基于幾何級數展開的鬼波壓制方法?

陳寶書 吳 玉 陶 杰 管西竹 劉春城 符力耘

(1 中海油研究總院有限責任公司 北京 100028)

(2 中國科學院油氣資源研究重點實驗室 中國科學院地質與地球物理研究所 北京 100029)

(3 中國石油大學(華東)地球科學與技術學院 青島 266580)

0 引言

隨著海上油氣勘探開發(fā)難度的增加，地質、地球物理學家對地震資料的品質要求越來越高。常規(guī)的地震資料處理流程已經不能滿足日益增長的對地震資料品質的要求。地震資料的頻帶寬度和地震資料的分辨率直接相關，高分辨率的地震數據對后續(xù)的構造精確解釋、儲層準確描述具有重要影響。因此，寬頻處理技術是當前地震處理流程非常重要的一環(huán)。對于海上拖纜數據，因為海平面是一個強反射界面(反射系數接近?1)，上行的反射波(一次波)在海平面發(fā)生向下反射(鬼波)，上行波和下行鬼波疊加在一起，降低了地震資料的分辨率。為了恢復寬頻的上行波，需要把下行鬼波的干涉去掉，這項技術被稱為鬼波壓制。

近些年來，發(fā)展了很多鬼波壓制的技術和方法，主要可以分為兩大類：(1)與采集技術相關，通過特定的觀測系統(tǒng)設計達到有效壓制鬼波的目的，主要包括上下纜[1]、變深度纜[2?4]、雙檢波器[5]；(2)基于處理技術的方法，基于鏡像道集和聯(lián)合反褶積的鬼波壓制方法[2]、基于自舉法確定鬼波參數的方法[6?7]、基于波動方程的鬼波壓制方法[8?9]。

在Radon 域通過求解一個最小二乘問題可以消除虛反射產生的鬼波[10]。對含鬼波的地震數據進行兩次波場外推延拓，對延拓結果進行求和及閾值截斷處理，可以達到去除鬼波的目的[11]。通過波動方程延拓，把鬼波壓制看作一個反演問題，通過反問題的求解可以得到只包含上行波的地震記錄[12]。基于格林函數理論的鬼波壓制方法完全基于地震數據驅動，無需任何地下介質信息，適用于各種復雜的海洋地形和地質情況[13?14]。針對上下纜數據，可以通過上下纜地震波場的波動方程法合并有效解耦鬼波干涉，實現(xiàn)綜合利用上下纜地震數據壓制鬼波[15]。

目前這些鬼波技術還存在一些問題和限制，基于特定觀測系統(tǒng)的鬼波技術通常在平纜數據上不能得到很好的結果，但是目前常規(guī)采集的拖纜數據很大一部分是平纜采集，這部分資料的潛力還有待挖掘。基于處理技術的鬼波壓制方案，因為鬼波算子在陷波頻率附近接近于0 (上行波和下行波剛好抵消)，直接對算子求逆，存在數值不穩(wěn)定的問題，即使采取一些技術手段來規(guī)避這個問題，如基于波動方程的鬼波壓制技術[8]因為在時空域進行鬼波壓制，可有效解決穩(wěn)定性問題，但是在時空域求解波動方程通常計算量比較大。為了同時解決穩(wěn)定性和計算效率的問題，本文提出一種在頻率波數(FK)域進行波動方程延拓壓制鬼波的技術。該技術首先對逆鬼波算子進行幾何級數展開，解決逆鬼波算子的穩(wěn)定性問題，然后在FK 域進行波動方程延拓，解決計算效率的問題。

1 方法原理

1.1 鬼波算子

簡單而不失一般性，假設如圖1 所示的簡單模型，下行的入射波場從震源出發(fā)，在海底發(fā)生反射向上傳播被檢波器接收(一次波：藍線)，因為海平面的存在，上行的反射波(一次波)被海平面反射后(下行波)被檢波器接收(鬼波：紅線)，因為鬼波的干涉作用，導致接收的波場存在陷波效應：某些頻率的能量為0，這是由一次波和鬼波剛好反相疊加導致的。

