立體幾何的高考試題交匯題型研究

浙江省安吉縣孝豐高級中學 厲偉星

立體幾何的學習在高一下半年就會有所涉及，它不僅需要學生擁有較強的空間感，同時還需要擁有良好的想象力。在對立體幾何進行學習時，不論是課本上的知識還是試卷上的習題，都是以平面圖的方式展現出來的，較強的空間想象力，能夠將平面圖與立體圖相互結合起來，學習起來便會覺得簡單許多。立體幾何知識的相容性很好，能夠與多種知識相互組合，形成新的題型。高考試題中也往往會出現立體幾何的交匯題型，這樣的題難度較大，可以用來檢驗學生們對不同知識的掌握情況。

一、立體幾何與向量的交匯題型

這道題是2018 年的北京高考題，題目中將立體幾何的知識與向量相互結合。本題中共分為三個問題，第一問非常簡單，需要學生根據已知條件來證明出AC 垂直于平面BEF。第二問則需要學生動一下腦筋，根據題目中的已知內容來構建直角坐標系，根據向量知識來求解余弦值。第三問根據向量進行簡單計算，得出二者相交的論點。這道題將立體幾何與向量知識相互交匯，學生既要掌握立體幾何知識，也需要掌握向量以及角度計算等相關知識，將幾方面的知識相互融合，考驗學生對于知識的運用能力。

二、立體幾何與空間點、直線、平面之間的位置關系的交匯題型

例2：如圖2，四邊形ABCD 為正方形，E,F 分別為AD,BC 的中點，以DF 為折痕把三角形DFC 折起，使C 到達點P 的位置，且PF 垂直于BF。（1）證明平面PEF 垂直于平面ABFD；（2）求DP 與平面ABFD 所成角的正弦值。

這道題是2018 年高考全國卷一的一道立體幾何與空間點、直線、平面之間的位置關系的交匯題型。根據題目所給出的條件，結合相關定理，便能夠證明出兩者的垂直關系。這道題目的難度不大，只要學生掌握二者垂直的條件和定理，便可以根據題目中所給出的已知條件進行題目的解析。立體幾何與空間點、直線、平面之間的位置關系相融合的題型與其他綜合類題型相比較為簡單，相交、平行、垂直，只要牢牢掌握這三種位置關系的證明定理，結合立體幾何的知識，便能夠對題目進行解答。

例1 和例2 兩種題型雖然是立體幾何和向量以及立體幾何和空間點、直線、平面之間的位置關系的交匯題型，但是在問題的設置中還涉及其他的知識點，并不完全只是兩種知識的相互融合。這類題目在解析過程中除了問題中給出的知識點，還需要進行其他知識的運用。這類題型涉及知識點較多，所以在解題過程中稍顯困難，學生需要對幾種知識融會貫通，這樣才能夠順利進行題目的解答。但凡對其中一種知識的掌握不牢固，在題目的解答上便會遇到困難，這樣的題目在高考中難度中等，主要考驗學生對于知識的理解和綜合運用。

三、立體幾何與三角函數的交匯題型

這道題是2017 年北京高考試題，在這道題中，將三角函數與立體幾何結合在一起，在立體幾何的基礎之上加入三角函數的內容，兩個問題中沒有涉及其他的知識。在這樣的題中，學生可以根據所給出的已知條件，結合三角函數的相關知識對題目進行解析。這種題目條件清楚并且問題鮮明，在解析過程中不需要運用太多知識，只根據定理和公式就可以解出答案。這類題目在高考中屬于簡單題型，將兩種知識簡單結合，考驗學生對于部分知識的掌握情況，學生只需要牢牢記住公式和定理便可以順利解出題目，拿到分數。

四、立體幾何與函數的交匯題型

例4：如圖4，動點P 在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，過點P 作垂直平面B1BD1D 的直線，與正方體表面相交于M，N。設BP=x，MN=y,則函數y=?(x)的圖像大致是？

這道題是2008 年北京高考試題，主要是立體幾何與函數的交匯題型。函數的題型變化也非常多，并且難度較大。立體幾何與函數的融合，關注的知識點較多，因為函數存在不確定性，有時還需要進行不同種結果分析，這樣的題型往往也都是難題。因為立體幾何與函數的題型變換很多，學生在掌握基本的立體幾何與函數知識后，還需要對知識進行綜合運用。在考題的設置中，簡單的問題可以幾步解出，較難的問題就考驗學生對于知識的掌握程度，理解并掌握所有知識點，根據題型類型進行實際分析，才是解決難題的關鍵所在。

立體幾何具有百搭性，與多種知識可以交互融合。在這些問題的解決上，首先就需要對立體幾何以及其他知識的基礎內容進行有效的理解和掌握。交匯題型的重點就是要考查學生對于不同種知識的相互運用，以上這些交匯的題型都算是一種創新，并且也是高考題型的未來出題趨勢。