初探初中幾何輔助線的添加策略

樊 勃

(黑龍江省齊齊哈爾市第二十八中學 黑龍江齊齊哈爾 161000)

幾何是初中數學學習的基礎模塊，它可以讓學生在圖形的探究過程中感受到數學的魅力，產生學習興趣，實現數學推理、想象與判斷能力的提升。在解決幾何問題時合理的添加輔助線可以讓復雜的圖形變得更加容易觀察、對比，以此快速找到解題方法。但是，對于初中生來說輔助線的添加方法并不容易掌握，需要學生長期的練習與思考。下面，筆者對初中幾何輔助線的添加方法進行了探討，僅供參考。

一、中點法

如果在幾何題目中給出了“中點”“中線”等條件，那么我們在解決問題時可以將思考的重點放在線段的中點處，通過中位線定理確定各線段之間的關系，或是求證三角形之間的全等關系，以此從題目中找到更多的已知條件，獲得解題思路。

例1：如圖，點E、點F是線段BC、AD的中點，且AB=CD，射線BA與射線EF相交于點G，射線CD與射線EF相交于點H，求證∠BGE=∠CHE。

分析：因為點E、點F 是線段B C、AD的中點，所以我們可以嘗試將AC連接在一起，并取其中點P，構造三角形PEF。只要證明PE=PF，便可以利用三角形中位線的性質證明∠BGE=∠CHE。

證明：連接AC，并在AC上取中點P，連接PE、PF。因為E為BC的中點，所以PE//AB，且2PE=AB，F是BC的中點，則PF//CD，2PF=CD。

已 知 線 段A B = C D ， P E = P F ， 等 邊 對 等 角 可 得∠PEF=∠PFE，因為PE//AB，所以∠BGE=∠PEF，因為PF//CD，所以有∠CHE=∠PFE，所以∠BGE=∠CHE。

二、平行線法

平行線法，是指通過添加某一直線的平行線解決幾何問題的方法[1]。這種方法可以證明圖形中某些邊、角的相等關系。

例2：如圖所示，在直角三角形ABC中，點D為斜邊AB上的中點，且DEDF，線段DE、DF分別交AC、BC于E、F，求證AE2+BF2=EF2。

分析：求證AE2+BF2=EF2也就是證明三條線段滿足直角三角形的三邊關系特征，所以我們不妨嘗試采用平行線法將AE、BF、EF三條線段整合到同一個三角形之中，通過證明該三角形為直角三角形證明等式成立。

證明：過點A作線段AG//BC，延長線FD與AG交于點G，因為∠ADG=∠BDF，AD=BD，∠GAD=∠B，所以?DFB與?DGA全等，所以FB=GA，GD=DF，所以ED為FG的中垂線，EG=EF。連接EG，因為∠GAE=∠C=90°，所以?AEG為直角三角形，AE2+BF2=GA2+AE2=EG2=EF2，所以AE2+BF2=EF2。

三、連對角線法

在四邊形解題過程中，常見的添加輔助線方式就是連連對角線法，特別是在解決特殊四邊形問題中，連對角線可以將四邊形問題轉化為三角形問題，然后再利用三角形性質求解。

例3：如圖，ABCD為梯形紙片，AB//CD，AD=BC，翻折紙片ABCD，使點A與點C重合，折痕為EF，CEAB。求EF//BD。

分析：求EF//BD可以從平行線性質入手，通過證明角的相等來證明平行線的相等。在本題中，可以連接AC來建輔助線，然后通過三角形全等分析角與角之間的關系，證明∠AEF=∠ABD，求得EF//BD。

解：連接AC，因為AD=BC，所以ABCD為等腰梯形，根據等腰梯形兩底角相等可得∠DAB=∠CBA，所以?ADB與?ACB全等。因為EF是折痕，所以EF是AC的垂直平分線，因此，∠1=∠2=45°。又因為CEAB，可得EF平分直角AEC，所以∠3=∠4=45°，∠2=∠4，所以EF//BD。

四、倍長中線法

中線是初中階段三角形學習中最重要的線段之一，在解決幾何問題時常常采用倍長中線的方法來構造輔助線[2]。所謂的倍長中線法就是將圖形的中線延長一倍，從而構造出全等三角形，然后再通過全等三角形解決問題，證明答案。

例4：在△ABC中，AD為BC的中線，E為AC上的一點，BE與AD交于F，AE=EF，請判斷AC與BF的大小關系。

分析：判斷AC與BF的大小關系可以通過三角形的關系來證明，而AC與BF所在并不能直接證明全等，以此便可以考慮通過等量代換的方式進行求解。

解：如圖所示，延長A D 到點M，使D M=A D，連接BM。因為AD=DM，所以∠ADC=∠BDM，DC=BD，所以△ADC≌△MDB。所以AC與BM相等，∠DAC=∠M。因為AE=AF，所以∠DAC=∠AFE=∠BFD=∠M，所以BF與BM相等，BF=AC。

五、結束語

除了上述提到的幾種方法外，輔助線的添加方法還有很多，例如“高線法”“旋轉法”等。添加輔助線沒有固定的模式和方法，也沒有規律可循，學生只有在日常學習中多思考、多聯系，才能夠掌握添加輔助線的基本思路，提高幾何學習的興趣。也只有如此，才能讓學生在一次次解決問題的過程中提升數學能力，培養數學素養。