圖1 一次波和鬼波的傳播路徑Fig.1 Raypath of primary and ghost wavefield

假設海平面的反射系數等于?1，纜深為zr，在FK域鬼波算子可以表示為[16]

鬼波算子是一個二維時空域TX 褶積算子(三維對應TXY 域褶積)[17]，因此其逆算子(反褶積算子)可以在TX 域進行，也可以在FK 域進行。因為可以借助快速傅里葉變換(FFT)進行快速計算，因此FK域方法在計算效率上有優(yōu)勢。

圖2 鬼波算子在FK 域和在TX 域的響應Fig.2 Ghost operator in FK domain and TX domain

1.2 基于幾何級數展開的逆鬼波算子

1.2.1 常規(guī)FK域鬼波壓制算子

滿足模型假設的前提下，如果準確知道纜深數據，逆鬼波算子可以表示為[17]

公式(2)在陷波頻率下存在奇異性(G算子在陷波頻率處等于0，見圖2)，直接求逆存在數值不穩(wěn)定問題。為了解決這個問題，可以把鬼波壓制問題看作一個最小二乘反演問題：

其中，p表示一次波數據，d表示含鬼波的地震數據，R是正則化算子，目的是對一次波數據進行某種約束，使得公式(3)具有唯一解，μ是正則化參數。通常R算子取為p的二范數，這時公式(3)對應的形式解為

其中，I表示單位算子。公式(4)可以得到一個穩(wěn)定的鬼波壓制結果，但是在陷波頻率處的能量并沒有補償，這個不難理解：在陷波點，地震數據d的能量等于0，在不引入先驗信息的情況下，不可能恢復已經丟失的信息。下面通過一個簡單的數值算例說明這一點。設計一個簡單的一維算例，纜深等于25 m，合成的含鬼波記錄及其頻譜見圖3(a)，從頻譜上可以看到陷波效應，因為鬼波的存在，導致地震信號的有效頻帶變窄，圖3(b)是根據公式(4)壓制鬼波以后的結果，可以從頻譜上看出，陷波頻率處的信號能量沒有得到補償，導致波形出現(xiàn)了擾動。為了解決這個問題，回到逆鬼波算子式(2)，對其進行幾何級數展開。

圖3 一維鬼波壓制算例Fig.3 1D deghosting example

1.2.2 基于幾何級數展開的逆鬼波算子

針對逆鬼波算子式(2)，可以對其進行幾何級數展開[17]：

公式(5)目前還沒有消除奇異性，因為需要對無窮多項求和。為了解決這個問題，需要對公式(5)進行分析，明確每一項的含義。第一項是單位算子，第二項表示一個波場延拓算子。

以圖3 為例，前兩項和前三項之和見圖4，從圖4 可以看出，隨著式(5)每一項的加入，鬼波和一次波分得越來越開，當加到無窮多項時，一次波和鬼波距離無限遠，通過截取序列前面部分數據，把鬼波丟掉，可以得到只含一次波的數據。

圖4 一維算例(圖3)公式(5)前兩項和與前三項和Fig.4 1D deghosting example of Equation (5):sum of two terms and three terms

一個簡單的方法：對地震數據在時間方向進行補0，d(t)從nt長度變?yōu)?×nt長度，截取公式(5)有限項進行疊加，對得到的結果只取前nt個采樣點，可以得到壓制鬼波的記錄p(t)。對于圖3的一維算例，采用公式(5)進行鬼波壓制，結果見圖5。從頻譜上可以看出陷波頻率處的能量得到了很好的補償，公式(5)通過波場延拓的方式不斷地預測鬼波，然后把鬼波從記錄中減掉，這樣可以完全恢復一次波的信號。

