Hamel基與正交基的關系

田漢陽

【摘要】本文介紹了Hamel基和正交基的概念，并討論了它們的等價性.

【關鍵詞】Hamel基;正交基;希爾伯特空間;關系

一、一般向量空間的基，Hamel基和正交基

我們想要知道Hamel基和正交基的關系，首先就要清楚它們的概念.

（一）一般向量空間的基

向量空間X的一組向量若滿足：（1）線性無關;（2）X中任一向量可由此組向量線性表出，則稱該組向量是X中的一個基（亦稱基底）.

（二）Hamel基

非零線性空間X的一個子集H={xn}∈X，稱為一個Hamel基指的是H是X中一個線性無關的集（H中任意有限個元都線性無關），且任意x∈X，都可以被H中有限個元唯一地線性表示.

（三）正交基

在一個內積空間中，元素兩兩正交的基稱為正交基.

為了使讀者更清晰地了解三者的關系，我們需要介紹線性空間中“線性無關”.

（四）線性無關

1.在有限維空間中：

對一組數量有限的集合{v1，v2，…，vn}，我們稱這個集合是線性無關的：這個集合中的元素的任意線性組合等于0當且僅當系數都為0.

在此定義下，一個向量組{vi}是有限維向量空間V中的一組基，那么，任意一個向量x屬于V，都可以被vi中的向量的線性組合表示.

2.在無限維空間中

對一組無限的集合{v1，v2，v3，…}，我們稱這個集合是線性無關的：這個集合中的任意有限個元素的線性組合等于0當且僅當系數都為0.

那么在此定義下，可知如果一個向量組{vi}是無限維向量空間V的基，那么，任意一個向量x屬于V，都可以被vi中的有限個向量的線性組合表示.

因此，我們可以知道，在無限維向量空間中的基，就是我們的“Hamel基”.所以，我們也稱Hamel基是“一般線性空間下的基”.

由上面兩者的定義可知，我們的討論范圍可以由線性空間縮小到內積空間.

二、內積空間中的Hamel基和正交基的關系

（一）在有限維內積空間中

由Hamel基的定義可知，任意有限維內積空間都含有Hamel基.我們取給定的有限維內積空間X的一組Hamel基H，H的元素數量一定是有限的.通過對H的元素Gram-Schmidt正交化，可以得到一組正交基.

所以在有限維的內積空間中，二者等價.

（二）在無限維的內積空間中

1.我們首先要討論無窮維空間中，Hamel基與正交基的存在性

（1）任意向量空間都有基（Hamel基）[2]

考慮任意一個向量空間V中的線性無關的集合S1.如果S1 spans V，那么S1就是一個V的基;如果不是，我們可以選擇任意一個向量v1，v1滿足：屬于空間V但不屬于span{S1}.令S2=v1∪S1，是一個更大的線性無關的集合.然后考慮S2，若S2 spans V，S2為V的一個基;若不，我們可以再得到v2屬于V但不屬于span{S2}.令S3=S2∪v2.不斷重復這個過程，我們可以得到一個單調遞增的線性無關的集合組：

S1S2S3……

顯然我們知道，S=∪Si是線性無關的集合.（對任意有限個向量{xn}屬于S，都存在一個i，使得{xn}屬于Si.）

現在我們要證明S是V的基.

令P是V中的線性無關子集所組成的集族.由于V≠0，則P不是空集.在P中按照規定序，A≤B，指的是AB，則P是一個偏序集.由Zorn引理，P中必有極大元.

先證明S就是P中的極大元：

如果S不是，那么存在極大元M，使SM且S≠M.任取一個向量v，使v屬于M但不屬于S.那么我們可以知，v也屬于V空間.v∪span{S}也屬于V空間，這與S的定義相矛盾.所以S是P的極大元.

再證明S是V的基：

如果S不是V的基，那么存在向量v0∈V，但不屬于span{S}.使得S0=v0∪S也屬于V，且S0也是線性無關的集合，則S0∈P.顯然SS0，且S≠S0.這與S是P的極大元矛盾.

所以S就是V的基.

證畢.即對任意一個向量空間，我們都可以找到它的一組基（Hamel基）.

（2）任意的希爾伯特空間都有正交基

由a知，任意的希爾伯特空間都有基.設V為任意的希爾伯特空間.因為V完備，那么我們設Vn是V的一個n維子空間.有限維的希爾伯特空間，對基Gram-Schmidt正交化，得到標準正交基Sn={x1，x2，…，xn}.設v∈V，但v不屬于Vn.由投影原理可知，v與v在Vn的投影F之差：

b=v-∑ni（v，xi）xi，是正交于子空間Vn的.再將b單位化，令xn+1=b‖b‖，那么Sn+1={x1，x2，…，xn，xn+1}就是Vn在v上擴展的子空間span{x1，x2，…，xn，xn+1}的標準正交基.

不斷重復這個正交基的延拓過程，就可以得到一組單調遞增的集合：

S1S2S3……我們令S=∪iSi.

于是，由Zorn引理得S就是希爾伯特空間的一組正交基.

2.由于不完備的內積空間上正交基的存在性較為復雜，所以我們先討論無限維希爾伯特空間下的正交基和Hamel基的關系

（1）對任意一個無限維的希爾伯特空間，它的正交基不再是Hamel基

我們可以先考慮比較特殊的情況，由Gram-Schmidt過程可知，我們得到的正交基在無窮維的情況下是可數的.

但是我們可以證明：沒有希爾伯特空間有可數的Hamel基：