“雙球飛石索”的物理模型及影響其繞軸纏繞圈數的因素

陳逸嘉，何洪仁，邱孝兵，鄧慧文，趙蕓赫

“雙球飛石索”的物理模型及影響其繞軸纏繞圈數的因素

陳逸嘉1，何洪仁1，邱孝兵1，鄧慧文1，趙蕓赫2

（1.四川省成都市溫江中學，四川 成都 611130；2.首都師范大學附屬中學，北京 100048）

為“雙球飛石索”這一傳統狩獵工具建立了一個簡化的物理模型，對該模型中重物迅速靜止的現象進行了理論分析與實驗研究。從理論上分析了雙球飛石索的動力學過程，并用Matlab軟件數值求解了系統的運動軌跡，然后設計實驗驗證了理論模型的有效性。通過控制變量實驗，探究了釋放角度、輕重物質量之比、繩長、繩與桿的摩擦因數4個自變量對輕物端細線繞桿圈數的影響，得到的4個自變量對其影響的變化關系也與理論預測較為相符。

雙球飛石索；運動軌跡；繞桿圈數；狩獵工具

雙球飛石索是一種古代的經典狩獵工具，一根麻繩的兩端點上纏繞固定兩個石頭就構成了其基本結構，如圖1所示。古時候的狩獵者往往騎在飛馳的馬匹上，瞄準獵物拋出飛石索，纏繞鎖住獵物的腳或者脖子，其利用的原理正是自身結構的旋轉纏繞特性。

圖1 雙球飛石索簡圖

本文在對飛石索狩獵這一工具的研究中，將其簡化為豎直平面內的運動，其大致的運動過程為：將一根兩端分別固定了輕重兩物的長細繩掛在任意水平桿上，用手下拉輕物并吊起重物，釋放輕物，它即會繞桿掃動，短暫時間后重物會突然停止下落，輕物及輕物端細繩繼續繞桿旋轉直至完全纏繞在水平桿上，便達到阻止重物落向地面的目的。該現象中由輕重兩物及細繩組成的系統即為在豎直平面內運動的雙球飛石索模型。本文對上述現象進行了理論分析并建立理論模型，將得到的動力學方程在Matlab中擬合，調整相關參數得出雙球飛石索的軌跡動態圖，將其與實驗結果對比。通過實驗探究了繞桿圈數與各變量之間的關系，這些結論在高空救援、逃生等方面有著重大意義，被救者常常會被當作重物，在緊急情況下，通過調節雙球飛石索模型的相關參數來控制救援設備的初始條件，釋放恰當的輕物，即可最有效、便捷地保證待救人員的人身安全。

1 雙球飛石索的理論模型

1.1 雙球飛石索現象的原理分析

根據《力學》（第三版）[1]可以得到雙球飛石索現象中重物與輕物所受拉力的關系式：

1=2μα（1）

式（1）中：1為重物端繩上拉力，即重物重力；2為輕物端繩上拉力，且1＞2；為自然底數；為繩與桿的靜摩擦因數，而在繩與桿有相對運動時可將視為動摩擦因數；為繩與桿的包角。

在重物下落的過程中，輕物會繞桿掃動，包角逐漸增大，導致等式右側指數倍增長，在某一極短時間內增加直至大于等于等式左邊一項，繩上拉力大于等于重物重力，此時重物便突然停止。

1.2 運動全過程輕重物的動力學方程

在極坐標系下，將桿的橫截面圓心看作極點，以豎直向上為極軸的正方向，極角取逆時針為正方向，如圖2所示。

圖2 雙球飛石索運動過程中的受力分析示意圖

分析輕物的運動，由幾何關系可得：

=0－－（π+） （2）

式（2）中：為輕物端繩長；0為繩總長；為重物端繩長；為桿的橫截面半徑；為輕物端細繩從=180°開始的繞轉角度。

=π+（3）

對式（2）兩邊求導得：

對輕物使用角動量定理，因為輕物繞繩與桿相交的切點掃動，而切點繞桿做圓周運動，所以以切點為旋轉非慣性參考系，則有：

聯立式（2）（4）（5）可得：

由重物的受力分析得：

對輕物進行徑向受力分析得：

聯立式（1）（3）（8）（9）得：

式（10）為重物運動全程的動力學方程，式（6）和式（10）這兩個方程可分別描述雙球飛石索輕、重物運動的軌跡，以及輕重物運動全程的速度、加速度、角速度、角加速度等運動學物理量隨時間的變化特征。此外，也可基于這兩式從不同目的對雙球飛石索切入探究。將式（6）和式（10）代入Matlab進行數值求解即可模擬雙球飛石索的運動。

