數學概念課教學模式新探究

楊華

數學概念是指人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，也就是對現實生活中空間形式與數量關系的概括，是一種數學的思維形式。在數學學習中，作為一般思維形式的判斷與推理，是以定理、法則、公式的方式表現出來的，而數學概念則是構成它們的基礎，是數學學習中的靈魂。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象力的前提。數學的各項活動終究都是以概念為中心展開的，所以概念課的課堂教學有著非常重要的意義。

課堂教學系統模式要發揮最優的整體功能，就要求課堂教學過程遵循一個科學、動態、協同、有序、反饋、提升的模式。根據系統學理論和教育學理論，以及當前教育改革的有關理論，并參考美國哈佛大學著名教育學家蘭本達創立的“探究”研討教學法，我在高中概念課的課堂教學中對教學模式進行了一些新嘗試和探索。

一、教學模式簡要說明

研究教學模式的基本思路：教師首先向學生展示事先精心準備的具有引疑性質的觀察材料，創造出以材料為中心的“問題”氛圍，學生在這種氛圍中，通過觀察或動手檢測，并在教師類比、啟發下，展開猜想，對問題以及解決問題的方法進行討論與研究，教師不斷引導，通過分析，形成判斷和猜想。再由師生共同努力對中心猜想進行科學論證，最終得出正確的概念。教師還需進一步引導學生進行知識的遷移，以促進學生數學能力的提升。

二、教學模式設計

1. 教學設計原則

可行性原則。教學模式的設計必須具有科學的、全面的、適當的和可操作的特征。這就要求教師從實際出發，先做好學生的需求分析，確實掌握學生現有的認知水平，準確地編制教學過程和教學目標。

反饋性原則。在教學過程中，教師和學生要從教學活動中及時獲得反饋信息，及時地調節和控制好教學活動，提高教學效率。

可持續發展的原則，在教學中要不斷創造條件激發學生的創造力和潛能，使學生充分發展探究才能，通過分析解決問題，實現學生的可持續發展。

2. 堅持教學模式實施中的主體意識

在整個教學過程中，教師要正確處理好“主體與主導”的辯證關系，突出以人為本的學生主體觀。在具體教學實踐中，要特別重視啟發引導學生，不斷誘發學生內在的要求，讓學生積極參與教學活動，努力把學生培養成為能自主地、創造性地進行認知活動的主體，最終實現教學目標。

3. 教學模式的具體操作說明

教師首先要對學生的認知水平有足夠的了解和掌握，然后精心設計探究的程序。教材內容的重組，是對教師教學能力的重要考驗。教師需要克服自身的思維定式，深入挖掘教材，捕捉發現思維過程的因素，力圖用富有邏輯的方法順理成章地再現被直覺所掩蓋的思維過程。例如，教師可以根據學生的認知水平，充實重點并分散難點，適當改變內容展開的順序，增加一些背景展示，刪減一些陳舊內容，等等。在教師有效的引導下，學生積極參與課堂活動，在概念的發生、發展、形成過程中變被動為主動，促進新認知結構的順利形成，最終實現學生綜合素質提高的總目標。具體過程設計如下：

①問題引出。教師向學生展示蘊含著數學中心問題的觀察材料（包括實物、實驗、演示、圖片、閱讀資料等），要求學生對呈現的材料做全面細致的觀察與研究，充分感受材料所蘊含的中心問題。例如，在高一年級《三角函數》一章的課程中，有一節課是《正弦函數的周期性》，其中所要研究的周期性是與學生以往所學的函數中區別最大的性質。引出問題后，可以首先引導學生運用正弦線獲取角度在0到2π的正弦圖像，然后讓學生繼續畫出2π到4π以及-2π到0的正弦圖像，通過觀察圖像找出這個函數的周期性特征，當然這個過程需要教師細膩而有效地引導。

②猜想。采用類比、聯想等方法，在已學知識的基礎上，就引出的問題以及解決方法進行猜想（這種猜想不是胡思亂想，需要在教師有效的引導下進行）。在《正弦函數的周期性》課程中，在觀察獲得圖像的周期性特征后，繼續猜想運用整個函數的周期性特征，從而順利得到完整函數圖形。

