復雜不確定系統可靠性分析的貝葉斯網絡方法

王海朋，段富海

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

現代可靠性工程研究對象已發生從簡單到復雜、從組件到系統、從單狀態到多狀態的轉變，呈現出復雜性、不確定性、集成性和多態性等新特點。在實際工況中，由結構復雜、可靠性數據不足等因素導致的復雜多態系統可靠性分析不確定性問題，引起了學者的廣泛關注。隨之發展起來的系統可靠性分析方法有：模糊故障樹[1-2]、Takagi-Sugeno(T-S)模糊故障樹[3-4]、模糊Petri網[5-6]、生成函數法[7-8]和貝葉斯網絡(BN)方法[9-10]等，其中BN不僅能夠清晰、有效地表達多態系統的復雜邏輯關系，而且具有獨特的雙向推理機制，特別適合于高可靠性、小子樣復雜系統的可靠性分析，已應用于可靠性分析[11-12]、風險評估[13-14]、故障診斷[15]等領域。

模糊數學和灰色系統理論是目前最活躍的兩種不確定性系統理論[16]，為基于BN的不確性分析提供了重要理論依據。文獻[4]針對BN方法和T-S故障樹方法的不足，結合模糊數學，將T-S故障樹引入BN中，構建出一種模糊可靠性評估模型，并對巷道運輸車液壓系統進行了可靠性評估。文獻[17]將直覺模糊集應用到BN中，提出一種能夠精確確定BN各根節點狀態發生概率的方法。文獻[18]將灰色系統理論引入BN模型中，解決了組件之間故障狀態難以界定的問題。文獻[19]用模糊數學和灰色系統理論對油輪設備進行了故障模式和影響分析。文獻[20]將模糊技術引入BN可靠性模型中，賦予BN解決不確定信息的能力，并以液壓系統驗證所提模型有效。

基于BN的不確定分析，或引入灰色系統理論，或引入模糊技術，雖然取得了較好的研究成果，但對現代系統的復雜性、不確定性及多態性考慮仍不完善，存在問題有：1)對故障狀態描述的隸屬度函數的模糊支撐半徑都為定值，如文獻[4,18]等，這雖然能解決某些不確定性條件下的多態系統可靠性分析問題，但難免在隸屬度函數的構建過程中引入過多主觀信息，導致系統可靠性分析結果出現偏差；2)將系統與組件間的故障邏輯關系假設為確定的，如文獻[10,20]等，這忽略了由于可靠性數據不足、運行環境復雜多變等因素導致的組件和系統間邏輯關系的不確定性，難以滿足對復雜系統可靠性分析的要求。

本文針對以上問題，將模糊數學和灰色系統理論引入多態BN的可靠性分析模型中，提出一種基于不確定隸屬度函數和區間特征量的復雜系統可靠性分析方法。用含變量的隸屬度函數來表征組件故障狀態，不僅避免了人為主觀因素對隸屬度函數選擇的影響，而且將組件故障狀態的不確定性有效量化；用區間灰數描述條件概率表(CPT)中的確定值，有效表達了組件和系統間不確定的故障邏輯關系；構建出含模糊支撐變量的系統可靠性特征量參數規劃模型，將可靠性特征量的不確定性量化，并表示為區間；最后以衛星推進系統為例，驗證了所提方法的有效性。

1 灰色模糊BN方法

1.1 可靠性建模與分析的灰色模糊BN方法

BN由有向無環圖(DAG)和CPT組成，是一種概率圖型模型。DAG由節點和有向邊組成。節點可表示故障狀態、故障模式等變量。根節點為不具有父節點的節點；葉節點為不具有子節點的節點；其他節點為中間節點[20]。有向邊由父節點指向子節點。CPT表示節點間因果故障邏輯關系，即組件和子系統、系統間故障邏輯關系。

模糊數學借助隸屬度函數研究不確定性問題，本文構建含模糊支撐半徑變量r的梯形模糊數(TrFN)來描述組件和系統在故障演化過程中某時刻故障狀態的模糊不確定性，主要包括兩方面：1)人為主觀因素選擇隸屬度函數引起的不確定性(將描述故障狀態隸屬度函數的模糊支撐半徑設定為定值引起的不確定性)；2)各故障狀態間的模糊不確定性。

灰數是灰色系統基本單元，是描述只知取值范圍而不知其確切值的數；區間灰數是灰數的一類，是指既有下界a、又有上界b的灰數，記為?∈[a,b],其中a,b∈R,且滿足a