在式（10）中，繩與桿的摩擦因數是不可忽略的，在Matlab中雙球飛石索模型得以運行的前提是需要明確值。以下討論測定的方法，并給出由本實驗情況決定的值。

1.3 摩擦因數的測量

觀察在包角為180°時，輕物豎直上升，重物豎直下落的情況。

設桿上細繩對桿豎直向下的壓力為，如圖3所示。

圖3 繩對桿的壓力示意圖

正壓力N則指向圓心，它與壓力之間的關系為：

式（11）中：為正壓力與豎直方向所成夾角。

通過微元法將繩對桿施加的正壓力拆分成無數個繩微元對桿微元的正壓力之和，從左到右為由90°減小為0°時，繩微元對桿微元的正壓力變化趨勢如圖4所示。

圖4 繩對桿正壓力變化示意圖

從圖4不難看出桿兩側正壓力大小相同、方向恰好對稱，由此可將對稱的兩側正壓力合成，得到：

N合=2Ncos（12）

聯立式（11）（12）可得：

N合=2cos2（13）

對式（13）積分得：

在實驗中，實際測量方案為：讓輕重物兩端細繩按圖3所示方式豎直懸掛在水平桿上，用力的傳感器在輕物端施加一個豎直向下的拉力，使系統處于靜止狀態。此時緩慢增大拉力，當重物勻速上升時，觀察傳感器顯示屏上一段時間內保持不變的拉力值，并記錄下來，用此值加上輕物重力后可得到輕物端細繩的拉力。

由受力分析可知，用輕物端細繩的拉力減去重物端細繩的拉力（即重物重力），得到滑動摩擦力，即：

=light－heavy（15）

式（15）中：light為輕物端細繩的拉力；heavy為重物端細繩的拉力。

此時，桿受繩的豎直壓力為：

=light+heavy（16）

2 實驗驗證

2.1 實驗裝置及步驟

實驗裝置如圖5所示，所用到的實驗用品有鐵桿、鐵架臺、金屬墊圈、細繩以及自制量角器（用來控制初始的釋放角度）。實驗中，將桿用鐵架臺固定并保持其水平，再把兩份數量不等的金屬墊圈分別系在細繩兩端，充當輕、重物。將細繩掛在桿上，下拉輕物使重物上升至一定高度，再使輕物端細線與相應的量角器刻度重合以達到控制釋放角度的目的，然后釋放輕物，用相機拍攝從輕物釋放至輕重物完成運動后均靜止的過程，并觀察實驗現象。將錄制的視頻導 入Tracker追蹤輕物的軌跡得到實驗數據，用其與理論結果比對。

圖5 雙球飛石索的裝置實物圖

2.2 實驗驗證

最直觀的驗證方法為對照輕物軌跡圖，通過觀察理論與實驗得到的軌跡是否重合來判斷理論是否合理。根據實驗實際相關參數，設置Matlab求解雙球飛石索運動程序中的初始變量值：選取水平桿橫截面半徑=0.012 m，繩與桿的摩擦因數=0.26，重力加速度=9.8 kg·m/s2，用輕重物質量之比（M/m）、繩總長0、初始釋放角0等進行數值模擬預測，并與實驗圖像進行比對，=8、0=1.0m、0=90°條件下理論與實驗的對比如圖6所示。

圖6 輕物軌跡的實驗驗證

對比多組理論和實驗的數據之后，發現理論模擬與驗證實驗的輕物軌跡圖基本重合，可以看出，理論與實驗符合度較高。

3 影響繞桿圈數的因素

3.1 理論預測

繞桿圈數是描述雙球飛石索現象的特征量之一。接下來討論初始狀態，即輕物釋放前，繞桿圈數與繩長、釋放角度、輕重物質量之比、繩與桿的摩擦因素等變量的關系。

直觀感受是繞桿圈數與繩長正相關，但這樣就忽略了輕重物質量之比的影響。實際運動并非那么簡單，如果繩長過長，而輕重物質量又很接近，在這種情況下，極可能無法完成完整的運動：輕物還未繞過最高點，速度就減小為0，從而跌落返回。此時若繩長越短，繞桿圈數反而會越多，但這僅屬于特殊情況。所以成正相關關系的條件為完成完整的雙球飛石索運動。

由式（10）可知，在能完成完整的雙球飛石索運動條件下，重物質量比輕物質量大得越多，重物豎直向下的加速度減小越慢，下落時間就會越長。可抽象地理解為重物端消耗的繩長更長，留給輕物端繞桿掃動的繩長自然更短，繞桿圈數也就更少。此時繞桿圈數與輕重物的質量之比的倒數正相關，但類比繩長的討論，考慮這種情況：重物質量遠大于輕物，而繩子恰巧較短，整個過程將會變得極為迅速，系統變得極不穩定，將很難確保它有較多的繞桿圈數。

繩與桿的摩擦因數也會存在影響。由式（10）不難發現，在能完成完整的雙球飛石索運動的條件下，摩擦因數越大，重物豎直向下的加速度減小得越快，重物就會越早停止下落，于是重物端消耗的繩長更短，留給輕物端繞桿掃動的繩長會更長，繞桿圈數也就越多。

