“一題多解”在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的作用

張麗菊

(江蘇省蘇州高新區(qū)第二中學(xué) 215000)

一、背景介紹

隨著中考壓力的增大，一些學(xué)校為了提高學(xué)生的成績、提高升學(xué)率而選擇發(fā)動題海戰(zhàn)術(shù)，要求學(xué)生盡可能多做題.在數(shù)學(xué)習(xí)題課堂上，有些老師為了追求試題講評的量，“就題講題，就題論題”，表面上課容量很大，但是長期如此，學(xué)生覺得平淡無奇，會做的就不想聽，實(shí)際效率低下.老師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得無趣.長期下去會造成學(xué)生的思維定勢，對培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性會帶來很大的消極作用.現(xiàn)代教育的關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)課堂同樣要避免重知識，輕能力，忽略情感態(tài)度價(jià)值觀的做法，而一題多解，更有利于學(xué)生能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

二、一題多解的含義和作用

一題多解是從不同的角度,不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系,用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程.對于加深教材是知識的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是十分必要的.教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解,可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望,加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解,訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用,鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

三、初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中如何設(shè)計(jì)一題多解提高學(xué)生的解題能力以及培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散性思維

1.通過一題多解，洞悉不同知識板塊之間的聯(lián)系和區(qū)別

例1 (2017·南充)學(xué)校準(zhǔn)備租用一批車，現(xiàn)有甲、乙兩種客車，甲種客車每輛載客量為45人，乙種客車每輛載客量為30人，已知1輛甲種客車和3輛乙種客車共需租金1240元，3輛甲種客車和2輛乙種客車共需租金1760元．(1) 1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元？(2) 學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車共8輛，送330名師生集體外出活動，最節(jié)省的租車費(fèi)用是多少？”

y=280.

∴1輛甲種客車的租金是400元，1輛乙種客車的租金是280元.

解得6≤a≤8.∵a為整數(shù)，∴a的取值為6，7，8.

解法一當(dāng)a=6時(shí)，租車費(fèi)用為400×6+280×(8-6)=2960；當(dāng)a=7時(shí)，租車費(fèi)用為400×7+280×(8-7)=3080；當(dāng)a=8時(shí)，租車費(fèi)用為400×8=3200.因?yàn)?960<3080<3200，∴ 租用甲種客車6輛、乙客車2輛最節(jié)省租車費(fèi)用，最節(jié)省的租車費(fèi)用是2 960元

解法二設(shè)租車費(fèi)用為w元.由題意，得w=400a+280(8-a)=120a+2240.∵k=120>0，∴w隨a的增大而增大.∴當(dāng)a=6時(shí)，w有最小值，最小值為2960.∴租用甲種客車6輛、乙客車2輛最節(jié)省租車費(fèi)用，最節(jié)省的租車費(fèi)用是2960元.

這兩種解法都是正確的，第一種解法在不等式的到取值的范圍的基礎(chǔ)上，分別代入計(jì)算，后比較大小.第二種解法利用好了一次函數(shù)的性質(zhì)，直接取最合適的a的值代入，在計(jì)算上更加簡潔.通過兩種不同的求最小值的方法，讓學(xué)生感受到了不等式和函數(shù)之間的聯(lián)系和差別，提高了數(shù)學(xué)思維的能力.

2.通過一題多解，培養(yǎng)發(fā)散性思維

∵∠CBD和∠COD都對弧CD,∴∠COD=2∠CBD=∠BAD.

解法一學(xué)生觀察了所證明的兩個(gè)角在圓中的位置分別是圓周角和圓心角.利用了逆向思維，要證明∠COD=∠BAD就是要證明∠CBD等于∠BAD的一半，成功解決了問題.

解法二連接CD.∵∠ABC和∠ADC都對弧AC,∴∠ABC=∠ADC∵AB=AE,∴∠ABC=∠AEB,∴∠BAE=180°-2∠ABC.∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD, ∴∠COD=180°-2∠ADC,∴ ∠BAD=∠COF這種解法中學(xué)生觀察到了等腰三角形圖形，借助幾何圖形，合理進(jìn)行猜想，找到了△OCD也是等腰三角形，要證明頂角相等，只要證明底角相等就行.

解法三連接BO，∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB.即∠ABO+∠OBE=∠COD+∠OCB,∴∠BAD=∠COF這種解法十分巧妙的分割了等腰△ABE的一個(gè)底角，分成了所要證明的角和一個(gè)對相等的圓周角的和.

面對數(shù)學(xué)問題，學(xué)生們的思維不會停留在原地，或者只朝著某一個(gè)固定的方向前進(jìn)，而是多角度、全方位地進(jìn)行思考，將思維發(fā)散到四面八方、各個(gè)角落.在日常的教學(xué)過程中，教師要利用好學(xué)生的思維資源，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維.

3.通過一題多解，感受同一問題多種解法的共同點(diǎn)，進(jìn)而提高解題能力.

(2)當(dāng)m>1時(shí)，過點(diǎn)M作MP⊥x軸，垂足為P，過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，試判斷直線BP與直線AM的位置關(guān)系，并說明理由.

解(1)k的值為6(過程略).

解法一利用A點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用兩邊和夾角關(guān)系證明三角形全等，得出一組同位角相等，最后證出兩直線平行，但是證明過程中解直線方程時(shí)含有參數(shù)，對初中同學(xué)計(jì)算要求有點(diǎn)高.

解法二用同樣的證明三角形相似來證明對應(yīng)角相等，從而得到兩直線平行，成功的規(guī)避了直線AM解析是的求解，是解法一的優(yōu)化.一道題，學(xué)生們使用了不同的解法，同時(shí)比較出各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)，在考試比較緊迫的時(shí)間內(nèi)就可以選擇自己最熟悉、最簡潔的做法.達(dá)爾文說過，最有價(jià)值的知識是關(guān)于方法的知識，而一題多解的對比推敲就是關(guān)于方法的學(xué)習(xí)的重要途徑之一.

4.初中復(fù)習(xí)課多采用一題多解的模式有利于激發(fā)學(xué)生的探索和創(chuàng)新的興趣

數(shù)學(xué)家華羅庚說過，學(xué)習(xí)和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，在復(fù)習(xí)課上，一步步探究和展示學(xué)生們的各種精彩的解法，再加以歸類和評價(jià)，無疑極大的增強(qiáng)了被展示同學(xué)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)也讓所有同學(xué)感覺到數(shù)學(xué)學(xué)科是一門和有意思的學(xué)科，激發(fā)學(xué)生研究多種解法的興趣，從而增強(qiáng)了創(chuàng)新的意識，而不僅僅止步于問題解決，更加樂于去探索有沒有更加完美的方法.自覺地抓住自己最有興趣的東西，由淺入深，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí).