高雷諾數下非混相Rayleigh-Taylor不穩定性的格子Boltzmann方法模擬*

胡曉亮 梁宏? 王會利

1) (杭州電子科技大學物理系, 杭州 310018)

2) (武漢紡織大學數學與計算機學院, 武漢 430200)

本文采用相場格子Boltzmann方法研究了豎直微通道內中等Atwoods數流體的單模Rayleigh-Taylor不穩定性問題, 系統分析了雷諾數對相界面動力學行為以及擾動在各發展階段演化規律的影響.數值結果表明高雷諾數條件下, 不穩定性界面擾動的增長經歷了四個不同的發展階段, 包括線性增長階段、飽和速度階段、重加速階段及混沌混合階段.在線性增長階段, 我們計算獲得的氣泡與尖釘振幅符合線性穩定性理論, 并且線性增長率隨著雷諾數的增加而增大.在第二個階段, 我們觀察到氣泡與尖釘將以恒定的速度增長, 獲得的尖釘飽和速度略高于Goncharov經典勢能模型的解析解[Phys.Rev.Lett.2002 88 134502], 這歸因于系統中產生了多個尺度的旋渦, 而渦之間的相互作用促進了尖釘的增長.隨著橫向速度和縱向速度的差異擴大,氣泡和尖釘界面演化誘導產生的Kelvin–Helmholtz不穩定性逐漸增強, 從而流體混合區域出現許多不同層次的渦結構, 加速了氣泡與尖釘振幅的演化速度, 并在演化后期階段, 導致界面發生多層次卷起、劇烈變形、混沌破裂等行為, 最終形成了非常復雜的拓撲結構.此外, 我們還統計了演化后期氣泡與尖釘的無量綱加速度, 發現氣泡和尖釘的振幅在后期呈現二次增長規律, 其增長率系數分別為0.045與0.233.而在低雷諾條件下, 重流體在不穩定性后期以尖釘的形式向下運動而輕流體以氣泡的形式向上升起.在整個演化過程中, 界面變得足夠光滑, 氣泡與尖釘在后期的演化速度接近于常數, 未觀察到后期的重加速與混沌混合階段.

1 引 言

瑞利-泰勒 (Rayleigh-Taylor, RT)不穩定性是一種經典而又古老的流體界面不穩定性現象.當重流體置于輕流體之上并在相界面處施加一個微小的擾動, 兩相流體的界面是不穩定的, RT不穩定性現象將會發生.RT不穩定性問題廣泛存在于天體物理(卷云、超星系爆炸、蟹狀星云等)[1]、地球物理(鹽丘、油氣礦的形成)[2]、工程界(混合過程、慣性約束聚變)[3], 也在核能約束聚變熱能利用中扮演著重要角色.另外, 我國著名核物理學家賀賢土院士指出有效抑制RT不穩定性的后期湍流混合是慣性約束聚變過程中實現點火成功的關鍵[4].因此, RT不穩定性問題在流體力學領域具有重要的理論價值和廣泛的工程應用, 從而長期以來吸引許多學者對其開展了相關研究.早在1883年, 著名學者Rayleigh[5]在研究云的分層問題中第一次描述了RT不穩定性現象.后來, Taylor[6]在原子能武器的研究中進一步發現了RT不穩定性現象.他們對RT不穩定性進行理論分析并提出了描述擾動發展的經典線性增長理論: 當界面初始擾動的振幅小于它的波長時, 擾動將變得不穩定, 其振幅將以指數形式增長.后來, 一些學者相繼分析了流體壓縮性、流體黏性、界面張力對擾動增長率的影響,并提出了修正的線性增長理論[7–9].Lewis[10]第一次通過實驗研究了RT不穩定性問題, 驗證了Taylor的線性增長理論, 并初步而定性地描述了不穩定性中擾動的發展階段.后來, Sharp[11]進一步研究了RT不穩定性問題, 并較為完善地劃分了不穩定性發展的四個階段: 初始階段, 擾動振幅符合經典的線性增長理論, 將以指數形式增長, 直至增長到初始擾動波長的 1 0?40% ; 緊接著, 界面擾動增長轉變為非線性發展階段, 表現為重流體滲透到輕流體中呈現出蘑菇的形狀, 稱為尖釘, 而輕流體上浮至重流體中, 稱為氣泡; 在輕重流體相互滲透的過程中, 兩相系統的非線性強度逐漸增強, 蘑菇頭部發生擠壓而尾部出現卷吸現象, 這表明產生了第二類不穩定性現象, 即開爾文-赫姆霍茲(Kelvin-Helmholtz, KH)不穩定性; 最后, 受兩類不穩定性的雙重影響, 氣泡和尖釘發生破裂行為,流體界面表現為后期的混沌狀態.