對于釋放角度的影響，通過觀察實驗現象可知：釋放角度過大或過小時，繞桿圈數往往都不會太大，而選取一個折中的范圍繞桿圈數會更大，這很像二次函數的變化關系。

3.2 釋放角度的影響

通過實驗驗證理論預測的結果，并在探究相關因素時使用控制變量法。在其他量不變時，釋放角度范圍選取30°～150°，中間取15°為間隔進行實驗探究。在此基礎上，討論在不同釋放角度下繞桿圈數的特點，重復實驗，記錄多組實驗的圈數，取平均值作為實際圈數，繞桿圈數釋放角度的函數關系如圖7所示，以下對自變量的探究采用同樣的方式。

圖7 輕物繞桿圈數隨釋放角度變化的規律

輕物繞桿圈數隨釋放角度變化規律為：繞桿圈數與釋放角度呈近似開口向下的二次函數關系變化，且最大值在釋放角為90°～105°范圍內，這也就意味著將輕物舉起至水平面或略高于水平面時，其繞桿圈數達到上限，整個過程也就顯得更穩定、更容易成功。但仍舊會發現此二次函數與軸交點并不是原點，當繞桿圈數為0時釋放角度為一個稍大于0°的值，說明存在空氣阻力等誤差影響，結果比較符合現實中對雙球飛石索物理過程的直觀感受。

3.3 輕重物質量之比的影響

在其他量不變時，選取6～14為重物質量與輕物質量比的范圍，中間取2個單位為間隔來進行實驗探究，并給出了它的回歸方程以及決定系數。繞桿圈數與輕重物質量之比關系如圖8所示。

圖8 輕物繞桿圈數隨輕重物質量之比變化的規律

輕物繞桿圈數隨輕重物質量之比變化規律：在能完成完整的雙球飛石索運動的條件下，繞桿圈數與輕重物質量之比呈近似線性遞減的關系變化。需要再次強調的是，此規律并不恒成立，正如3.1節所提到的，應加一個前提——能完成完整的雙球飛石索運動。輕重物質量之比與繩長這兩個自變量之間存在著某種內在聯系，這種聯系促使著它們不斷影響著對方對應的應變量變化規律。在此將這條性質定義為自變量的非獨立性；與之相反，如果單個自變量決定的應變量變化規律不受其他自變量的影響，則稱之為自變量的獨立性。從這個角度來看，輕重物質量之比、繩長、繩與桿的摩擦因數是非獨立的，而釋放角度、水平桿橫截面半徑、重力加速度則是獨立的。

3.4 繩長的影響

在其他量不變時，選取0.6～1.4 m為繩長范圍，中間取0.2 m為間隔來進行實驗探究。繞桿圈數與繩長關系如圖9所示。

圖9 輕物繞桿圈數隨繩長變化的規律

輕物繞桿圈數隨繩長變化規律為：在能完成完整的雙球飛石索運動的條件下，繞桿圈數與繩長呈近似線性遞增的關系變化。

3.5 繩與桿的摩擦因數的影響

在實驗中不便于改變繩與桿之間的摩擦因數，因此，對于繞桿圈數隨繩與桿的摩擦因數的變化規律可以通過理論模擬來觀察。在其他量不變時，選取0.2～1.0為摩擦因數范圍，中間取0.2個單位為間隔來進行實驗探究。繞桿圈數與繩與桿的摩擦因數關系如圖10所示。

圖10 輕物繞桿圈數隨繩與桿的摩擦因數變化的規律

輕物繞桿圈數隨繩與桿的摩擦因數變化規律為：在能完成完整的雙球飛石索運動的條件下，繞桿圈數與繩與桿的摩擦因數呈近似線性遞增的關系變化。

回顧3.1小節的理論預測，將之后得到的實驗規律與其相比較，從而也間接地驗證了理論的正確性。

4 結論

本文建立了一種描述雙球飛石索的運動過程的簡單物理模型，并從理論和實驗上對該模型進行了研究。

通過對比理論預測的輕物軌跡與實際軌跡驗證了理論模型的有效性。除此之外，探究了繞桿圈數與如下4個自變量的變化關系：①與釋放角度呈近似開口向下的二次函數的關系變化；②與輕重物質量之比呈近似線性遞減的關系變化；③與繩長呈近似線性遞增的關系變化；④與繩與桿的摩擦因數呈近似線性遞增的關系變化。將理論結果與實驗結果對比，發現兩者輕物軌跡基本重合，且理論較為準確地預測了探究實驗的結果，說明理論與實驗較符。

［1］漆安慎，杜嬋英.力學［M］.北京：高等教育出版社，2012.

TP13

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.02.001

2095－6835（2020）02－0001－04

陳逸嘉（2002—），男，四川成都人，四川省成都市溫江中學高2018級學生。

趙蕓赫（1993—），女，吉林長春人，物理教師，主要研究方向為物理課程與教學論、IYPT問題解決。

〔編輯：張思楠〕