整體建構中考復習，強化結構思維水平

張勇

【摘要】? 單元復習課的設計應該注重整體教學，設置適宜的問題或活動，加深學生對所學內容系統性的認識，明晰知識間的聯系以及研究思路與方法，提升學生的思維水平。

【關鍵詞】? 整體 系統 單元復習 平行四邊形

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）05-108-03

緣起

教材的整體設計呈現不同知識之間的關聯。一些知識之間存在著實質性的聯系，這種聯系體現在相同的內容領域，也體現在不同的內容領域。幫助學生理解實質性聯系，是數學教學的重要任務。在九年級復習期間，如何借助結構性的問題幫助學生從整體的視角更好地建構知識體系，深刻理解知識間的內在聯系就顯得尤為重要。

基于上述思考，筆者對單元整體復習展開了研究。一方面通過結構性的問題和數學活動幫助學生把單元知識的鞏固和應用形成整體的認知結構，另一方面把教材中的點狀知識關聯成網狀知識結構，把相關聯的其它單元知識進行重構和拓展。讓學生在復習課中收獲解決一類問題的一般性思維策略和方式、方法。筆者以平行四邊形單元復習為例，從整體的視角闡述在復習課中如何有效提高學生的認知水平，從而實現提升學生的數學素養和思維能力的目標。

教學設計

一、內容和內容解析

1.內容

平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、性質及判定.以及運用這些內容解決問題。

2.內容解析

該單元是在學生復習了三角形的相關知識（其中包括特殊三角形直角三角形、等腰三角形）、全等三角形和軸對稱知識的基礎上，進一步復習四邊形的知識。

三角形的學習基本路徑為定義、性質、判定、應用，從一般到特殊。這些學習經驗為后續平行四邊形等內容的復習奠定了基礎，提供了“一般觀念”的示范作用.

平行四邊形是邊的大小關系、位置關系、角的大小關系，對角線的關系特殊化而得到的特殊四邊形。而矩形、菱形、正方形亦是邊角對角線特殊化的平行四邊形類比三角形的復習建構路徑，通過一系列思維活動過程，再一次呈現“一類幾何圖形特例研究的一般套路”。

基于以上分析，本單元的教學重點是：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質及判定，以及這些內容之間的聯系。系統化建構知識體系。

二、目標和目標解析

1.通過探究活動回顧平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、判斷、性質，以及它們之間的關系。

2.能運用性質和判定進行推理論證和定量計算。

3.能運用相似三角形、勾股定理、面積法等方法，解決特殊四邊形相關的定量問題;通過解決特殊四邊形的定量問題，感受相似三角形、勾股定理、面積法是通法。

4.能通過探究活動，體會平行四邊形及矩形、菱形、正方形的研究思路、研究內容、研究方法。

5.經歷構建知識體系的過程，總結歸納一類幾何圖形特例研究的一般套路。

基于以上分析，本單元的教學難點是：聯系三角形的知識結構體系，建構四邊形知識結構體系，并能把四邊形問題化歸為三角形問題來解決，促進學生系統地思考問題。

三、教學過程

1.學情前測

（1）已知平行四邊形相鄰兩條邊的長度之比為3：2，周長為20cm.則它各條邊長為?_________ .

（2）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（? ? ）

A.對角相等 B.對邊相等C.對角線相等 D.對角線互相平分

（3）已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為?_________?.

（設計意圖：根據最近發展區理論，教學應該盡可能地從學生的認知水平出發，重視學生已有的經驗展開課堂活動。在本節專題復習課之前，學生已經學習過平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、性質、判定，這些都是本節復習課的重點知識。筆者所教學的是杭州某公辦學校九年級班級，實際掌握情況中僅第2題出現3人答案錯誤，1人空白。因此，通過前測的設計，從數學內部舊知的角度評估學生的掌握情況。）

2.激活舊知

活動1：利用直尺和圓規畫出以AB，AD為邊的平行四邊形。（要求保留作圖痕跡）

追問：你的作圖依據是什么？

師生活動：學生呈現不同畫法，并通過推理論證自己的畫法。

方法1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方法2

方法3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方法4

（設計意圖：設計開放的數學活動，給學生提供了體驗式的活動經驗，調動學生參與積極性。同伴分享的過程又給了學生借鑒學習的機會。以此作為問題驅動，通過思考、證明、討論、分享這些活動，積累思維活動的經驗，發展學生的學習內驅力，從而達到舊知的復習以及新知的聯系。學生的不同生成激活了學生對平行四邊形定義、性質、判定做的認識。引導學生按研究路徑進行知識梳理）

3.聯系建構

問題：我們復習了三角形相關知識，是按照怎樣的路徑研究的？

師生活動：學生回憶三角形的研究路徑——定義、性質、全等關系。特殊三角形的研究路徑——定義、性質、判定等。

追問1：回憶三角形性質、判定的研究視角，類比三角形的研究視角從不同視角（邊、角、對角線）回憶平行四邊形的定義、性質、判定。

師生活動：學生梳理平行四邊形的定義、性質和判定。

追問2：矩形、菱形、正方形分別是把平行四邊形的什么元素特殊化而來的？

（設計意圖：對幾何圖形的研究按照從一般到特殊的思路進行，比如直角三角形，它是一般三角形從角特殊化得到的.等腰三角形，它是從邊特殊化得到的。通過類比三角形構建研究思路，用相似的思路研究不同的問題.引導學生自主構建知識體系、深化理解。）

