基于差分方程的高壓油管壓力控制

陸毅　沈薇　錢星光

摘? 要：文章針對高壓油管的壓力控制問題，構建了基于差分方程的凸輪角速度確定模型、基于函數模型的單向閥控制方案，綜合運用MATLAB、Eviews等軟件編程求解，得出了恒壓下凸輪角速度、噴油規律和多種情況下減壓閥的控制方案等結論。

關鍵詞：高壓油管;差分方程;壓力控制;數據擬合;流體力學

中圖分類號：TK423 文獻標識碼： 文章編號：2095-2945（2020）07-0025-04

Abstract： In this paper， aiming at the pressure control problem of high pressure tubing， a CAM angular velocity determination model based on difference equation was built， and a one-way valve control scheme based on function model was built. By using MATLAB， Eviews and other software programming， the oil injection law of CAM angular velocity under constant pressure and the control scheme of pressure reducing valve under various conditions were obtained.

Keywords： high-pressure oil pipe; difference equation; pressure contral; data fitting; hydromechanics

燃油進入和噴出高壓油管是許多燃油發動機工作的基礎，燃油經過高壓油泵從一處進入高壓油管，再由噴口噴出。燃油進入和噴出的間歇性工作過程會導致高壓油管內壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現偏差，甚至會引起失效和故障。對高壓油管進行相應的壓力控制可以在一定程度上提高發動機的工作效率，具有重要的意義。

1 數據來源與模型假設

數據來源于2019年高教社杯數學建模比賽A題，包括凸輪邊緣曲線、針閥運動曲線以及彈性模量與壓力關系的相關數據。為便于解決問題，提出以下幾點假設：（1）假設凸輪表面光滑，作連續等速轉動;（2）假設高壓腔的容積不會因內部高壓油的作用而發生膨脹[1];（3）假設針閥升程滿足周期性變化，且每個周期內的變化情況相同;（4）假設高壓油泵和出油閥的密封性良好[2]。

2 基于差分方程模型對凸輪角速度的確定

2.1 研究思路

對整個高壓燃油系統的高壓油泵、高壓油管及噴油嘴分別進行狀態分析，然后建立相應的差分方程模型，目標是最小化進出高壓油管的燃油質量之差，根據公式ω=，由給定具體的周期T′，得到對應的ω;再將ω帶入差分方程模型，依次遞歸得到相應的△m，擬合△m與ω的圖像，求出當進出高壓油管的燃油質量之差為零時，其對應的凸輪轉動角速度。

2.2 模型建立

2.2.1 高壓燃油系統三部分狀態分析

（1）高壓油管

高壓油管內的燃油可以看作是一維非定流動的，則高壓油管內的燃油滿足質量守恒、動量守恒以及燃油的可壓縮性方程[3-4]

其中，s為油管的橫截面積，ρ為密度，P為壓力，u為燃油在管內流動的速度，μ為燃油動力粘度，x為油管內燃油在時間t內流過的距離，t為燃油流動的時間，F為作用在受控流體上的流動阻力的合力。

（2）高壓油泵

根據附件1中給出的凸輪[6]極徑與極角的關系，可以判斷出題中未說明的極點的位置和極軸的方向如圖2所示。

高壓油泵中柱塞供油量隨凸輪轉角的變化而變化，對應油量體積的變化[5]為

其中Vmax為柱塞最大供油量，VCL為柱塞運動到上止點位置時柱塞腔殘余容積，θ為凸輪轉角，hp為柱塞升程，Aρ為柱塞截面積，np為凸輪的轉速。

（3）噴油嘴

根據附件2針閥運動[5]曲線可以將一個噴油周期分為四個階段，即針閥上升階段（0～0.44ms），穩定噴射階段（0.45～2ms），針閥關閉階段（2.01～2.45ms），針閥完全關閉到燃油完全斷流階段（2.46～100ms），此時將噴油量計算公式調整為：

其中Kop為開關系數，當針閥升程為0時，Kop=0;當針閥升程大于0時，Kop=1。

2.2.2 模型準備

首先確定從針閥噴油嘴處噴出的油量，（4）式中的A即實際噴油孔的面積仍未知，下面將對其進行確定：

其中，S為針閥底部所在圓錐橫截面與針閥底面積的差值，A為實際噴油孔的面積，H為針閥的升程，h0為針閥升程為0時噴孔距針閥的距離，β為密封座圓錐的半角即9°，D為針閥直徑，d為噴孔直徑。

后求解高壓油泵的容積，凸輪驅動柱塞上下運動時，凸輪的轉角θ與角速度ω存在以下關系：

θ=ω×t （6）

聯立公式（3）（6）可以確定某段時間內柱塞上升的高度hp。此過程中高壓油泵的燃油體積的變化量VZ可表示為：

其中，VZ為高壓油泵燃油變化的體積，DZ為柱塞腔的直徑

rmax為極徑的最大值，rmin為極徑的最小值，得到高壓油泵的容積后，當柱塞運動到下止點時，低壓燃油會充滿柱塞腔，壓力為0.5MPa。根據附件3中給出的數據對彈性模量E與壓力P之間的函數關系利用Eviews軟件進行最小二乘法擬合，得到彈性模量E與壓力P之間的函數關系：E=1379.21+8.86P，后根據題目中給出的當壓力為100MPa時，燃油的密度為0.850mg/mm3這一條件解出此時唯一的不確定的參數-不定積分后出現的常數c，最終得到燃油密度與壓力之間的關系式為：ρ=0.455（P+15.533）0.113，將壓力為0.5MPa代入式中，從而得出此時泵內的燃油密度，進而得到泵內低壓燃油的質量。