自Sharp[11]的研究工作以來, 許多學者對RT不穩定性的各個發展階段開展了研究, 包括單模態RT不穩定性和隨機擾動模態的RT不穩定性[12–15].本文主要關注相界面初始擾動為單模態的RT不穩定性問題.Waddell等[16]實驗研究了低Atwood數下二維單模RT不穩定性, 其結果表明擾動振幅在初始階段以指數的形式增長, 獲得的線性增長率與經典的線性理論分析相一致, 還進一步發現尖釘和氣泡的平均速度在演化后期接近于常數.Goncharov[17]通過理論分析證實了這一點,并定量地給出理想流體的尖釘和氣泡恒定的飽和速度

其中 ub是氣泡的速度, us是尖釘的速度, g 是重力加速度, At是 Atwood 數, k 是波數, Cg對于三維情形取1, 而對于二維情形則取為3.Wilkinson和Jacobs[18]對三維單模RT不穩定性問題進行了實驗研究, 觀察到氣泡與尖釘在演化后期的增長速度均高于Goncharov[17]的勢能理論模型的解析解,并將這種與理論預測不一致現象歸因于渦結構間的相互作用.后來, 一些學者還分析了渦結構相互作用、流體黏性、表面張力對第二階段中氣泡演化速度的影響, 并提出了包含這些物理因素的理論表達式.

單模態RT不穩定性的上述研究還僅限于擾動發展的前三個階段, 而對于不穩定性的后期階段, 非線性效應往往越來越強烈, 流體界面則會顯示出非常復雜而劇烈的拓撲變化, 因而難以通過實驗方法測量演化后期的相關物理統計量, 也難以通過理論分析方法來求解.近幾十年來, 隨著計算機計算技術與數值方法的快速發展, 數值模擬已經成為一種基本的研究手段, 在RT不穩定性研究方面發揮了越來越重要的作用.He等[19]采用一個雙分布等溫格子 Boltzmann (Lattice Boltzmann, LB)方法模擬了三維單模RT不穩定性問題, 分析了雷諾數和Atoowd數對不穩定性界面結構的影響.Glimm等[20]基于歐拉方程的前追蹤方法研究了二維單模RT不穩定性問題, 發現不穩定性的發展經歷了飽和恒定速度階段后會出現一個加速階段, 這個階段后來被Wilkinson和Jacobs[18]實驗所發現.Celani[21]利用相場方法模擬了二維單模RT不穩定性問題, 并在初始階段獲得了與線性理論相符合的擾動增長率.需要指出的是, 大多數的數值研究是用于驗證所發展的計算流體力學方法的正確性與有效性的, 研究階段也局限于不穩定性發展的中前期.Ramaprabhu等[22]模擬了三維混相流體的單模RT不穩定性現象, 考察了Atwood數和雷諾數對氣泡和尖釘振幅在后期階段的演化規律.他們發現低Atwood數的不穩定性在高雷諾數情形下經歷了指數增長、飽和速度增長、重加速、混沌混合等四個發展階段, 并進一步指出在重加速階段,氣泡和尖釘速度已經超過經典勢能模型所預測的理論解, 而在后期階段, 氣泡和尖釘速度會出現急劇的下降.Wei等[23]采用直接數值模擬方法研究了低Atwoods數下二維混相流體的單模RT不穩定性問題, 分析了雷諾數對氣泡和尖釘振幅增長的影響.他們同樣地觀察到混相不穩定性在高雷諾數時經歷了一系列的發展階段, 但不同于Ramaprabhu等[22]的結果, 氣泡演化速度在后期的混沌階段出現了隨時間波動的現象, 并且其平均加速度接近于常數, 這表明氣泡在演化后期具有二次增長的規律.Liang等[24,25]利用基于相場理論的多相流LB方法模擬二維及三維長微管道內低Atwoods數下非混相流體的單模RT不穩定性問題, 詳細地考察了雷諾數對不穩定性各發展階段擾動增長和流體界面動態行為的影響.數值結果表明高雷諾數時, 不穩定性也經歷了四個發展階段, 包括線性增長階段、飽和速度增長階段、重加速階段及混沌混合階段.在后期階段, 相界面發生多層次卷起、劇烈變形、混沌破裂等行為, 形成了非常復雜的拓撲結構, 并且氣泡振幅顯示二次增長的規律.而低雷諾數時, 相界面的演化變得相對光滑,后期的發展階段也相繼難以到達.最近, Hu等[26]數值研究了低Atwoods數混相流體的單模RT不穩定性問題, 發現氣泡速度在重加速階段后會出現不停地加速與減速, 并將這種現象歸因于旋渦強度的變化.