③判斷。在教師的啟發引導下，對產生的各種猜想進行判斷和篩選。在這個階段上，要求教師靈活掌控課堂上學生的理解情況，遇到學生突發的錯誤思維要及時指正或排除，這對教師所設計的探索過程，在靈活性實踐上提出了較高要求，同時需要教師有一定的教學經驗的積累，教師切不可胡亂進行排除，硬性引導。繼《正弦函數的周期性》這節課，學生在觀察猜想后有可能會得出比如π或4π是周期等結論，教師要帶領學生排除錯誤的判斷。例如讓學生觀察任意取值x，觀察f（x+π）與f（x）的值是否一樣，當然也可以引導學生運用誘導公式驗算，再通過圖像進行分析，排除錯誤的判斷，進而還可以引出周期的定義式f（x+T）=f（x）。

④探究。師生共同努力運用討論、推理等方法對前面做出的判斷逐一進行檢驗、論證，然后再做出肯定或否定的判斷。在進行有效判斷后，師生共同得出周期性的定義，并落實運用，證明正弦函數的周期性，將周期性的概念上升到了理論范疇。

⑤歸納。綜合探究的情況，師生共同歸納出統一的結論，并可以與已學知識進行適當的類比，生成更多結果。例如，類比引入函數y=sin2x周期性研究，要求學生運用探究得出的定義進行論證，在得出結論后再進行歸納總結，進而引出函數y=sin（2x+1）周期性研究。

⑥知識遷移。所謂知識遷移，即是一種學習對另一種學習的影響。要使知識遷移產生效果，首先要在教師的引導下，關注新舊知識之間的聯系，培養學生舉一反三、觸類旁通的學習能力，讓學生主動、自覺地實現知識遷移。例如，在上面所述的課程之后，將進行余弦與正切函數課程學習，教師需要引導學生進行知識與能力的遷移。在正切函數周期研究中，學生運用誘導公式很容易得出tan（x+π）=tanx，但要說明π是最小正周期，有的教師發現比較難找到有效的方法，這就說明課程中教師的引導能力對教師的基本素質提出更高要求，需要教師不斷學習和發展。其實說明的方法并不難，只要讓學生回歸到研究的第一步，即運用正切線畫出他們所認為的一個周期π的圖像，相信學生通過觀察（再加上定義判斷），就能得出“沒有更小的正周期了”的結論。這就是最簡單的研究方式，真正實現能力遷移。學生在這個過程中能主動運用所學到的方式方法去研究，提升了知識遷移的能力。

在整個探究過程中，學生通過研究獲得的知識固然重要，但更重要的是學生在其中獲得了學習和研究的能力。

三、在教學模式實施的過程中要重視的問題

由于這種模式下的探究過程需要花費較多時間，而且機動性強，但課堂時間是有限的，所以教師在具體引導過程中，要靈活掌握時間，對學生關鍵性的判斷及時作出評價，抓住時機幫助學生掃除思維障礙，調整教學方式，以保證課堂教學的有效進行。

每個學生的接受能力與學習情況各不相同，要注意調動每個學生的學習積極性。例如，將一些簡單的問題交給理解能力相對較差的學生完成，有意讓他們獲得成就感，增強他們參與討論的積極性;對于中等水平的學生，探索過程中的一些簡單問題可由他們來完成，教師要有針對性地進行評價;對于高水平的學生，就讓他們嘗試完成難度大而且容易犯錯誤的證明，通過教師及時講評培養學生嚴謹的探究習慣。

最終的知識遷移其實就是對學生探究能力的評價，這是一種形成式評價。教師和學生都要重視這個評價，它體現了整個探究模式實踐的效果所在。

總之，一種新的模式的產生，會帶來變革和進步。在新的教學模式的具體教學實施中可能還會遇到各種問題，教師應繼續深入探索，在實踐中努力實現學生與教師的共同發展。

責任編輯 羅 峰