2.2.3 建立差分方程模型

模型準備完成后，根據題意知，高壓油管內壓力恒定，得到進入高壓油管和噴出高壓油管的燃油質量相等，故建立目標函數：

m入表示一個周期進入高壓油管的燃油質量，m出表示一個周期流出高壓油管的燃油質量;

為解決問題我們選擇建立差分方程模型進行求解，用差分方程模型來推算燃油泵里一個周期內各個時刻的壓強Pi，對于燃油泵，取t=0時刻，柱塞降至最低點，仍以0.1ms為一個差分間隔

其中mbi表示第 時刻（i=1，2，3…n）高壓油泵中的燃油質量，ρbi表示第i時刻高壓油泵中的燃油密度，Pbi表示第i時刻高壓油泵中的燃油壓力。

2.3 模型求解

由于高壓油管A處的燃油來自高壓油泵的柱塞腔出口，凸輪驅動柱塞上下運動，故柱塞的升程與凸輪的極徑密切相關，附件1中給出了凸輪邊緣曲線與角度的關系，據此畫出柱塞升程在一個運動周期內（即凸輪的一個轉動周期內）的變化如圖3所示。根據附件二中給出的一個噴油周期內針閥升程與時間的關系，可知噴油器每秒工作10次，每次工作時噴油時間為2.44ms，將附件二中數據結合公式（4）、（5）使用MATLAB畫出噴油器工作時從噴油嘴B處向外噴油的速率隨時間的變化圖如圖4所示。

接下來求解差分方程模型，目標是最小化進出高壓油管的燃油質量之差，根據公式ω=，給定具體的周期T′：10ms，20ms，30ms，40ms，50ms，得到對應的ω;將五個ω帶入微分方程模型，依次遞歸得到相應的△m，后擬合△m與ω的圖像，關系如圖5。

根據擬合出的曲線，可求出，當△m=0時，即高壓油管內的壓力穩定在100MPa左右時，凸輪的角速度ω=61.908rad/s，即凸輪每秒約轉動9.8圈。

3 基于函數模型的控制方案

3.1 研究思路

問題三可以分成兩種情形下的高壓燃油系統，一是在問題二基礎上，再增加一個噴油規律相同的噴油嘴，此時考慮建立凸輪轉動角速度與噴油嘴噴油頻率間函數模型;另一種情形是再在此基礎上增加一個單向減壓閥，此時考慮建立高壓油泵與減壓閥控制模型，得到凸輪轉動角速度與噴油嘴噴油頻率及單向減壓閥工作效率三者之間的關系。

3.2 模型建立

3.2.1 增加一個噴油嘴時的情形

根據題意，先在問題二的基礎上增加一個噴油嘴，并且兩個噴油嘴的噴油規律相同。

3.3 模型求解

3.3.1 增加一個噴油嘴情形時的求解結果

給定1s中單個噴口噴油次數n1：1次，2次，3次，4次，5次，得到對應的每0.1ms中噴出的油的質量m（單位：mg）。運用差分思想，以0.1ms為差分間隔，實現同第二問一樣的差分過程，得到滿足△m=0的ω;對n1，ω進行擬合，得到圖像與關系如圖6。

最終得到ω=0.058n12+1.94n1+50.78，根據上述關系式可以給定具體凸輪轉動角速度ω，噴油次數n1，進而得到具體的噴油和供油策略。例如，控制凸輪角速度ω=52.778rad/s，一個噴油嘴一秒鐘噴油的次數n1=1次，即可以實現高壓油管的壓力穩定在100Mpa。

3.3.2 再增加一個單向減壓閥情形時的求解結果

相較于第一小問，增加了變量td，表示一秒鐘內減壓閥的打開時間，同樣給td：0.001ms，0.002ms，0.003ms，0.004ms，0.005ms，由對應的n1，td求出每0.1ms中噴出的油的質量m（單位：mg）。運用差分思想，以0.1ms為差分間隔，實現同第二問一樣的差分過程，得到滿足△m=0的ω;對n1，ω，td進行擬合，運用cftool工具箱進行擬合，得到圖像及三者之間的關系式如圖7。

最終得到ω=44.35+3.234n1+9444td，根據上述關系式可以給定具體凸輪轉動角速度ω，噴油次數n1，單向減壓閥在一秒鐘工作的時間td，進而得到具體的高壓油泵和減壓閥的控制方案。例如，控制凸輪角速度ω=57.028rad/s，一個噴油嘴一秒鐘噴油的次數n1=1次，單向減壓閥在一秒鐘工作的時間td=0.001ms，即可以實現高壓油管的壓力穩定在100Mpa。

4 模型評價

（1）本文主要建立差分方程模型，代替微分方程描述，在方程中避免了導函數，可以用迭代的方式求解。

（2）建立的模型能與實際緊密聯系，結合實際情況對所提的問題進行求解，使得模型更貼近實際，通用性，推廣性較強。

（3）通過差分方程模型求解出來的結果沒有通過微分方程模型求解的結果精確。

參考文獻：

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