綜上所述, 已有許多學者[16–25]對單模RT不穩定性問題開展了研究, 豐富了人們對不穩定性發展規律的認識.然而, 絕大多數的工作[16–21]局限于不穩定性發展的前期階段, 并且所考慮的雷諾數均較小.盡管一些學者[22–26]對高雷諾數下不穩定性演化的后期階段開展了部分研究, 但考慮的兩種流體為相互混溶的[22,23,26], 所關注的流體間Atwood數也太小[23–26].鑒于此, 本文將采用基于相場理論的多松弛LB方法[24]研究中等Atwood數下非混相流體RT不穩定性的演化規律, 著重分析雷諾數對相界面動力學行為和擾動后期增長的影響.

2 數值方法

基于分子動理學理論的LB方法[27]是近十幾年發展起來的介觀數值方法, 它不再基于宏觀連續介質模型, 而通過描述流體粒子分布函數的演化再現復雜流動的宏觀行為, 從而相比傳統數值方法具有一些獨特的優勢, 比如易于處理復雜物理邊界、程序實現簡單且天然并行、直觀刻畫多相流體間微觀相互作用.目前, 從流體組分間相互作用力的不同物理背景出發, 已經提出了多種描述多相流體輸運的LB模型, 包括顏色模型、偽勢模型、自由能模型、基于相場理論的LB方法.而基于相場理論的LB方法在描述多相流體界面動力學方面具有清晰的物理機制, 可用于模擬多相系統中界面具有拓撲變化的流動, 因而受到了許多學者的廣泛關注, 并已成功地應用于軸對稱多相流[28,29]、三相流[30,31]、復雜微通道內液滴動力學[32–34]、液滴潤濕固體表面[35]等復雜多相流問題.本文將采用Liang等[24]提出的相場LB模型研究長微通道中非混相RT不穩定性的后期演化規律, 該模型相比前人相場LB模型可正確地恢復Cahn-Hilliard和Navier-Stokes的耦合方程, 并且速度和壓力場可通過分布函數進行顯示計算.另外, 為了提高模型在高雷諾數時的數值穩定性, 我們還在相場LB模型的演化過程中采用多松弛的碰撞算子[36].本文相場LB模型利用兩個獨立的分布函數 fi和 gi,其對應的多松弛演化方程可表述為:

其中 fi(x,t) 是描述粒子在空間 x 和時間t時的序參數分布函數, gi(x,t) 是密度分布函數,為兩分布函數所對應的平衡態分布函數,M 是分布函數空間到矩空間的變換矩陣, Sf, Sg為松弛矩陣, Fi(x,t) 、 Gi(x,t) 分別為源項和外力項的分布函數, δx和 δt為空間和時間步長.為了匹配宏觀控制方程, 平衡態分布函數和可設定為[24]

其中 ? 是序參數, μ 是化學勢, η 為調節遷移率的自由參數, ρ 是密度, p 是流體動力學壓力, u 是流體速度, ωi為權系數, cs為聲速.根據相場理論, 范德瓦爾斯 (van der Waals)流體的化學勢 μ 可表述為序參數的相關函數, 具體定義為

