幾何光學問題分類剖析

張大洪

光學是人教版高中物理教材《選修3-4》中的一個板塊,也是高考的必考內容,現對近幾年高考中涉及的幾何光學問題進行分類剖析.

1 簡單的折射光路計算問題

圖1

(1)求桅桿到P點的水平距離;

(2)船向左行駛一段距離后停止,調整由P點發出的激光束方向,當其與豎直方向夾角為45°時,從水面射出后仍然照射在桅桿頂端,求船行駛的距離．

點評 對于單純光的折射情況,按題目要求正確作出光路圖,正確理解折射率公式中與光傳播方向對應的相關角度(入射角、折射角),再利用幾何關系及折射率公式即可順利解題.

2 光在等邊三棱鏡中的折射問題

例2(2018年全國卷Ⅲ) 如圖2-甲所示，某同學在一張水平放置的白紙上畫了一個小標記“·”(圖中O點),然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個標記上,小標記位于AC邊上,D位于AB邊上;過D點作AC邊的垂線交AC于F,該同學在D點正上方向下順著直線DF的方向觀察,恰好可以看到小標記的像;過O點作AB邊的垂線交直線DF于E,DE=2 cm、EF=1 cm.求三棱鏡的折射率.(不考慮光線在三棱鏡中的反射)

解析 過D點作AB邊的法線NN′,O點發出經過D點的光線即為OD,其在D點的入射角∠ODN=α,設該光線在D點的折射角為β,如圖2-乙所示.根據折射定律

①

點評 對于光線經過等邊三棱鏡折射的情況,按題目要求和題意正確作出光路圖是解題的關鍵.本題抓住等邊三角形的特殊角,利用幾何關系找準入射角與折射角,正確理解折射率公式中與光傳播方向對應的相關角度即可順利解題．

3 光在圓球形介質中的折射、反射問題

例3(2017年新課標卷Ⅰ) 如圖3-甲所示，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體,O點為球心;下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體,圓柱體底面鍍有反射膜．有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入,該光線與OC之間的距離為0.6R．已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射)．求該玻璃的折射率．

圖3

解析 根據球體的對稱性及光路的可逆性,要使平行于中心軸OC從半球面射入的光線最后從半球面射出時恰好與入射光線平行,則只能使光線經過球面第一次折射后恰好經過底面的C點,其完整的光路如圖3-乙所示.設此光線在半球面的入射角為i,折射角為r,由折射定律得

①

由幾何關系知

sini=0.6, cosi=0.8,

②

sinr=2(sinicosr-cosisinr).

③

將式②代入式③解得

④

將式②④代入式①得玻璃的折射率

得r=30°,因而折射光線MN必垂直平分半徑OA，且光線在N點對AB面的入射角∠MNE=30°,利用反射定律作出光路圖如圖4-乙所示，因MN垂直平分OA且∠MNA=∠MNO=60°，知反射光線NO必經過球心O點,那么反射光線NO再次經過半球面時的入射角為0°而將沿直線射出.由圖可知MA∥NE且∠ONE=30°,故該光線從球面射出的方向即NO相對于其初始入射方向的偏角

θ=180°—∠ENO=150°．

圖4

點評 對于光線經過圓球形光學元件折射的情況,抓住球的對稱性及半徑與法線的相關性,據題意正確作出光路圖是解題的關鍵.例3、例4充分應用平面幾何知識準確找出入射角、折射角、反射角及其相互之間的關系,利用折射率公式、三角函數相應關系(如正弦定理等)進行分析處理．

4 光的全反射與平面幾何知識關聯問題

4.1 全反射位置不明確的探究類問題

圖5

①

又由于臨界角為r，則折射率為

②

點評 對于可能發生全反射的問題需注意以下幾點: 1) 明確光線傳播的方向及將要經過的各個界面；2) 判定是否發生全反射,討論發生全反射的可能范圍；3) 完整分析并作出不同區域的光線經過各界面的傳播光路圖,找到所求區域；4) 正確作出必要的輔助線，充分運用平面幾何、三角函數等知識,找準入射角、反射角、折射角,關注光的傳播方向并正確運用折射定律完成解答．

圖6

例6如圖6所示，一半徑為R的玻璃半球,O點是半球的球心,虛線OO′表示光軸(過球心O與半球底面垂直的直線).已知玻璃的折射率為1.5,現有一束平行光垂直入射到半球的底面上,有些光線能從球面射出(不考慮被半球的內表面反射后的光線)．求:

(1) 從球面射出的光線對應的入射光線到光軸距離的最大值;

圖7

4.2 有明確的全反射位置問題

例7(2018年全國卷Ⅱ) 如圖8所示，△ABC是一直角三棱鏡的橫截面,∠A=90°、∠B=60°,一細光束從BC邊的D點折射后,射到AC邊的E點,發生全反射后經AB邊的F點射出.EG垂直于AC交BC于G,D恰好是CG的中點.不計多次反射.

(1) 求出射光相對于D點的入射光的偏角;

(2) 為實現上述光路,棱鏡折射率的取值應在什么范圍?

圖8

圖9

結合上述分析可得i2=r2=60°，r1=i3=30°，i1=r3;再由幾何關系得F點的出射光相對于D點的入射光的偏角為δ=β+α,其中α=r3-i3，由三角形內角和等于180°可得β=180°-(i2+r2)-(i1-r1),再結合相應的角度值可得δ=60°．

點評 對明確發生全反射位置類問題應注意以下幾點： 1)正確認識并讀懂光路圖;2)正確作出必要的輔助線，充分運用平面幾何、三角函數等知識,找準入射角、反射角、折射角;3)準確運用光在相應界面處的折射定律(注意光的傳播方向及對應公式中的角度)與反射定律完成解答;4)對于物理量的范圍問題,要抓住產生此范圍的原因，再利用相關數學知識進行有效處理．

5 不同色光(不同頻率的光)在同種介質中的折射、全反射作圖類問題

圖10

例8虹和霓是太陽光在水珠內分別經過一次和兩次反射后出射形成的,可用白光照射玻璃球來說明.兩束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上會形成MN和PQ兩條彩色光帶,光路如圖10所示.M、N、P、Q點的顏色分別為( ).

