讓課堂探究真發生、學習真發生

郭丹丹

摘? 要：《釘子板上的多邊形》是蘇教版義務教育數學教科書五上內容。本課教學主要引導學生在具體的觀察、猜測、驗證、操作、思考等探究過程中發現規律。整節課的教學重視調動學生主體作用，引導學生經歷探索規律的完整過程，呈現出在學習中提問、在觀察中猜想、在實踐中驗證、在交流中完善結論、在總結中反思提升的教學特色。

關鍵詞：提問;猜想;驗證;結論;反思

小學數學課堂教學的改進，需要以學生為中心，發揮學生的主體作用，讓其成為學習的主人。在被動學習狀態下，學生會消極應付學習，有時學生的認知和探究活動，不是其自我追求的行為，而成了一種虛假的、形式上的學習現象。因此，有人提出要讓課堂教學中的探究真發生、思維真發生、學習真發生。筆者本著這一認識踐行課堂教學，著重研磨了《釘子板上的多邊形》一課，以下是該課的教學實錄片段及其反思。

■【案例片段】

師：同學們，請仔細觀察釘子板上圍成的圖形。釘子板上多邊形的面積可能和哪里的釘子數有關？

生1：我覺得多邊形的面積可能和多邊形外部的釘子數有關。

生2：我覺得多邊形的面積可能和多邊形內部的釘子數有關。根據這幅圖，我們可以看到多邊形內部的釘子數逐漸變多，而且它的面積也隨之變大。

生3：我覺得多邊形的面積可能和多邊形內部的釘子數有關，還可能和多邊形邊上的釘子數有關。我們可以看到多邊形的面積在變大的同時，多邊形內部的釘子數在逐漸變多，而且多邊形邊上的釘子數也變多了。

師：多邊形的面積可能和多邊形外部的釘子數有關嗎？

生：多邊形外部的釘子數根本無法確定多邊形的大小，所以釘子板上多邊形的面積跟外部的釘子數一定是無關的。

……

師：是不是所有內部是一顆釘子的多邊形，都符合剛剛我們所提的規律呢？

（請全班來集體驗證。）

師：你畫的內部是一顆釘子的多邊形，符合剛剛我們所說的規律嗎？

生：符合。

……

生：當多邊形內部釘子數是2時，多邊形的面積和多邊形邊上釘子數的關系還會是S=n÷2嗎？

……

師：猜一猜，當內部釘子數是3的時候，S可能等于什么？釘子數是4的時候呢？內部釘子數還可能是幾？

現在開展如下探索活動，要求和步驟是——

1. 先猜一猜你想研究的多邊形面積和多邊形邊上釘子數以及內部釘子數之間的關系，并且寫下來。

2. 再在點子圖上畫一個多邊形，數一數、算一算，驗證你的猜想。

師：你研究的是內部有幾顆釘子的多邊形？我們猜一猜規律是什么。

師：咱們猜得對嗎？

生：對。

師：你們太厲害了吧，怎么猜得這么準呀，是發現了什么嗎？

生：S=n÷2+（a-1）。對于這個結論，你有沒有什么想說的？

生：a有沒有可能是0？

師：是啊，當a=0時，這個發現是否也成立呢？你這個問題提得太有價值了，我們一起來驗證。

生：當a=0時，也符合這個規律。所以這個式子符合a從0開始的任意一個自然數。

……

■【案例反思】

上述案例片段引發了執教者的深刻反思。對于五年級學生來說，“釘子板上的多邊形”是他們第一次通過整節課的學習來研究的一項重要的數學定理。以下幾點既可以算是個人的教學體會，也可作為某種教學已得的經驗與同行們交流分享。

一、從問題出發，引合理猜想

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”猜想的過程其實就是動腦的過程，它對學生的思維能力起到了一定的促進作用。本節課中，大部分學生都能夠通過觀察分析進行合情推理、合理猜想，也都能夠較為容易地猜測出釘子板上多邊形的面積可能與釘子板內部的釘子數以及多邊形邊上的釘子數有關。他們中的部分學生不僅能根據自己已有的經驗或經歷對自己的猜想進行舉例說明，還能夠用文字描述、圖示等形式進行合乎道理的分析和說明，語言表達順暢，銜接自然。當然，班里也存在一小部分學生純粹是胡亂猜測，他們認為釘子板上多邊形的面積跟多邊形外部的釘子數有關。當教師讓這部分學生分析時，他們往往會說“我就是隨便猜猜的”。這部分學生完全是憑直覺提出猜想，至于這個猜想是否與問題情境有關，則根本無法給出適當的解釋和說明。大部分學生認為，雖然猜想時做到了有理有據，但那只是大家的猜想，一點也不“科學”“嚴謹”，必須要進一步驗證才行。這就激發出學生想要探究的欲望，突出了驗證猜想的必要性和迫切性，自然而然地就把學習活動推進到下一步，充分體現了教師是學生學習的合作者、引導者和參與者，課堂教學模式也從“以教師的教為主體”轉變成了“以學生的學為主體”。