基于傳統BN，系統可靠性建模與分析的灰色模糊BN方法步驟框圖如圖1所示。

圖1 可靠性建模與分析的灰色模糊BN方法

圖1所示方法將傳統節點變量推廣到灰色模糊BN節點，表達組件和系統在故障演化過程中某時刻故障狀態的模糊不確定性；將傳統的CPT推廣到含區間灰數的CPT，表達組件和系統間具有灰色系統信息特征的不確定故障邏輯關系。步驟如下：

1)分析系統基本原理，明確各組件、系統的故障狀態和故障模式，建立系統BN模型的DAG；

2)根據組件的故障狀態和故障模式，引入含變量r的TrFN描述組件和系統在故障演化過程中某時刻故障狀態的模糊不確定性，見1.2.1節；

3)構建含區間灰數?的CPT描述組件和系統間具有灰色系統信息特征的故障邏輯關系，見1.2.2節；

4)根據步驟1～步驟3和相應的系統可靠性特征量定義，得出相應的系統可靠性特征函數，見1.2.3節；

5)以系統可靠性特征函數為目標函數，以區間灰數?的取值區間為約束條件，構建出可靠性特征量參數規劃模型，用優化算法分別進行葉節點可靠性分析和根節點重要度分析，根據分析結果評估系統可靠性和組件重要度，見1.2.4節。

1.2 灰色模糊BN方法詳細步驟

1.2.1 灰色模糊BN節點的故障狀態描述

實際工程中，組件和系統從正常工作到完全故障的演化過程中往往會表現出多種故障模式和多種故障狀態，且各故障狀態間沒有嚴格界限，具有一定的模糊不確定性。不失一般性，本文構建含模糊支撐半徑變量的梯形隸屬度函數來表征組件和系統的故障狀態。

(1)

(2)

圖2 含變量r的組件故障狀態的隸屬度函數

由圖2可知，梯形隸屬度函數的確定性區域和不確性區域隨變量r的變化而變化。由圖2得節點各故障狀態隸屬度的計算公式如表1所示。

1.2.2 灰色模糊BN的CPT描述

復雜系統擁有大量交互成分，內部關系復雜，且運行環境復雜多樣，導致其故障模式和故障機理復雜多變，使得組件對系統可靠性影響具有不確性；且受到研制成本和研制周期等影響，系統可靠性特點和規律的全部信息，難以在預定的時間內獲得，這都導致組件和系統間的故障邏輯關系具有灰色系統信息特征，使得組件和系統間的故障邏輯關系難以用確定值描述。為準確描述組件和系統間故障邏輯關系，用區間灰數描述BN中條件概率數值，n個包含m種狀態節點的灰色模糊BN的CPT，如表2所示。

表1 組件故障狀態的隸屬度

表2 灰色模糊BN的CPT

表2中每行代表當父節點不同故障狀態時，子節點為某故障狀態的條件概率，如P(y=i|x1,x2,…,xn)=?1,1,…,1,i表示在節點x1～xn故障狀態都為0時，節點y為故障狀態i的概率等于區間灰數?1,1,…,1,i，?1,1,…,1,i∈[0, 1]，且滿足?1,1,…,1,1+…+?1,1,…,1,i+…+?1,1,…,1,m=1.

1.2.3 灰色模糊BN的多態系統可靠性分析

灰色模糊BN不僅能夠表征和量化組件和系統不確定的故障狀態，還能表達組件和系統間復雜多變的邏輯關系。此外，利用BN獨特的雙向推理能力，可有效分析系統葉節點可靠性、系統根節點的重要度等系統可靠性特征量。

灰色模糊BN用含有變量的隸屬度函數來描述節點的故障狀態，并不是用簡單的隸屬度函數來描述；用區間灰數來表達組件和系統間不確定性的故障邏輯關系，并不是用確定值來表達。為區別傳統BN定義，在灰色模糊BN中將可能性、發生概率、狀態重要度、關鍵重要度拓展定義為灰色模糊可能性、灰色模糊概率、灰色模糊狀態重要度、灰色模糊關鍵重要度，詳見1.2.3.1節和1.2.3.2節。

1.2.3.1 灰色模糊BN葉節點可靠性分析

1.2.3.1.1 葉節點各故障狀態分析

設灰色模糊BN根節點為xi(i=1,2,…,n)，中間節點為yj(j=1,2,…,n)，葉節點為T；若各根節點當前故障狀態為x′1,…,x′n，則葉節點T處于故障狀態Tq的灰色模糊可能性為P?(T=Tq)，應用桶消元法計算過程為

P?(T=Tq)=

(3)

1.2.3.1.2 葉節點各故障狀態的故障概率分析

(4)