A. 紫、紅、紅、紫

B. 紅、紫、紅、紫

C. 紅、紫、紫、紅

D. 紫、紅、紫、紅

解析 白光中的可見光部分從紅到紫在同一介質中的折射率大小關系為n紫>n紅,由折射定律知紫光的折射角較大,由光路可知紫光將到達M點和Q點,而紅光到達N點和P點,故選A.

點評 不同頻率的色光在同種介質中的折射率與偏折程度不同,在可見光中從紅光→紫光:光的頻率增大、在同一介質中的折射率增大、偏折角增大、傳播速度減小、產生全反射的臨界角減小．注意根據折射定律、反射定律正確作出光路圖來分析處理．

6 光的折射實驗類

例9(2016年四川卷) 某同學通過實驗測定半圓形玻璃磚的折射率n．如圖11-甲所示,O是圓心,MN是法線,AO、BO分別表示某次測量時光線在空氣和玻璃磚中的傳播路徑．該同學測得多組入射角i和折射角r,作出sini-sinr圖象如圖11-乙所示．則( )．

圖11

A. 光由A經O到B,n=1.5

B. 光由B經O到A,n=1.5

C. 光由A經O到B,n=0.67

D. 光由B經O到A,n=0.67

點評 測定介質折射率實驗中,需正確作出光路圖并深入理解折射率公式中的相應角,若涉及圖線則要準確挖掘圖線中的各種信息,并正確分析、理解其意義．

7 光束與微小實物粒子產生經典相互作用類問題

圖12

例10(2016年北京卷) 激光束可以看作是粒子流,其中的粒子以相同的動量沿光傳播方向運動．激光照射到物體上,在發生反射、折射和吸收現象的同時,也會對物體產生作用．光鑷效應就是一個實例,激光束可以像鑷子一樣抓住細胞等微小顆粒．一束激光經S點后被分成若干細光束,若不考慮光的反射和吸收,其中光束①和②穿過介質小球的光路如圖12所示,圖中O點是介質小球的球心,入射時光束①和②與SO的夾角均為θ,出射時光束均與SO平行．請在下面兩種情況下,分析說明兩光束因折射對小球產生的合力的方向．

(1) 光束①和②強度相同;

(2) 光束①比②強度大．

解析 (1) 因不考慮光的反射和吸收，僅考慮光的折射,設t時間內每束光穿過小球的粒子數為n,每個粒子動量的大小為p,以該束粒子流為研究對象,則這些粒子進入小球前的總動量為p1=2npcosθ(因①②具有對稱性,故在豎直方向的總動量為0),方向沿SO水平向右;由于光在同種介質中的傳播速度是相同的,即光束中的粒子在經過介質小球前、后的動量大小必均為p,故t時間內從小球射出后粒子流的總動量必為p2=2np,且方向沿SO水平向右;對這束粒子(粒子數為n)根據動量定理有Δp=p2-p1=F·Δt=2np(1-cosθ)>0,故小球對這些粒子的作用力F的方向必沿SO向右,再根據牛頓第三定律得兩光束對小球合力的方向必沿OS向左．

圖13

(2) 建立圖13所示的xOy坐標系,在x方向:根據(1)同理可得兩光束對小球的作用力必沿x軸負方向;在y方向,設t時間內光束①穿過小球的粒子數為n1,光束②穿過小球的粒子數為n2,因光束①比②強度大，即n1>n2，這些粒子進入小球前的總動量為p1y=(n1-n2)psinθ>0,即其方向豎直向上(y軸正方向);從小球出射時y方向的總動量p2y=0.根據動量定理得

Fy·Δt=p2y-p1y=-(n1-n2)psinθ,

圖14

可知小球對這些粒子的作用力Fy的方向沿y軸負方向,根據牛頓第三定律兩光束對小球的作用力沿y軸正方向;所以兩光束對小球作用力的合力方向必沿圖14所示的左上方向．

點評 光束與微小實物粒子產生經典相互作用時,合理使用動力學規律進行分析是關鍵．

總結1)幾何光學的命題方向與特點:

光的折射定律、折射率、全反射現象的考查常以計算題形式出現,是命題熱點、常考點,且通常與幾何作圖、三角函數等知識有機結合,涉及的模型常有平行玻璃磚、三棱鏡、圓柱體(球)形玻璃體及透明液體等.

2)處理幾何光學問題的技巧:

b)折射率不僅與介質有關,還與光的頻率有關,同種介質中頻率越大的色光的折射率也將越大,光線偏折得越厲害,光的傳播速度越小．

c)發生全反射的條件:① 光線從光密介質射向光疏介質； ② 入射角大于或等于臨界角.

d)全反射的能量分配關系:折射角隨著入射角的增大而增大,折射角增大的同時,折射光的強度減弱,即折射光的能量減小,亮度減弱,而反射光的強度增強,能量增大,亮度增加.

e)臨界角:① 臨界角的定義:光線從介質射向真空(空氣)(即從光密介質射入光疏介質)時折射角等于90°時的入射角;

f)作出必要的輔助線,運用好幾何關系及三角函數關系．