學生找到當內部釘子數為1和2時多邊形面積和多邊形邊上釘子數的關系，并且能夠從已有的事實出發，憑借現有的結論，運用歸納和類比等推斷出當內部釘子數是3、4、5……多邊形的面積和多邊形邊上釘子數之間的關系。這里的猜想看似“簡單”，實則需要先找到當a=1和a=2時的關系，才能進一步思考。學生所驗證的數據范圍較廣，能夠體現教師的“放”。學生還能夠抓住事物之間的相互聯系做出猜想，教師在尊重學生的基礎上，引領探究活動循序漸進地進行。

二、猜想中發現，以實踐驗證

正如毛澤東所說：“實踐是檢驗真理的唯一標準?！碑攲W生通過觀察、計算、分析等學習手段發現當a=1時S和n之間的關系，這時他們的發現僅僅是根據書上的4幅圖暫時得到的結果而已，還需要大量的具體數據來驗證。教師讓學生通過找反例的形式，佐證了這一結論。在教學中，教師要改變學生的定向思維模式，不僅要教給學生正向思維，還要教給學生逆向思維，這樣更有助于提高學生的思維能力。如果學生想要對一個猜想進行驗證，但在獨立思考或者小組合作思考之后，仍然不知如何驗證時，教師可以選擇在恰當的時機用語言、圖文等提醒和引導，通過回顧以往的學習經驗和已掌握的學習方法，使學生產生明確的、清晰的、可操作性的想法，由此驗證猜想是否正確。教師視情況而定，還可以直接告訴學生一些驗證方法，如舉例驗證法、推導驗證法、類比驗證法、操作驗證法、查閱資料驗證法等，以此來幫助學生解決問題。與此同時，如果想要提高學生的猜想驗證能力，不僅要提供具體可猜想驗證的環境，還要讓學生學會使用正確的猜想驗證方法。教師在教學中需要給學生足夠的猜想空間，即使有少部分學生“隨便猜猜”也是完全可以接受的，教師要給予這部分學生一定的肯定，以此來激發他們的學習興趣，一旦有了興趣，他們就會積極主動地參與到學習過程中來，努力地去驗證自己的結論，久而久之就會改變自己的學習態度。

學生在已有學習經驗、能夠進行合情推理的基礎上，猜想當內部釘子數不同時多邊形的面積和多邊形邊上釘子數之間的關系。學生知道，只有猜想是不夠的，必須要對猜想進行驗證。學生從“要我學”變成“我要學”，從被動學習變成主動研究，這很容易讓學生在心理上取得一定的滿足感，激發起無限的學習熱情，有助于提升他們的探究能力。

三、驗證中總結，總結中反思

曾子說過：“吾日三省吾身?！睂W生不僅每天要多次反省自己的所作所為，在學習上也同樣要反省每天所學的內容是否還存在些許疑惑。學生通過自己的努力以及同伴和老師的幫助，找到當內部釘子數是正整數時多邊形面積和多邊形邊上釘子數的關系。班上有少數學生對該結論存在疑問：如果內部釘子數是0，這個結論是否還成立？這部分學生的反思能力和探究能力較強，有著嚴謹的科學態度，能夠根據問題情境中的具體信息，根據思考、探究等提出與問題情境有關聯的、清晰的、確定的數學問題，同時能夠讓周圍的小伙伴通過聯想相關的知識、小組合作、探究、推理等方法得到答案。學生之間的討論互助，不僅能讓結論更加完整化，而且還會對其他同學起到一定的激勵作用，鼓勵他們以后思考問題也要全面。課堂小結也是每節課不可缺少的一部分。學生通過自主思考總結或小組合作思考總結，不僅能夠用自己的語言描述本節課所學的知識，而且還考驗了自己對本節課知識的掌握程度，更有甚者會對之前所學知識產生一定的疑惑并引導全班學生進行集中探討。反思是學習的一種有效手段，是學習中不可缺少的重要環節。教師是學生的引路人，更是反思性學習的促進者。教師必須不斷地對自己的教學進行反思，不斷地提高自身的教學水平。學生是反思的主體，在課堂教學中，教師不僅要創造機會幫助學生建立反思意識，更要在平時的教學中培養學生的反思習慣。

《釘子板上的多邊形》一課的探究學習，需要學生經歷多次猜想和多次驗證才能得到結論。根據具體的情境，將合情推理、合理猜想通過活動進行驗證，獲取結論后再加以反思。探究課堂中，圍繞數學猜想，學生經歷了“提出問題―合理猜想―設法驗證―得出結論―回顧反思”的學習過程。正因為經歷了這種探究過程，猜想驗證思想方法才得以滲透，也才能培養學生更加嚴謹的學習態度和推理能力，使學生的認知水平和思維能力都得到一定程度的提升。

作為一線教師，在平時的課堂教學中要把猜想驗證等數學方法加以延伸，挖掘出教材背后深層次的思想方法。我們不僅要讓學生知其然，還要讓他們知其所以然，一定要讓課堂上的學生探究真發生、學習真發生。