圖5 一維算例公式(5)壓制鬼波結果Fig.5 1D deghosting example of Equation (5):final outcome

2 數值算例

為了進一步驗證本文方法的正確性，首先設計了一個簡單的層狀介質模型(圖6)，網格間距為6.25 m×6.25 m，震源子波是主頻50 Hz 的高斯子波，纜深25 m，纜長4000 m，最小偏移距200 m，震源位置(x,z)為(50 m,6.25 m)，時間采樣步長0.25 ms，記錄長度3.5 s。

圖7(a)是不含鬼波的理想數據，是鬼波壓制的目標；圖7(b)是含鬼波數據，從其FK 譜上可以看到明顯的陷波效應(圖中黑色箭頭所示)。壓制鬼波算法的目的是對陷波頻率處的波場能量進行有效恢復。

首先對圖7(b)的數據利用公式(5)進行鬼波壓制處理，得到的結果見圖8。通過與理想的不含鬼波記錄的相比較，肉眼幾乎看不出差別，這個簡單算例表明算法的有效性。

為了驗證算法對復雜模型的適用性，本文設計了一個復雜的起伏海底模型(圖9)，網格間距為6.25 m×6.25 m，震源子波是主頻50 Hz 的高斯子波，纜深25 m，纜長2500 m，最小偏移距200 m，震源位置(x,z)為(50 m,6.25 m)，時間采樣步長0.25 ms，記錄長度3.5 s。

圖10(a)是不含鬼波的理想數據；圖10(b)是含鬼波數據，從其FK 譜上可以看到明顯的陷波效應。為了測試本文方法對復雜模型的適用性，對圖10(b)的數據利用公式(5)進行鬼波壓制處理，得到的結果見圖11。通過與不含鬼波記錄的圖10(a)比較，可以看出本文方法壓制鬼波的有效性。

圖7 不含鬼波的理想數據和含鬼波數據及其FK 譜Fig.7 Seismic data without and with ghost

圖8 圖7(b)數據利用公式(5)壓制鬼波以后結果Fig.8 Deghosting outcome of Equation (5)for seismic data with ghost

圖9 起伏海底模型Fig.9 Velocity model of fluctuating seabed

為了驗證本文方法在實際資料上的效果，選取了某海上實際拖纜數據，拖纜長度為6 km，共有480道檢波器，檢波器間隔12.5 m；時間采樣間隔2 ms，采樣點數6144；拖纜沉放深度20 m。圖12(a)為實際采樣的共炮點道集數據。對實際數據進行頻譜分析，見圖13(a)，可以看到明顯的陷波效應。利用公式(5)對實際數據進行鬼波壓制，結果見圖12(b)，相比實際數據，鬼波明顯被壓制。從對圖12(b)進行頻譜分析，見圖13(b)，可以看到陷波點能量得到了有效補償。通過波形和頻譜的對比，可以驗證本文方法對實際數據的有效性。

圖10 不含鬼波的理想數據和含鬼波數據及其FK 譜Fig.10 Seismic data without and with ghost

圖11 鬼波壓制結果及其FK 譜Fig.11 Deghosting outcome of Equation (5)for seismic data with ghost

圖12 實際資料及其壓制鬼波以后結果Fig.12 Real seismic data and deghosting outcome

圖13 實際資料及其壓制鬼波以后結果：頻譜Fig.13 Real seismic data and deghosting outcome:spectrum

3 結論

本文提出了一種基于逆鬼波算子幾何級數展開的壓制鬼波方法，該方法結合了波動方程壓制鬼波算法和FK 波場延拓技術的優(yōu)勢：通過級數截斷克服逆鬼波算子的奇異性問題，利用FFT實現(xiàn)波場的快速延拓。二者優(yōu)勢的結合使得該算法具有精度高、計算耗時短的特點，數值算例表明了本文方法的有效性。

與常規(guī)的基于反演的迭代類算法相比，本文方法不用確定正則化參數，只要知道纜深數據就可以計算，減少了參數調試的時間。