球坐標換元法的應用探究

湖南省懷化市湖天中學 宋林潔 418000

湖南省會同縣第一中學 于先金 418300

普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修4-4《坐標系與參數方程》（人教A版）介紹了球坐標，空間中點P的直角坐標(x，y，z)與球坐標(r，φ，θ)之間的變換關系為：若x2+y2+z2=r2(r≥0)，則有

其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特別地，當點P在第一卦限，即當x＞0，y＞0，z＞0時，有

對球坐標換元公式①的應用，往往被我們所忽視，其實若能恰當運用這一換元公式，并結合三角恒等變形等，對一些三元問題的解答會顯得新穎，別具一格，耐人尋味.

1 最值問題

例1（2015年福建高考理科第21（3）題）已知a，b，c＞0，函數f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(Ⅰ)求a+b+c的值；(Ⅱ)求的最小值.

此時a=4sin2φcos2θ=(1-cos2φ)?(1+cos2θ)

例2 （2009年高中數學聯賽浙江預賽）若x，y，z均為實數，且x2+y2+z2=1，則最大值為____.

解：因為x,z,y均為實數，且x2+z2+y2=1，由公式①得x=sinφcosθ，z=sinφsinθ,y=cosφ，其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.所以立.故2xy+yz的最大值

此時a=4sin2φcos2θ=(1-cos2φ)?(1+cos2θ)

解：因為x,z,y均為實數，且x2+z2+y2=1，由公式①得x=sinφcosθ，z=sinφsinθ,y=cosφ，其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.所以立.故2xy+yz的最大值

2 范圍問題

綜上可知，x2+y2+z2的取值范圍為

解法2：（從條件出發球坐標換元）由x＞0，y＞0，z＞0且x+2y+3z=1，可令

3 證明不等式

例4（2013年高考新課標Ⅱ卷第23題）設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：ab+bc+ca

證明：因為a+b+c=1，所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1.顯然欲證ab+bc+ca只需證

設a2+b2+c2=r2（r＞0），由公式①得a=rsinφcosθ，b=rsinφsinθ，c=rcosφ，其中0＜φ，θ＜.代入a+b+c=1得=sinφcosθ+sinφsinθ+cosφ=2sinφsin(θ+取等號.所以.所以ab+bc+

3個變量的最值、取值范圍、不等式證明等問題是近幾年高考和競賽的熱點之一，根據x2+y2+z2=r2這一結構特征，若用球坐標換元公式①，則可將3個變量的問題轉化為2個變量的三角問題，再將其中一個變量視為主元，通過三角恒等變形和不等式放縮等技巧，將2個變量的三角問題進一步轉化為單變量的三角問題來解決，整個過程雖然運算量較大，方法不一定最簡潔，但規律性、可操作性強，對問題本身的解法探究，對學生邏輯思維、計算等能力的培養是大有益處的.

以下問題，可供讀者思考：

1.（2013年湖南高考理科第10題）設a，b，c∈R，且滿足a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為____（.答案：12）

2.已知正數x,y,z滿足x2+2y2+z2=1,則的最大值為____（.答案：

3.已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求a2+b2+c2的取值范圍.（答案