有限覆蓋定理證明實數完備性的其余等價定理

阿力非日，張 艷

(西昌學院彝語言文化學院，四川西昌 615000)

0 引言及預備知識

實數系的完備性是實數的一個重要特征，與之相關的 7個基本定理是彼此等價的，并且是論證其他一些重要定理(如一致連續性定理等 )的依據，它們從不同的方式刻畫了實數集R的一種特性，通常稱為實數的完備性或實數的連續性，因此在理論上具有重要價值.完備性公理等價既是如果把實數分成上、下兩集，當下集里無最大值時，上集必有最小值.這說明實數具有連續性，填滿了整個數軸(沒有空隙).

實數完備性的七個定理：

(1)Heine-Borel有限覆蓋定理：設H為閉區間[a，b]的一個無限開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間來覆蓋[a，b]

(2)確界原理：設S為非空數集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.

(3)單調有界定理：在實數系中，有界的單調數列必有極限.

(4)致密性定理：任何有界數列必有收斂的子列.

(5)Cauchy收斂準則：數列{an}收斂的充要條件是：?ε>0，?N∈N*，當n，m>N時有 |an-am|<ε.

(6)區間套定理：若{[an，bn]}是一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈[an，bn]，

n=1，2，…，即anξbn，n=1，2，….

(7)Weierstrass聚點定理：實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點.

1 具體證明過程

1.1 有限覆蓋定理證明確界定理

證明：反證法.設S為非空數集，設?≠S?R,?x∈S,有xM.?x0∈S.考慮閉區間[x0，M]，假如S無上確界，那么?x∈[x0，M]：

(1)當x為S的上界時，必然有更小的上界x1

(2)當x不是S的上界時，自然有更小的上界x2>x.于是x有開鄰域Δx.其中沒點都不是S的上界.

閉區間[x0，M]上每點都可以找出一個鄰域Δx，它要么屬于第一類(每點皆為上界)，要么屬于第二類(每點皆不是上界)，令H={Δx|x∈[x0，M]}，則H是閉區間[x0，M]的一個開覆蓋，根據有限覆蓋定理，必存在有限子覆蓋{Δ1，Δ2，…，Δn}，易知M所在的開區間為第一類的，相鄰接的開區間Δx有公共點，也應為第一類的，經過有限次鄰接，可知x0所在的開區間也是第一類的.矛盾.

故S有上確界.證畢.

1.2 有限覆蓋定理證明單調有界定理

證明：反證法.不妨設序列{xn}單調遞增，且xnM(n=1，2，…).由{xn}?[x1，M]，

假設對?x∈[x1，M]，x都不是序列{xn}的極限.則存在ε0>0，對?N∈N*，存在n>N，

有

|xn-x|≥ε0.

故{xn}必存在極限.證畢.

1.3 有限覆蓋定理證明致密性定理

證明：反證法.設{xn}?[m，M]為有界數列，若{xn}中無收斂子列.對?x′∈[m，M]，{xn}中無子列收斂于x′，即?x′∈[m，M]，?δx′>0，使U(x′，δx′)內只含有{xn}中至多有限項.事實上，若存在x0∈[m，M]，對任意δ>0，在U(x0，δ)內都含有{xn}的無窮多項，則{xn}必有子列收斂于x0.令

H={U(x，δx)|x∈[m，M]}.

則H是[m，M]的一個開覆蓋，根據有限覆蓋定理，H中存在有限個鄰域U(x1，δx1)，…，U(xn，δxn)使得覆蓋了H，當然也覆蓋了[m，M].由于每個鄰域內只含有{xn}中至多有限項，從而{xn}只有有限項.矛盾.

故{xn}中必含有收斂子列.證畢.

1.4 有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準則的充分性

證明：反證法.?ε>0，?N，當m，n>N時，|xm-xn|<ε.取m=N+1，則對?ε>0，當n>N時，有|xn-xN+1|<ε.令ε=1，則當n>N時，有|xn-xN+1|<1，即xN+1-10，對任意N，存在n>N，有|xn-x|≥ε0.則在內只含有{xn}的有限項.

故{xn}收斂.

1.5 有限覆蓋定理證明區間套定理

證明：反證法.設{[an，bn]}為閉區間套.但對?x′∈[a1，b1]，至少存在k∈N.使得x′?[ak，bk]，從而存在δx′>0.使得

U(x′，δx′)∩[ak，bk]=?.

因為G={U(x′，δx′)|x′∈[a，b]}是[a1，b1]的一個開覆蓋，故G中有限個開區間即可完全覆蓋[a1，b1]，記為

G*={U(xi，δi)|i=1，2，…，n}.

由此得出

這與G*={U(xi，δi)|i=1，2，…，n}是[a1，b1]的開覆蓋矛盾.

1.6 有限覆蓋定理證明聚點定理

證明：設S是直線上的有界無限點集，于是存在a，b.使得S?[a，b].假定[a，b]中任何一點都不是S的聚點，則對任意x∈[a，b]，都存在相應的δx>0，使得U(x，δx)內至多含有S的有限多個點.令

H={U(x，δx)|x∈[a，b]}.

則H是[a，b]的一個開覆蓋，根據有限覆蓋定理，H中存在有限個鄰域U(x1，δx1)，…，U(xn，δxn)使得覆蓋了H，當然也覆蓋了S.由于每個鄰域內至多含有S的有限個點，故這n個鄰域的病集也至多只含S的有限個點.于是得到S為有限點集.這與題設S為無限點集矛盾.

因此，在[a，b]中至少有一點是S的聚點.