但仍有學生寫出了W關于m的解析式，在利用配方法求解過程中出錯，說明其基本計算能力不過關，當然一部分學生通過公式法求得最值也體現(xiàn)了在求解二次函數最值問題中方法的多樣性。

從學生對于綜合性較強、對綜合能力要求較高的第（2）問的答題情況來看，錯誤點來源于基礎知識，如不會解一元二次方程、未進行分母有理化、二次根式運算出現(xiàn)問題、配方不完整等等，所以，基礎知識、基本能力的培養(yǎng)一直是初中階段數學教學中不可忽略的任務;同時在初三的復習中也要關注細節(jié)、關注基本知識點、關注知識的來源與生成，不可高估學生的能力;在新課的教學中更要一步一個腳印，不可人為拔高知識難度。

3教學建議

3.1注重數學語言的形式化轉換

3.1.1強調對數學語言的準確理解

初中階段的數學語言主要以形象、通俗易懂的呈現(xiàn)方式進行表達，學生在理解題意方面基本上沒有太大的障礙，而受應試的影響，教師在平時的數學教學中容易忽視對概念的逐字逐句的理解與拓展，缺乏與高一級學段數學語言的銜接，更沒有進行任何有針對性的訓練，導致學生面對較為抽象的數學語言、邏輯運算、函數及圖象語言時，無法理解題目中的信息，讀不出題目中所隱含的解題要領和條件，比如題目中常有“若a為實數”這樣的條件，學生大都對其忽略，認為其對解題沒有多大的幫助，其實它的存在能啟發(fā)學生采用一種快速且簡潔的方法——特殊值法。

對于這樣的選擇題型，讀懂題中“點E在線段AD上”這個條件至關重要，因為直接將點E放在點D上即可迎刃而解，所以，初中數學課堂還是需要重視閱讀、理解、轉換、初高中的適當銜接，這樣才能真正提升學生的綜合解題水平。

3.1.2強化數學語言的準確轉換

和學習各門功課一樣，掌握數學的文字語言、符號語言以及圖形語言是必備基礎，它們之間既可相互轉換、又可獨成一體，平時的教學中受初中數學表達的局限以及不同學段的要求，教師雖然也很重視數學語言的相互轉換，但對內涵的挖掘不深、廣度不大、拓展不寬均可直接導致學生無法直擊核心問題，找不到解決問題的關鍵方法。

3.2注重邏輯推理能力的培養(yǎng)

3.2.1數學課堂更需要“理性思辨”

從安徽省中考第22題的典型答題錯誤的案例分析中，不難發(fā)現(xiàn)主要存在兩方面問題：一是數學課堂“理性”的成分不足，造成學生基本功不扎實，蜻蜓點水，一知半解，混個半壇水就夠了，不求深，不求實，主要表現(xiàn)為計算能力嚴重不足、邏輯推理混亂、書寫不規(guī)范等，因此，教師在教學中要狠抓基礎，基本運算，推理要熟練，有速度;數學常數、數學公式要精準記憶，有較豐富的數學積累;解題呈現(xiàn)要求規(guī)范、認真、布局合理，二是數學課堂的“思辨”氛圍不濃，造成學生思維惰性和定勢，盲目崇尚解題模型，此原因與課堂中的一些不良習慣和教學組織方式有關，教師為了營造課堂氛圍，往往會組織一些小組討論、交流，從而大量使用電化設備輔助教學，代替了學生的獨立思考、動手操作以及深層次的批判性思辨能力的訓練，造成學生思維的靈活性不強、獨立解題能力嚴重不足，因此，課堂中要營造理性思考以及“頓悟”的鍥機，引導學生深入探究，積極思辨，靈活運用，融會貫通，形成良好而高效的思維品質和水平。

3.2.2數學課堂更需要“縝密推理”

無論是幾何推理還是代數推理，都要遵循“縝密”原則，從中考的答題情況來看，因解題過程不夠嚴謹造成的失分還是較為普遍的，由于初中階段大多是演繹推理（也有用到不完全歸納等合情推理），所以在教學中除了讓學生掌握好應有的性質和判定定理外，教給學生一種能對具體的數學問題進行推理與判斷的“縝密推理”方法也是至關重要的，“從已知到可知，從未知到需知”，俗稱“打隧道”，即從問題的題設或結論入手，向各自方向找間接條件，當所要的條件與所能找到的條件一致時，“隧道”打通了，再將一步一步尋找的過程用數學符號呈現(xiàn)出來，就能實現(xiàn)邏輯推理的“縝密”性。

3.3注重數學思想方法的浸潤

3.3.1由“形→數”向“數→形”轉變

眾所周知，小學低段的思維以形象思維為主導，通常是由具體圖形中發(fā)現(xiàn)數（表象），隨著數學積累的不斷增加，思維方式也逐漸發(fā)展到形式運算階段，思維水平已超出具體的感知，進而進入抽象的形式思維，進入初中階段，數形結合思想更著重于由數到形（抽象）的轉變，因此教師在教學中需逐步滲透抽象思維的含量，將培養(yǎng)抽象思維能力放在非常重要的地位，如2019年安徽省中考第22題，解決這道壓軸題的關鍵策略是將題目中的數（數學符號）轉換為圖象語言，再根據圖象的性質和特征解決問題，所以在平時的教學中必須要注重“由數到形”的轉換，尤其是中考復習階段，更要加強這方面的訓練，力求做到透過現(xiàn)象問本質，因為越掌握問題本質，抽象程度就越高，越能抵達問題實質，所以不能瞻前顧后、左顧右盼，擔心學生達不到心智能力而降低思維水平的要求。

3.3.2抽象思維能力的訓練是關鍵

抽象是人類獲得自然界本質的內在認識的唯一思維工具和手段，列寧說：“認識是人對自然界的反應，但并不是直接的、簡單的、完全的反應，而是一系列抽象思維的過程，即概念、規(guī)律等的構成、形成過程，”高中階段的數學抽象首先體現(xiàn)在把實際問題抽象為數學模型，即將現(xiàn)實問題數學化，這種抽象能力在高中的數學活動中占有非常重要的地位，為了讓學生在高中能夠順利適應數學學習，因此，初中的數學課堂也要有意識地引導學生對實際問題進行觀察、實驗、猜想、驗證、歸納、證明，進而抽象為數學問題，即“用數學”的意識和本領，其中，運算、方程、函數以及圖形的性質和判定等學習都是培養(yǎng)學生抽象思維能力的重要素材和手段，能促使學生學會發(fā)現(xiàn)、學會研究、學會學習。

總體而言，2019年安徽省中考第22題的考查暴露了考生在處理新題型上存在諸多問題，尤其暴露了教師在平時教學、乃至備考期問存在的功利性思想或行為，所以在教學中不僅要注重知識的教學，更多的要關注學生能力的培養(yǎng)，翻看歷年的中考題也不難發(fā)現(xiàn)，未來的中考題型必定越來越豐富，對學生的能力要求也越來越高，所以對教師平時教學的要求也越來越高，需要教師從知識的傳授者向能力的培養(yǎng)者轉化，在數學課堂教學中注重數學語言的形式化轉換、注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，注重數學思想方法的浸潤，使數學素養(yǎng)能夠落地生根，使學生的思維能力在潛移默化中得到培養(yǎng)。