一次函數(shù)的應用教學課例

肖澤永

一、教學設計

這是2018年11月4-10日習水縣“鄉(xiāng)村名師工作室”引領“種子”教師跟崗研修學習到貴陽市第十九中學七年級10班所上的一節(jié)常態(tài)課，課時內容來源于北師大版八年級上冊第四章第四節(jié)：一次函數(shù)的應用第一課時。

（一）學生起點分析

本節(jié)課之前，學生已初步掌握了函數(shù)的概念、一次函數(shù)的圖象及性質，并了解了函數(shù)的三種表達方式：圖象法、列表法、解析式法。在此基礎上引導學生根據(jù)圖象等信息列出一次函數(shù)表達式的方法，并進一步感受數(shù)形結合的思想方法。

（二）教學任務分析

本節(jié)課是北師大版義務教育教科書八年級上第四章《一次函數(shù)》第四節(jié)的第一課時，主要內容是利用圖象信息，確定一次函數(shù)的表達式。與原教材相比，新教材更注重與實際聯(lián)系，更加注重培養(yǎng)學生掌握數(shù)形結合這一重要的思想方法;并且讓學生更加明確確定一次函數(shù)的表達式需要兩個獨立的條件，這個問題雖然簡單，但它涉及數(shù)學對象的一個本質概念?????---基本量。值得一提的是確定一次函數(shù)表達式，需要根據(jù)兩個條件列出關于k、b的方程組，而二元一次方程組是下一章的學習內容，因此本節(jié)所研究的一次函數(shù)，某個參數(shù)應較易于從所給條件中獲得，從而轉化為通過另一個條件確定 另一個參數(shù)的問題。因此，在教學中要注意控制問題的難度，對于一般問題，可在下一章的學習中再加強訓練。

（三）教學目標：

1.了解兩個條件可確定一 次函數(shù);能根據(jù)所給信息（圖象、表格、實際問題等）利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式;并能利用所學知 識解決簡單的實際問題.

2.經歷對正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的探求過程，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式，進一步發(fā)展數(shù)形結合的思想方法;

（四）教學重難點：

重點：通過函數(shù)圖象獲取信息

難點：用待定系數(shù)法解較為簡單的一次函數(shù)的應用題.

（五）核心問題：

如何用待定系數(shù)法解較為簡單的一次函數(shù)的應用題.

（六）設計思路：

本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前復習;第二環(huán)節(jié)：情境引入; 第三環(huán)節(jié)：深入探究;第四環(huán)節(jié)：反饋練習;第五環(huán)節(jié)：體驗收獲;第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置。

二、教學過程

第一環(huán)節(jié)課前復習

提問：（1）什么是一次函數(shù)？

（2）一次函數(shù)的圖象是什么？

（設計意圖：學生回顧一次函數(shù)相關知識，溫故而知新。）

第二環(huán)節(jié)情境引入

展示實際情境：某物體沿一個斜坡下滑，它的速度v（米/秒）與其下滑時間t（秒 ）的關系如圖所示.

（1）寫出v與t之間的關系式;

（2）下滑3秒時物體的速度是多少？

生1：2s時，速度是5m/s，所以每秒的速度是2.5m，因此v與t的關系式是：v=2.5t;

生2：由圖像設v=kt，把v=5，t=2代入得，k=2.5，所以，v=2.5t。

課前反思：學生可能會用圖象所反映的實際意義來求函數(shù)表達式，如先求出速度，再寫表達式，教師應給予肯定，但要注意比較兩種方法異同，并突出待定系數(shù)法.

想一想：確定正比例函數(shù)的表達式需要幾個條件？確定一次函數(shù)的表達式呢？

生：一個。

（設計意圖：在實踐的基礎上學生加以歸納總結。這個問題涉及到數(shù)學對象的一個本質概念——基本量.由于一次函數(shù)有兩個基本量k、b，所以需要兩個條件來確定.）

第三環(huán)節(jié)深入探究

例1 在彈性限度內，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體的質量x（千克）的一次函數(shù)，一根彈簧不掛物體時長14.5cm;當所掛物體的質量為3kg時，彈簧長16cm。寫出y與x之間的關系式，并求所掛物體的質量為4kg時彈簧的長度.

生3： 掛物體的質量為3kg時，彈簧伸長1.5cm，每千克伸長0.5cm，所以y=0.5x+14.5;

生4：因為y與x是一次函數(shù)，所以設y=kx+b，把（0，14.5）（3，16）代入解析式，解得，k=0.5，b=14.5，所以，y=0.5x+14.5

（設計意圖：引例中設置的是利用函數(shù)圖象求函數(shù)表達式，這個例子選取的是彈簧的一個物理現(xiàn)象，設計意圖在于讓學生從不同的情景中獲取信息求一次函數(shù)表達式，進一步體會函數(shù)表達式是刻畫現(xiàn)實世界的一個很好的數(shù)學模型.這道例題關鍵在于求一次函數(shù)表達式，在求出一般情況后，第二個問題就是求函數(shù)值的問題可迎刃而解.）

課前反思：學生除了從函數(shù)的觀點來考慮這個問題之外，還有學生是用推理的方式：掛3千克伸長了1.5厘米，則每千克伸長了0.5厘米，同樣可以得到 與 間的關系式.對此，教師應給予肯定，并指出兩種方法考慮的角度和采用的方法有所不同.

