基于歸一化Katz維數差的簡支梁損傷定位研究

(榆林公路管理局 陜西 榆林 719000)

近年來，各種分形維數如盒維數、自相似維數、信息維數以及關聯維數已經被廣泛地運用于結構的損傷診斷中。同時越來越多的人將分形位數用于橋梁結構的損傷診斷當中。分形維數既可以對系統狀態進行整體刻畫，又不依賴于系統的數學模型，基于分形理論的橋梁結構損傷診斷使得判斷結構損傷診斷較為容易。

一、Katz維數

文獻[1]提出了一種估計波形的分形維數方法，也被叫做Katz維數[2][3][4]。Katz維數由于其對噪音的不敏感性常常被國內外研究人員所采用，曲線的分形維數(Fractal dimension)近似定義為：

(2.13)

其中d為曲線上第一個點與曲線內第i個點距離的最大值，可表示為d=maxdist(1,i)。L是曲線內線段總長度,n是滑動窗內的總樣本數，定義為n=L/l。l為兩相鄰測點的平均距離(平均步長)。如圖所示以(x3,y3)為中心，滑動窗含有4個樣本距為例，求目標參數L,d。各參數已在圖中梁段表示出來，以(x3,y3)為中心含4個樣本距滑動窗L,d的計算公式為

(2.14)

(2.15)

圖2-6 以(x3,y3)為中心含4個樣本距滑動窗

顯然，當滑動窗的樣本距離數確定后，分形維數只與d/L的大小有關。Katz維數公式簡單，計算方便快捷，對曲線的變化敏感，大量研究表明，Katz維數尤為適用于波動類曲線的計算。

L.J.Hadjileontiadisa等人提出的方法步驟為先在梁上建立一個滑動窗，窗內有若干個樣本距離的滑動窗，使滑動窗沿梁的第一階振型不斷向后滑動，每次滑動的距離為一個樣本距離，計算窗內的分形維數值，滑動了多少次便得到了多少個分形維數，通過結構上的分形維數分布進行分析，圖像發生突變的地方就是結構可能產生損傷的位置，簡稱為FDCD方法。

本文利用歸一化損傷前后的Katz維數差進行簡支梁的損傷定位。

線性歸一化可設振動振型的豎向位移為y，振型中最大最小豎向位移分別是ymax和ymin歸一化后振型數據為y*，振型歸一化的方法如式：

二、有限元模型及損傷定位

采用長a=2m,寬b=0.24m,高c=0.05m，密度、彈性模量和泊松比分別為8000kg/m3，200GPa，0.25的簡支梁模型進行歸一化Katz維數差的損傷診斷有限元分析，利用剛度的折減來模擬損傷。如圖

圖1 存在損傷的簡支梁

分析時將全梁分為200個梁單元，每個單元長1cm。首先選定樣本距離為dx，并建立包含n(偶數)個樣本距離的滑動窗，n為偶數的原因是可以使滑動窗內的Katz維數落在其樣本點上，取n=2,樣本距離dx分別取1,5,8cm。損傷工況在x=0.2～0.25m處發生損傷，剛度變為原來的0.8。繪制損傷后分形維數圖2(a)(b)(c)。

(a)dx=1cm (b)dx=5cm (c)dx=8cm

從圖中可以看出，Katz維數差均在損傷處達到了最大值，說明用Katz維數差取定位損傷是有可行性的，同時，樣本距離相對較小的歸一化Katz維數差對損傷的識別越明顯。

通過建模基于歸一化Katz維數差對簡支梁的損傷定位，可以得出以下結論:

1.利用歸一化Katz維數差可以在選定的樣本距離和樣本數下，對簡支梁單損傷進行定位。

2.在采樣數n確定的情況下，采樣距離較短時對損傷更加敏感。