合理猜想，有效驗證

游建青

【摘要】《數學課程標準》中指出：讓學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數學活動過程，發展合情推理能力，培養創新意識.新課程倡導主動參與、探究發現的學習方式.在數學教學中，猜想驗證作為學生數學學習探究中的一個重要組成部分，在培養學生的探究意識、提高探究能力等方面具有獨特的功能.本文闡述了在小學數學教學中運用“猜想驗證”實施有效探究學習的策略.

【關鍵詞】猜想；驗證；有效；探究

《數學課程標準》中指出：讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力，培養創新意識.新課程倡導主動參與、探究發現的學習方式，猜想驗證因其內在特點對學生產生的吸引力，使其具有引起學生主動探究、發現的特殊功能.因而，在數學教學中有效地進行猜想，科學地進行驗證，是實踐新課程理念的有效舉措.

鼓勵學生猜想要合理，引導學生驗證要有效，那么在實際教學中，我們又該如何運用“猜想驗證”有效地進行探究學習呢？

一、滲透“猜想驗證”思想，培養探究意識

猜想驗證是一種重要的數學思想方法，正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數學家——常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實.”因此，小學數學教學中教師要重視猜想驗證思想方法的滲透，以增強學生主動探索、獲取數學知識的能力，促進學生創新能力的發展，同時在思想方法的滲透中培養學生的探究意識.

在實際教學中要讓學生通過“感知—假設—驗證—歸納”，感知是播撒思想方法的種子，假設是展開思想方法的翅膀，驗證是把握思想方法的方向，歸納是收獲思想方法的果實.在經歷知識的形成過程中，不僅獲得了數學結論，更重要的是逐步學會了獲得數學結論的思想方法——猜想驗證，提高了主動探索、獲取知識的能力，增強了學好數學的信心.

二、運用“猜想驗證”方法，提高探究能力

（一）引導學生體驗感悟促進有效學習

從學生的學習過程來看，猜想是學生高效學習的良好準備，它包含了學生從事新的學習或實踐的知識準備、積極動機和良好情感，是一種體驗過程.

體驗是學生用全部的心智去感受、關注、欣賞、評價某一事件，猜想驗證正是一種體驗過程.而在體驗基礎上的理解則是經歷撞擊、感悟等心智活動后的深度的理解.

1.經歷認知沖突，在體驗中豁然

在教學實踐中，由于學生的猜想是建立在已有經驗的基礎上，這樣難免有些認知上的偏差，尤其對抽象的數學新知會產生沖突和錯誤，但是這樣的沖突和錯誤是可以作為教學資源的，它顯而易見的價值是使學生發現問題本質進而提升認識，獲得強烈的體驗并在體驗中豁然開朗.

例如：“工程問題”教學，以下是把工作總量抽象成“1”的環節：

首先出示：我們學校準備重修300米長的圍墻，甲建筑隊保證10天完工，乙建筑隊保證15天完工.兩隊合修，幾天完成？（學生解答：6天完成）

其次改編：把上題的“300米”分別改成“100米、150米、600米、900米”，請學生猜想，這樣合修幾天能完成？（馬上學生紛紛舉手，認為是2天、3天、12天、18天等，但是筆者清楚地發現有些學生若有所思：大概既認同又有疑惑）

然后組織探究：先自主探索，然后在學習小組中說說各自的發現，并討論為什么？

學生在發現自己的猜想是錯誤后，感覺是疑惑的；在發現小組同學的結論后，感覺是驚奇的；在隨之“為什么會這樣”的小組討論反饋后，感覺是釋然的.這樣的體驗經歷學生是很難忘記的，這樣的收獲也將會是終身受益的.

2.經歷多次猜想驗證，在體驗中得以升華

教師提供生動的材料組織學生探索，讓學生經歷多次猜想，在不斷探索中深化認識，經歷多重體驗.最終不僅使學生獲得了正確結論，而且在此過程中，讓學生不斷獲得求知的體驗，獲得自主修正猜想、接近成功和獲得成功的巨大體驗，并可能在不斷的碰撞中得到認識上的升華.