其中參數k, β 與界面厚度 (D) 、表面張力 (σ) 相關,

另外, ωi和的選取依賴于格子速度的離散模型.針對本文所研究的二維微通道流動, 我們采用最有代表性的D2 Q9格子離散速度模型[37,38], 其權系數 和 聲 速 為 ω0=4/9 , ω1?4=1/9 , ω5?8=1/36 ,離散速度 ei為

且采用規則的正方形格子, 其對應的變換矩陣為[36]

同樣地, 在多松弛的 D2Q9 格子模型, fi, gi所對應的松弛矩陣分別定義為:

其中 I 是單位矩陣, Fs是界面張力, G 是外力項.在相場模型中, 表面張力取為勢能形式 Fs= μ?? ,發現能夠有效地減少相界面處的虛假速度.

在本模型中, 流體的宏觀量可以通過求解粒子分布函數的各階矩獲得, 具體的計算式如下[39]:

而宏觀量密度(ρ)可以看成是關于序參數(?)的一個簡單的線性插值函數,

其中 ρh和 ρl分別為重質流體和輕質流體的密度.

最后, 通過Chapman-Enskog多尺度理論分析[24,39], 可以證明本文采用的基于相場理論的多松弛LB模型可以正確地恢復界面追蹤的Cahn-Hilliard控制方程,

和描述流體動力學的不可壓Navier-Stokes方程組

其中 遷移率M、流體運動性黏性 ν 與松弛 因子關系可分別表示為:

3 數值結果與討論

本文將采用基于相場理論的多松弛LB模型研究二維長管道內非混相流體的單模RT界面不穩定性問題, 并詳細地考察雷諾數對界面不穩定性發展的影響, 以及定量分析氣泡與尖釘的振幅隨著雷諾數的變化規律.為了研究不穩定性的后期演化規律, 本文考慮的物理問題為一個長方形的微通道, 其高度和寬度分別為 H 和 W, 且 H /W=8 .初始時刻, 密度較大的重流體置于另一種輕質流體的上方, 且給流體界面處一個微小的擾動, 在重力場的作用下, 擾動會逐漸發展, 并最終達到混沌混合狀態.在長方形微通道的中心截面處, 施加一個波長為W具有余弦函數的微小初始擾動,

其中 k =2π/W 是擾動波數.為了使序參數變量在相界面處光滑連續的變化, 設定序參數 ? (x,y) 的初始分布為

為了表征二維RT不穩定性的演化特征, 引了兩個常用的無量綱參數, 即雷諾數(Re)和阿特伍德數(A t), 分別定義為[12,13]

其中g是重力加速度, ν 是流體運動性黏性.在本文的研究中, 我們考慮中等的阿特伍德數下界面不穩定性的演化規律, 將輕重流體的密度分別設定為 1和3, 其對應的 Atwoods數為 0.5, 其他的物理參數選取如下: W =256 , D =4 , σ =5×10?5,為了演化計算, 需要選擇合適的邊界格式處理物理邊界處的粒子分布函數, 本文對上下固壁采用無滑移的半反彈邊界條件, 左右邊界應用周期邊界條件.另外, 標記氣泡和尖釘的振幅為Hb和 Hs, 分別定義為氣泡與尖釘的前端到對應初始位置的距離, 因此氣泡和尖釘的振幅在初始時刻的值為0.進一步, 我們將管道寬度W和選為特征長度和特征時間, 還定義了氣泡和尖釘無量綱的演化速度, 也被稱為氣泡和尖釘的Froude數[23],

其中 ub和 us為氣泡和尖釘前端的速度, 可以由氣泡和尖釘振幅計算獲得.除了特別聲明, 本文接下來給出的長度、速度、時間(τ)等相關物理量均已被相應的特征值所無量綱化.