1.2.3.2 灰色模糊BN根節點重要度分析

1.2.3.2.1 灰色模糊狀態重要度

P?(T=Tq|xi=0)],0}，

(5)

式中：P?(T=Tq|xi=x′i)表示節點xi故障狀態為x′i時，葉節點T故障狀態為Tq的灰色模糊可能性；P?(T=Tq|xi=0)表示根節點xi故障狀態為0時，葉節點T故障狀態為Tq的灰色模糊可能性。

1.2.3.2.2 灰色模糊關鍵重要度

在故障樹分析中，關鍵重要度是一個變化率的比，表征底事件故障概率的變化率引起頂事件故障概率的變化率。借鑒此思想，在多態系統中，關鍵重要度是指某一組件發生可靠性退化的變化率引起系統可靠性退化的變化率[22]，因此可給出灰色模糊多態BN中根節點xi的關鍵重要度定義：

(6)

1.2.4 系統可靠性特征量的求解算法

用含有模糊支撐半徑變量的梯形隸屬函數表征系統組件故障狀態，用含區間灰數的CPT描述組件和系統間不確定的故障邏輯關系時，構造出如(7)式所示的參數規劃模型，以(3)式～(6)式中某個系統可靠性特征量的表達式為目標函數，可對其進行求解。

max(min)f(?1,?2,…,?n)，

(7)

式中：ai和bi表征CPT中當父節點不同故障狀態時，子節點處于某故障狀態條件概率的最小值和最大值。

該參數規劃本質是由一系列區間灰數?i在確定的區間[ai,bi]內求解函數極值的問題，可用商業優化軟件(如MATLAB、Isight等)求解。

另外，大型復雜多態系統，組件的數量多，組件和系統間不確定的故障邏輯關系更加復雜，這使得(7)式中的目標函數變復雜，以及約束條件的數量增加，可借助Lingo、Gurobi、CPLEX等專業求解器來求解，計算量可控。對節點間可靠性特征量的大小比較，可根據Nakahara等[23]提出的區間大小比較規則，來評判特征量大小。

2 衛星推進系統可靠性分析

衛星推進系統是實現衛星變軌、姿態控制、軌道保持、定位和離軌等任務的動力系統，其性能的好壞直接影響衛星的控制精度和壽命。據統計，受外太空惡劣環境的影響，衛星推進系統故障概率相對較高，分析其可靠性非常必要。為驗證所提灰色模糊BN方法的有效性，本節以衛星推進系統為案例，進行演示驗證，并與文獻[4,24]中的方法進行對比。

2.1 系統建模

單組元推進系統結構小巧緊湊，是中低軌衛星領域最常用的一種推進系統，主要包括貯箱、加排閥、過濾器、自鎖閥、壓力傳感器和推力器，如圖3所示。貯箱為推力器提供推進劑；加排閥為貯箱加排增壓氣體和推進劑；過濾器用于過濾掉推進劑中的雜質，防止堵塞管道系統；自鎖閥用來控制管路開關；壓力傳感器實時監測管道壓力；推力器為系統提供推進力。

圖3 單組元推進系統結構

單組元推進系統采用雙備份結構，推力器1支路和推力器2支路只要有一個正常工作，系統就能正常工作；如果兩支路都發生故障，則系統處于故障狀態；由于組件與系統間不確定性的故障邏輯關系，當任一支路故障，另一支路半故障時，系統可能故障，可能半故障，也有可能正常工作。根據圖3構造單組元推進系統BN，如圖4所示。

圖4 單組元推進系統BN

表3 節點y1的CPT

表4 節點y2的CPT

2.2 系統葉節點可靠性分析

2.2.1 葉節點故障狀態分析

已知各根節點當前故障狀態為x′1=0.3，x′2=0.4，x′3=0.2，x′4=0.6，x′5=0.3,x′6=0.7，x′7=0.1，x′8=0.7，x′9=0.3，x′10=0.4，x′11=0.2，x′12=0.8.由表1可知各根節點故障狀態的隸屬度，如表6和表7所示。根據表6和表7，由(3)式和(7)式，運用MATLAB軟件優化工具箱提供的fmincon函數，可求出葉節點T在不同故障狀態下的模糊可能性，即葉節點T灰色模糊可能性的極值隨變量r的變化曲線，如圖5所示。由圖5可知：

表5 節點T的CPT

1)從系統可靠性的角度分析，在已知組件當前故障狀態條件下，由于結構復雜、可靠性數據不足等原因導致的不確定性，葉節點T灰色模糊可能性(系統可靠度)可能在兩條曲線和兩條曲線間區域的任一點取值，顯然，由不確性問題導致系統可靠性分析結果的差別較大。