例如：“能被3整除的數的特征”：

（1）學生任意報數，老師快速判斷這個數能否被3整除，學生驗證.

（2）小組合作學習：每個小組提供三組卡片，每組卡片形狀不同.第一組長方形卡片5個數：1，2，3，4，5.第二組圓形卡片4個數：7，3，5，0.第三組平行四邊形卡片，為3個數再加一張空白卡片：2，7，5，空.

提出合作學習要求（投影顯示）：

步驟內容提出猜想或修正猜想

①第一次猜想.

②用長方形卡片任意排成5位數，用計算器檢查能否被3整除.

③用正方形卡片任意組成4位數，用計算器檢查能否被3整除.

④用平行四邊形卡片上的數字排成任意3位數，用計算器檢查能否被3整除，再在空白卡片上填上一個數字，使得排出的數能被3整除.

⑤在空白卡片上填另外的數字，看排出的數能否被3整除.

⑥驗證猜想，寫下研究的結論.

學生根據初步體驗得出的第一次猜想是建立在直覺基礎上的，學生一開始馬上想到的是：個位上是3、6、9的數能被3整除.但是在小組內馬上聽到了不同的質疑聲音.

學生在完成步驟②的時候，發現怎么擺都能被3整除，完成步驟③的時候，學生發現兩組數的和都是15，于是猜想到如果和是15就能被3整除，筆者發現確實有一些組提出了這樣的猜想.

學生在做步驟④的時候，發現幾乎所有小組都在空卡片上填寫了數字1，使得和等于15.結果發現確實能被3整除，學生都非常興奮.基本肯定了前面提出的猜想.

在做⑤的時候，學生又陷入了疑問，比如一個組在空白卡片上填4后，和等于18，這個數也能被3整除，使學生又進入更深層次的猜想.最后獲得正確的結論.

學生在猜想中體驗了知識發生的始終，既感受了探究新知的辛勞，又享受著成功的喜悅，因此，猜想是一種有滋有味的體驗過程.在猜想中，學生發現數學學習是有趣的，也是艱辛的；有收獲時的喜悅，也有失敗時的沮喪；有時答案好像垂手可及，有時卻是不著邊際的摸索……在猜想中，學生充分體驗了學習活動的魅力.

（二）引導學生有效探究提升思維水平

猜想，從心理學角度看，是一項思維活動，是學生有方向的猜測與判斷，包含了理性的思考和直覺的推斷，是比較高級的思維方式.猜想，是學生憑借所已有的知識經驗，通過觀察、比較、歸納、推斷等手段，借助思維的綜合，進行目標推斷的過程.在這個過程中，學生的思維活躍，處于積極主動的狀態.在獲得猜想后，學生進一步形成的希望知道猜測是否合理的驗證活動，以及發現猜想錯誤而提出新猜想的活動，讓學生經歷一種有情有趣的思維過程.

1.正面探究，誘發思考

在小學數學教學中，可以讓學生利用已有的知識經驗，對新知進行猜想，然后在猜想的引領下，促使學生積極思索，在假定的探索航線上尋求問題的解決.這樣的教學，以先前的猜想為思維起點，其后的修正或者可能的進一步猜想、檢驗、判斷等為思維進程，最終獲得結論.

例如“我們認識的數”：

猜一猜：先讓學生像老師一樣把手張開，從1號口袋里抓一大把糖，數一數有幾粒，記在心里后放回口袋.再讓學生猜一猜如果像剛才那樣從2號口袋里抓一大把花生，大約有幾粒？學生抓一把花生驗證自己的猜測.接著小結：花生的個兒小，糖兒的個兒大，同樣抓一把，花生比糖的粒數多.最后再請小朋友估計一下，如果像剛才一樣從3號口袋里抓一把黃豆，大約有多少粒？為什么？并實踐驗證.