歸納：大家思考一下，在上面的兩個題中，有哪些步驟是相同的，你能否總結出求一次函數(shù)表達式的步驟.

求函數(shù)表達式的步驟有：1.設一次函數(shù)表達式.

2.根據(jù)已知條件列出有關方程.

3.解方程.

4.把求出的k，b值代回到表達式中即可.

（設計意圖：對求一次函數(shù)表達式方法的歸納和提升。在此基礎上，教師可指出這種先將表達式中未知系數(shù)用字母表示出來，再根據(jù)條件求出這個未知系數(shù)，這種方法稱為待定系數(shù)法.）

第四環(huán)節(jié)反饋練習

1.如圖，直線 是一次函數(shù)y=kx+b的圖象，求它的表達式.

2.如圖：（1）當y=0時，x=________;

直線對應的函數(shù)表達式是______________.

3.已知直線 與直線y=2x平行，且與y軸交于點（0，2），求直線 的表達式.

（設計意圖：三個練習旨在對學生求一次函數(shù)表達式的掌握情況進行反饋，以便及時調整教學進程.）

第五環(huán)節(jié)體驗收獲

本節(jié)課主要學習了怎樣確定一次函數(shù)的表達式，在確定一次函數(shù)的表達式時可以用待定系數(shù)法，即先設出解析式，再根據(jù)題目條件（根據(jù)圖象、表格或具體問題）求出 ， 的值，從而確定函數(shù)解析式。其步驟如下：（1）設函數(shù)表達式;（2）根據(jù)已知條件列出有關k，b的方程;（3）解方程，求k，b;（4）把k，b代回表達式中，寫 出表達式.

設計意圖：引導學生小結本課的知識及數(shù)學方法，使知識系統(tǒng)化.

第六環(huán)節(jié)作業(yè)布置

習題2，4

（設計意圖：進一步鞏固當天所學知識。）

點評：

本節(jié)課的重點是要學生了解正比例函數(shù)的確定需要一個條件，一次函數(shù)的確定需要兩個條件，能由條件利用待定系數(shù)法求出一些簡單的一次函數(shù)表達式，并能解決有關現(xiàn)實問題.本節(jié)課設計注重 發(fā)展了學生的數(shù)形結合的思想方法及綜合分析解決問題的能力及應用意識，為后繼學習打下基礎.

探究的過程由淺入深，并利用實際情景，既增加了學生學習的興趣，又讓學生深切體會到一次函數(shù)就在我們身邊，應用非常廣泛.

教學中注意到讓學生掌握求一次函數(shù)表達式的一般方法.但調動學生積極性還有待加強。學生從函數(shù)的觀點來考慮這個問題和用推理的方式解決這個問題，比較這兩種方法強調不夠。

點評人：羅湘榕

三、教學體驗

（一）教的轉變

本節(jié)課從實際生活的問題情境（物體下滑）入手，讓學生在觀察圖像中探索出一次函數(shù)的解析式。又通過現(xiàn)實背景的例題，進一步理解用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，并讓學生體會到一次函數(shù)的實際應用。因此，本節(jié)課的重點是經歷一般探索過程，發(fā)展學生的抽象思維能力，理解用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟，能根據(jù)已知條件求出簡單的一次函數(shù)表達式，發(fā)展學生的數(shù)學應用能力;加強數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，促進學生新的認識結構的建立和數(shù)學應用的發(fā)展。在課堂教學中教師的角色從知識的傳授者轉變?yōu)閷W生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。通過這種創(chuàng)設問題情境的教學，能始終讓學生處于一種積極思考問題的狀態(tài)中，從而激發(fā)學生自覺地探究數(shù)學問題，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣。

（二）學的轉變

本節(jié)內容是讓學生經歷一般探索過程，從實際問題中抽象出用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，所以在教學方法上應以學生自學為主，教師予以引導為輔，在學生遇到困難如根據(jù)已知條件求出簡單一次函數(shù)表達式和一次函數(shù)的實際應用時，學生在此方面會出現(xiàn)一定的差異，此時，要給予學生足夠的思考時間，必要的時候可組織學生交流討論，而不能簡單地“告訴”;同時讓更多的學生上黑板去展示自己，并進一步讓學生從中感受從具體情境中挖掘信息應用適當?shù)姆绞角笠淮魏瘮?shù)關系式，從而加深對建模思想的理解。為兼顧優(yōu)等生，更好地評價學生，特設計了能力拓展題，讓教學盡可能使學生各有收獲。

參考文獻：

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