2)當0≤r<0.2時，隨著變量r增大，根節點的不確性減小，葉節點T各故障狀態灰色模糊可能性上、下限值的差值總體呈現減小趨勢。以葉節點T=0的灰色模糊可能性為例，如表8所示。

3)當0.2≤r≤0.25時，由各根節點求出節點y3不確定性為0，求出葉節點T各故障狀態灰色模糊可能性均是一條與變量r值無關的直線。

表6 二態根節點故障狀態的隸屬度

表7 三態根節點故障狀態的隸屬度

圖5 葉節點T的灰色模糊可能性

表8 葉節點T=0的灰色模糊可能性

表9 葉節點T處于不同故障狀態的灰色模糊可能性

由表9可知:

1)灰色模糊BN方法得到的結果包含文獻[4]中的結果，驗證了所提方法的有效性。

2)區間大小比較規則，得P(T=1)>P(T=0)>P(T=0.5)，表征在當前故障狀態下，推進系統出現故障的可能性和無故障的可能性均高于半故障的可能性，且系統發生故障的可能性最大。

2.2.2 葉節點故障概率分析

根據工程實際和文獻[25-26]，各組件故障狀態為1的故障率如表10所示，并假設過濾器和推力器組件故障狀態為0.5與故障狀態為1的故障率相同。

表10 組件故障率

表11 各根節點模糊概率

根據表11、(4)式和(7)式，計算出葉節點T處于不同故障狀態灰色模糊概率(見表12)。用文獻[4]方法來驗證灰色模糊BN方法計算葉節點T處于不同故障狀態灰色模糊概率的有效性，結果如表12所示。

表12 葉節點T處于不同故障狀態的灰色模糊概率

由表12知:

1)灰色模糊BN方法得到的結果包含文獻[4]方法計算得出的結果，驗證了所提方法的有效性。

2.3 根節點重要度分析

2.3.1 灰色模糊狀態重要度

圖6 節點x1灰色模糊狀態重要度隨變量r變化的曲線

根節點狀態重要度受組件當前故障狀態和變量r的綜合影響，當各組件當前故障狀態和變量r不同時，各根節點狀態重要度的取值區間不同，分析得出系統的薄弱環節也不同。可根據實際工程選擇合適的變量r，當r為0.125時各根節點狀態重要度的取值區間(見表13)。用文獻[4]方法來計算根節點的狀態重要度，結果如表13所示。

表13 根節點灰色模糊狀態重要度

由表13可知:

2)在已知根節點當前故障狀態條件下，從節點的狀態重要度分析時，對于系統的半故障狀態，節點x4為系統最薄弱環節；對于系統故障狀態，節點x12為系統最薄弱環節。

2.3.2 灰色模糊關鍵重要度

由表14可知:

2)當從節點的關鍵重要度分析時，對于系統半故障狀態，節點x3和x7發生可靠性退化的變化率引

表14 根節點灰色模糊關鍵重要度

起系統可靠性退化的變化率最大；對于系統故障狀態，節點x9發生可靠性退化的變化率引起系統可靠性退化的變化率最大。

上述分析過程是在計算機配置為Window7 64位系統，Intel Core i5-4460處理器，3.2 GHz主頻，4 GB內存的MATLAB 2012a軟件平臺上計算所得。借助于軟件平臺，通過該案例可知本文方法編程思路清晰，邏輯清楚，運算效率高，計算量可控。

3 結論

本文將模糊數學和灰色系統理論引入BN中，提出一種基于不確定隸屬度函數和區間特征量的復雜不確定系統可靠性分析灰色模糊BN方法，能夠有效定量分析不確定條件下的復雜系統可靠性和組件重要度。得出以下主要結論：

1)所提方法給出了傳統BN不能反映組件故障狀態和故障率、不能有效描述組件和系統間不確定故障邏輯關系等不確定性問題的有效解決方法。

2)所提方法在不需要精確值條件下，能有效表征和量化由于系統結構復雜、實驗樣本有限、可靠性數據不足等因素導致的不確定性對系統可靠性的影響。

3)用所提方法分析衛星推進系統的可靠性，求解出在已知各根節點當前故障狀態和故障率條件下的系統可靠度；利用BN的雙向推理機制分析了組件的重要度，所求出的系統可靠度及組件重要度等可靠性特征量均以區間值形式表示，能為復雜不確定系統的可靠性分析、故障診斷和維修決策提供重要參考依據。