圖1描述了四種典型的不同雷諾數下非混相RT不穩定性中相界面的演化過程.從圖1中可以發現, 對于不同的雷諾數, 不穩定性的擾動在初始階段顯示相似的界面動力學特行為: 重流體在重力作用往下運動而輕流體向上浮起, 即輕重流體之間相互滲透, 從而形成了氣泡和尖釘圖案.緊接著,流體界面在不同的雷諾數下展示出顯著不同的動力學特征.對高 Re 情形 (Re = 10000), 尖釘繼續向下運動并逐漸地向上卷起, 形成了旋轉方向相反的兩個旋渦, 這是KH不穩定性出現并作用于相界面的結果.隨著時間的演化, 兩個旋渦不斷地增長,在卷起的尾端處形成了一對二級旋渦.隨后, 在多個旋渦相互作用下, 不穩定性系統的非線性效應越來越劇烈, 尖釘卷起的長度也越來越長, 并逐漸地靠近進而接觸中軸線附近的流體界面.在高流體界面剪切力作用下, 中軸線附近的界面在多處位置出現卷起與變形行為.最終, 流體界面發生了混沌的破裂, 在系統中形成了許多離散的小液滴.另外,我們還觀察到流體界面在整個演化過程中始終保持關于中軸線對稱.當Re減少至2048時, 同樣觀察到尖釘發生卷起行為, 在尾端也形成了一對二級渦, 并最終導致相界面在多個位置發生卷吸、變形和破裂, 形成較為復雜的結構.然而, 相比 Re =10000的情形, 在演化后期, 系統中相界面的混沌程度減弱了.當Re數進一步降低至50時, 重流體的尖釘往下運動, 經過一段演化時間, 在尾端發生卷吸現象, 也形成了一對旋轉方向相互相反的旋渦, 但與高雷諾數情形相比, 界面卷起發生的時刻推遲了, 旋渦的卷吸幅度也相應地減弱了.最后,形成的旋渦隨著時間演化而不斷地發展, 伴隨著尾端卷起的部分也越來越長.在整個演化過程中, 未觀察到二次旋渦卷吸和界面后期發生破裂的現象.當 Re 充分小 (Re = 5)時, 卷吸現象不再發生, 重流體將以尖釘的方式不斷地向下運動, 界面也變得足夠光滑, 未出現混沌破裂等復雜拓撲現象, 這是由于強黏性作用使流體之間的剪切層保持穩定, 流動在整個過程表現為層流狀態.

上面討論了雷諾數對單模RT不穩定性中相界面動力學行為的影響, 而氣泡與尖釘振幅及演化速度是描述RT不穩定性問題中另外兩個非常重要的物理量.為了進一步顯示雷諾數的效應, 我們定量地分析了不同雷諾數下氣泡和尖釘振幅、運動速度隨時間的演化規律.圖2分別給出了氣泡與尖釘在不同雷諾數下隨時間變化的演化曲線.從圖中可以發現, 對所有的Re數情形, 氣泡和尖釘的振幅均隨著時間演化而不斷增大.當Re逐漸增大時,可以觀察到同一時刻所獲得的尖釘振幅也越大, 而當Re增大至足夠大時, 雷諾數對尖釘振幅的影響將不再顯著.在不可壓流體的RT不穩定性中, 尖釘的運動特征在理論上由單位質量的浮力和黏性耗散力之間的競爭關系決定[40],

圖1 雷諾數對非混相 RT 不穩定性中相界面演化圖案的影響 (a) Re=10000 ; (b) Re=2048 ; (c) Re=50 ; (d) Re=5Fig.1.The effect of the Reynolds number on the evolution of interfacial patterns in the immiscible RT instability: (a) Re=10000 ;(b) Re=2048 ; (c) R e=50 ; (d) Re=5 .