再猜：老師讓學生猜一猜老師抓一大把花生大約有多少粒？為什么？

接著小結：老師的手兒大，小朋友的手兒小，抓一把同樣的物體，老師抓到的數量比小朋友的多.

還猜：老師拿出一個大橘子，請學生猜一猜這只橘子可能有幾瓣？再拿出一個小橘子，請學生猜一猜這只小橘子又有幾瓣？為什么？對于孩子們的眾說紛紜，老師笑著說：“橘子個兒小瓣數就一定少嗎，橘子個兒大瓣數就一定多嗎？”課后，小朋友吃橘子的時候留心數一數，說不定你還能發現一個有趣的現象！

老師由淺入深精心布局的“猜一猜”活動幫助學生積累大量的活動經驗，并引導學生在不斷的猜想與反思（驗證）中逐漸提升對數感的感悟層次，更難能可貴的是：在簡單看似的認數活動的背后還蘊藏著深刻的辯證思想：從“同樣大小的手抓不同的物體”反映出“空間一定，物體大小與物體數量成反比”的規律；從“不同大小的手抓同樣的物體”反映出“物體一定，空間大小與物體數量成正比”的規律；最后的“猜一猜橘子有幾瓣”又反映學生“空間大小與物體數量、物體大小有時并沒有必然的聯系”，引導學生初步體會到“任何物體之間的關系都是相對的”.

2.反向建構，提升思維

常常聽到教師“講了很多次了，也做了很多題了，但是學生怎么還要錯？”等等的抱怨.學生錯誤產生的原因是多方面的，原因之一是“單行線教學”.比如，應用題教學的一般模式是“例題講解—獲得方法—練習鞏固”，在練習課或者復習課時教師往往讓學生進行較多的練習.這樣的教學是單向的，效果并不理想.特別是在練習課和復習課中，有時利用猜想驗證內在的思維價值，變“正向教學”“反復操練”為“反向構建”，更能幫助穩固學生的認知結構.

比如，在十一冊總復習時，有一次出示了一組算式：

3.14×8

（8÷2）2×3.14

5000×2.25%×20%

3.14×（42-32）

……

先猜想這些算式可能在解決什么問題，算式中的數據可能是什么？選擇一道進行研究，利用自己熟悉的方法進行驗證.

反饋時，學生發言熱烈，還有一些學生以編應用題的形式呈現，還有學生“違背”了大眾化的認識，進一步進行了探究，創編了“另類”題，比如一個學生以畫圖的形式，展示了他對“3.14×8”的猜想成果：

他的解釋是：已知正方形的面積是8平方厘米，求圓的面積.

不難發現，這位學生的猜想來自于自己已有的知識經驗和思維的結果，這樣的猜想實際上是對學生思維的喚醒.在學生觀察一個非常普通枯燥的算式時，讓學生根據算式猜測數據的意義，進而猜想算式的現實情境，相對“根據應用題列出算式”這樣的正向探究活動來說，這是一個反向聯結，這時學生的思維活動是積極的、主動的，以此幫助學生構建一個穩定的認知系統，也可能促使學生通過進一步探究獲得不同的多樣的發現.

猜想是一種思維方式，有助于發展學生的數學思維能力，特別是創新思維能力.因為學生的猜想必定帶有個性的色彩，這種建立在個體一系列思維活動基礎上的猜想，很可能激起學生創新的火花，產生創新性的成果.

猜想可以發展學生的思維，建立在一定直覺性基礎上的猜想內含了寬泛的思維空間，學生的思維可以在其間縱橫馳騁，在自身建構猜想的過程中、在與他人交流猜想的過程中都會產生思維沖撞，從而不斷推進思維水平的提高.

【參考文獻】

[1]嚴育洪.新課程教學九辯[M].北京：首都師范大學出版社，2007.

[2]詹明道.名師課堂經典細節[M].江蘇：江蘇人民出版社，2005.