4.化歸本原

活動2：在平行四邊形ABCD中畫出全等三角形。（要求只用直尺）

追問1：你能畫出多少對全等三角形？

師生活動：學生呈現不同畫法，歸納只要直線過對稱中心就能得到全等三角形，這樣的全等三角形有無數對，本質是平行四邊形的中心對稱性。

（設計意圖：通過探究活動感受平行四邊形的中心對稱性）

追問2：當平形四邊行特殊化為矩形后，除了具有中心對稱性外還有怎樣的對稱性？

（設計意圖：感受矩形除了具有平行四邊形的中心對稱性外，還具有軸對稱性）

活動3：在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE=15°.你能得出哪些結論？

師生活動：學生根據矩形性質分離出圖中的等腰三角形、等邊三角形、特殊直角三角形、全等、相似等關系。

追問1：若AB=4，你還能得出哪些結論？

師生活動：學生回答，互相補充。歸納得出圖中所有線段均可求，所有的角均可求，所有圖形的周長面積均可求，線段比、面積比也可通過不同方法求解。

追問2：在求解的過程中你用了什么方法？

師生活動：小組內交流歸納如下

類型1：求線段類的方法：相似（全等）三角形、勾股定理、三角函數、面積法

類型2：求角度類的方法：相似（全等）三角形、三角函數。

類型3：求面積類的方法：相似（全等）三角形、割補法

追問3：試著自己提出問題，并解答。

師生活動：改變題目的條件，例AB=4改為AB=3，BC=4等。

（設計意圖：從定性到定量，既利用性質推理論證又通過解決矩形的定量問題，感受四邊形問題通常是化歸為三角形問題來解決，而相似三角形、勾股定理、面積法等方法是解決問題的通法。）

活動4：如圖，正方形ABCD，AD=4，請按如下要求作圖：取BC的中點E，連結AC與DE相交于點N，F為AB上一點，連結DF交AC于點M，當△AFM和△CEN相似時，求AF的長。

師生活動：分類討論，歸納每一種情況所用方法，進一步感受正方形性質的豐富。

（設計意圖：正方形是特殊平行四邊形中具有代表性的一類，正方形既是軸對稱圖形，又是旋轉對稱圖形。通過探究活動感受正方形的對稱性，并利用對稱性解決問題.）

反思

1.整體立意，系統建構

三角形的研究，經歷了一般到特殊的圖形研究的過程。研究三角形的視角：邊、角、三線，這也是研究三角形的基本思路和方法。有了這樣的研究經驗和基礎，站在系統的高度，設置恰當問題引導學生類比三角形的研究，正遷移研究方法和思路展開對四邊形的研究。感知平行四邊形是四邊形特殊化而來，進一步特殊化得到矩形、菱形，再進一步特殊化得到正方形這樣的過程。

體驗從邊、角、對角線的視角來研究特殊四邊形的基本思路和方法，凸顯系統化，整體性。學生學會的不是單一的知識，也不是解決某一個問題的具體方法，而是解決一類問題的一般性思維策略和研究幾何圖形問題的方式和方法.因此，這是從“具體方法”到“思維策略”的提升。

2.加強直觀，思維可視

通過畫圖操作、探究等活動，用數學實驗的方式加強對圖形的感覺、認識、分析、推理。引發學生的思考，調動已有知識和活動經驗，來尋求解決問題的思路。動手動腦的過程，讓學生經歷從實驗到論證的過程，經歷從合情推理到演繹推理的過程。利于學生的思維從直觀到抽象，從感性到理性的飛躍，發展學生問題解決的能力。

畫圖呈現的過程也是思維可視化的過程。說明作圖依據的過程是演繹推理的過程。只有學生參與了主動實踐、觀察、思考的過程，才能有所發現，提出問題，才能有效地落實四基四能。

3.過程開放，拓展提升

每位學生獨立完成畫圖的過程。呈現不同的畫法和說明依據的過程，讓學生表達思考的過程，經歷了從操作到思辨到邏輯推理的過程，發展了邏輯思維能力和數學語言表達能力。拓展了思維空間，激發了學生從不同角度思考問題，發展思維的靈活性。

不同方法的呈現既促進學生同伴間的互相借鑒，又引發學生主動整理知識，自發完善結構體系。開放的問題設計，有利于面向全體，讓每個層次的學生都有參與的可能，都有參與的空間，思考的空間，提升的空間。

4.轉化化歸，回歸本質

巧妙利用問題串在知識的橫向聯系和知識體系的縱向聯系中引導學生去體驗感受。尤其是知識的縱向聯系上，筆者通過活動3，活動4讓學生充分感受特殊平行四邊形的定量探究問題是通過轉化為三角形，遷移應用三角形知識來解決問題。模型思想、分類討論、轉化化歸思想、方程思想等數學思想方法的歸納總結，幫助學生有效提升數學學科素養。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]義務教育數學課程標準（2011版）.

[2]陳鋒，薛鶯認知引領關聯探究重構拓展——單元整體復習課的備課經歷和思考中學數學參考（中旬）2019（6）.