其中 δ ρ =(ρh? ρl)/2 , ρˉ =(ρh+ρl)/2 , Fd是黏性耗散力, 定義為重力方向上的動量耗散率Fd= ??/ν, ? 是能量耗散率.對于無黏時間尺度,Sreenivasan[41]理論分析給出了能量耗散率的數學表達式, ? =Cν3/W , 其中 C 是常數.根據上述分析, 在雷諾數從小增大的過程中, 黏性耗散力在不斷地減少, 從而理論上可以獲得更大的尖釘運動速度, 以及更大的尖釘的振幅; 而當雷諾數足夠大時,黏性耗散力已充分小, 浮力相比黏性耗散力更占統治地位, 從而繼續增大雷諾數對尖釘振幅增長的影響將不再顯著.在本文模擬中, 我們確實觀察到與上述的理論分析相一致的數值結果.另外, 從圖2中還可以發現, 當雷諾數在一定范圍內, 增大雷諾數可以有效地促進氣泡振幅的增長, 而當雷諾數充分大時, 氣泡振幅的增長在后期會隨著雷諾數的增大而呈現出一種遞減的趨勢.這是由于當雷諾數足夠大時, 在浮力驅動的不穩定性演化中后期, 誘導產生了KH不穩定性.受兩類不穩定性的共同作用, 系統中出現了許多不同尺度的旋渦, 這些渦效應在一定程序上減緩了氣泡向上運動.

圖2 雷諾數對無量綱化的氣泡與尖釘隨時間演化振幅的影響Fig.2.The effect of the Reynolds number on the dimensionless bubble and spike amplitudes.

進一步, 我們還定量地統計了不同雷諾數下氣泡和尖釘隨時間演化的運動速度 ub, us, 其大小是通過氣泡和尖釘的振幅對演化時間差分計算獲得的, 并根據(25)式無量綱化得到氣泡與尖釘的Froude數.圖3描述了不同雷諾數下氣泡與尖釘隨時間演化的Froude數.從圖3中可以發現, 氣泡與尖釘的運動速度在不同雷諾數下表現出顯著不同的演化規律.雷諾數越高, 尖釘往下運動的速度越快,而當雷諾數充分大時, 尖釘的演化速度對雷諾數的變化不再敏感, 這與上述(26)式理論分析的結果是相統一的.雷諾數對氣泡運動速度的影響則顯現出先促進而后抑制的規律, 這是由于當雷諾數充分高時, 在不穩定性的演化后期產生了許多不同尺度的旋渦, 這些旋渦的運動減弱了氣泡往上運動的速率而使之發生旋轉.Ramaprabhu等[22]數值研究了混相流體的RT不穩定性的后期演化規律, 他們也發現當雷諾數足夠大時, 繼續增大雷諾數會減小氣泡往上的演化速度.另外, 我們進一步對氣泡與尖釘速度演化圖進行分析, 將高雷諾數下非混相流體的單模RT不穩定性的演化歸結于四個發展階段, 包括線性增長階段、飽和速度增長階段、重加速階段、混沌混合階段.在初始階段, 不穩定性的擾動發展符合線性穩定性理論, 其振幅的增長具有指數形式的規律[16],

圖3 雷諾數對無量綱化的氣泡和尖釘演化速度的影響Fig.3.The effect of the Reynolds number on the dimensionless bubble and spike velocities.

其中H代表氣泡或者尖釘的振幅, a1與 a2是擬合參數, γ 是線性增長因子.圖4給出了不同雷諾數下隨時間演化的氣泡與尖釘振幅的數值模擬結果以及曲線擬合結果, 可以發現氣泡和尖釘的初始增長確實符合線性穩定性理論, 并且獲得的線性增長因子隨著雷諾數的增大而增大.緊接著線性增長階段, 氣泡與尖釘將以近似恒定的速度增長, 這表明不穩定性的發展進入飽和速度增長階段.Goncharov[17]解析分析了單模RT不穩定性的非線性增長區域,提出了經典的勢能理論模型以預測氣泡與尖釘的飽和增長速度, 其表達式如(1)式所示.進一步根據(1)式, 可以推導出氣泡與尖釘在飽和速度階段所對應的無量綱Froude數分別為0.325與0.564.從圖3可以發現, 高雷諾數下尖釘在飽和速度階段的Froude數略高于勢能模型的解析解, 這是由于在實際模擬中, 界面在該階段發生卷吸行為, 產生了許多不同尺度的旋渦, 這些渦效應會促進尖釘的發展, 而勢能模型的理論解未包含渦效應.Goncharov[17]通過數值模擬同樣驗證了尖釘實際演化速度高于勢能模型的解析解.另外, 我們發現在高雷諾數條件下, 繼續增大雷諾數會減少氣泡演化速度, 從而導致氣泡飽和速度小于勢能模型的解析解.接下來, 各尺度的渦結構之間相互作用逐漸增加, 使得氣泡和尖釘Froude數高于經典勢能模型的理論解, 這預示著不穩定發展進入了重加速階段.重加速階段不能持續地發展下去, 在演化后期,氣泡與尖釘的Froude數變得不穩定, 開始隨著時間波動, 這表明界面的演化進入了混沌混合階段.為了揭示混沌混合階段不穩定性的發展規律, 我們計算了氣泡與尖釘增長的無量綱加速度,其中表示氣泡與尖釘振幅對時間的兩階導數, 實際通過對氣泡與尖釘振幅關于時間的二階差分計算獲得.圖5給出了高雷諾下氣泡與尖釘無量綱加速度隨時間的演化曲線.從圖可以發現, 氣泡與尖釘加速度在演化后期不穩定性,分別繞著常數0.045與0.233上下波動, 預示著后期氣泡與尖釘平均加速度是一個常數, 并表明RT不穩定性的后期發展呈現出二次增長的規律.當雷諾數足夠低時, 在不穩定性的整個演化過程中, 不能觀察到重加速階段與混沌混合階段, 氣泡與尖釘在后期階段將以恒定的飽和速度增長.另外, 我們發現低雷諾數下氣泡與尖釘的飽和速度低于經典的勢能模型的理論解, 其原因在于勢能模型考慮的是理想無黏性流體的不穩定性現象, 未考慮流體黏性對演化速度的影響.

圖4 不同雷諾數下, 氣泡和尖釘振幅在初始階段的演化曲線, 其中數據點是統計結果, 實線則是擬合結果Fig.4.The curves of the early-time bubble and spike amplitudes with different Reynolds numbers, where the data points and solid lines are the statistical and fitting results.

圖5 高雷諾數下, 氣泡和尖釘的無量綱加速度演化曲線,紅色和藍色實線分別為0.045和0.233Fig.5.The curves of dimensionless bubble and spike accelerations at a high Reynolds number, and the red and blue solid lines are 0.045 and 0.233.

4 結 論

本文基于相場理論的LB方法模擬了一個長微管道內非混相流體的RT不穩定性問題, 該方法可以準確地追蹤相界面動力學行為, 以及采用多松弛碰撞模型可以很好地處理高雷諾數流動.本文著重分析雷諾數對中等Atwoods數的不穩定性演化中界面動力學行為和擾動增長規律的影響.研究發現在高雷諾數情形下, RT不穩定性的發展先后經歷線性增長階段、飽和速度增長階段、重加速階段以及混沌混合階段.在線性階段, 重流體與輕流體之間相互滲透, 擾動的增長符合經典的線性穩定性理論.緊接著, 不穩定性的演化進入了飽和速度階段.在該階段中, 輕重流體形成了氣泡與尖釘的結構, 氣泡與尖釘將以恒定的速度增長, 并隨著時間演化在尖釘尾端處出現卷吸行為.隨著橫向速度和縱向速度的差異逐漸擴大, 氣泡與尖釘的演化誘導產生了KH不穩定性, 進而使系統中出現了許多不同尺度的渦結構, 從而加速了氣泡與尖釘的演化速度.重加速階段不能一直持續下去, 氣泡與尖釘的演化速度在后期階段會發生波動現象, 這表明不穩定性的發展進入了混沌混合階段.在混沌混合階段, 界面會發生多層次卷起、劇烈變形、混沌破裂,形成了非常復雜的界面拓撲結構, 系統中也產生了許多離散的小液滴.另外, 我們統計了演化后期的氣泡與尖釘加速度, 其無量綱的值分別圍繞著常數0.045與0.233上下波動, 這表明不穩定性在演化后期具有二次增長的規律.而當雷諾數足夠小,擾動的增長變得非常緩慢, 流體相界面也變得足夠光滑, 未出現卷吸和破裂行為, 也未觀察到后期的重加速與混沌混合階段, 氣泡與尖釘將以恒定速度一直演化下去.