點·線·網式分析攻克應用問題

王芳

【摘要】數學知識的學習方方面面都滲透著應用題教學，解決應用問題是考查學生能否運用所學數學知識解決實際問題的基本內容和重要途徑.部分學生和教師在應用題的學習和教學中都存在著困惑，本文以北師大版七年級教材部分習題為例，闡述了初中數學應用題教學的六點實踐策略，結合設計的應用題分析細項表格，引領學生以以點連線、以線結網的方式對典型例題進行點·線·網式分析，滲透著學生文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉換能力，提升學生的數學建模能力.教師引導學生開展一連串環環相扣、由淺入深的探索，學習數學思維的方式方法，發展數學能力，才是學習數學的根本所在.

【關鍵詞】等量關系;策略;點·線·網式分析

杜威指出：“學習就是要學會思維”“教育在理智方面的任務是形成清醒的、細心的、透徹的思維習慣”.[1]郅庭瑾也指出：“只有學會思維，學會創造性的思維才是最核心和最首要的”.[2]應用題學習貫穿于學生中小學階段的各個知識板塊，有效考查了學生的數學綜合素養，但往往在此部分的學習中，學生總有霧里看花之感，本文記錄了筆者在教學實踐中對應用題教學的思考與感悟，與同仁分享，以期拋磚引玉.

一、初中數學應用題教學的意義

著名的荷蘭數學教育家佛賴登塔爾說過：“與其說學習數學，倒不如說‘數學化”.數學知識的學習方方面面都滲透著應用題教學，解決應用問題是考查學生能否運用所學數學知識解決實際問題的基本內容和重要途徑，學生需將多個數學知識點和一些簡單的科技知識聯系起來，將眾多實際問題“數學化”.而“方程”就是刻畫現實世界數量關系的一種重要的數學模型，亦是初中“數與代數”領域的核心內容之一.學生解決應用問題的過程，其實就是一個簡單的數學建模的過程，通過解決數學應用問題，學生可以綜合應用所學的數學知識，從而幫助他們發展抽象、概括等基本數學能力，積累提取信息、建立模型、驗證結果等基本數學活動經驗，進一步感受數學在生產、生活中的作用和價值.

二、初中數學應用題教學實踐中存在的問題

從學生方面來說，存在的問題主要是學生綜合運用知識的能力欠缺，這里不僅包括數學知識本身，還包括語文等其他學科的知識.語文知識不足，導致學生不能正確理解應用問題的文本所含的語義，從而不能夠提取出有價值的數學信息進行整合;數學知識不夠，導致他們不能夠用數學的符號語言來概括、表達題目中的數學關系;生活常識、其他學科知識薄弱，導致他們不能夠充分理解題目背景中所含有的意味，從而造成信息的缺失.從教師方面來說，存在的主要問題是教師對應用題的教學方法研究不充分，在對應用題進行分析時，對其中的思想方法研究不透徹，不能進行思想方法的歸納、總結與提升，經常就題論題，從而導致學生上課能聽懂，下課不會做，更使個別學生放棄對應用題的學習.

三、初中數學應用題教學的實踐策略

七年級是整個中學學習的起始，一元一次方程是七年級數學中非常重要的內容，一元一次方程的學習是后續所有方程及函數部分學習的基礎，始終以轉化思想作為主線貫穿其中，學習中體會數學建模的意義與方法是教師帶領學生開啟實踐應用之門的金鑰匙.以下以北師大版七年級數學上冊第五章“一元一次方程”相關例題、習題為例，探討如何幫助學生正確理解題意，理清多種數量間的關聯，在繁雜的語言敘述中找到等量關系，從而利用方程解決問題.

對每個實際問題的分析，我們都可用以點連線，以線結網的方式，引導學生理解題意，選擇科學合理的方式、方法，將問題“數學化”，具體操作可以從以下幾方面開展：

1.牢記所學的周長、面積、體積等公式，利用公式找等量關系.

例1? 墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖實線所示（單位：厘米）.小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如圖虛線所示.小穎所釘長方形的長、寬各是多少厘米？（北師大版《七年級數學（上）》142頁練習）

在彩繩由梯形變為長方形的過程中，雖然形狀變了，但周長不變，可得等量關系：梯形周長=長方形周長，從而利用周長公式，列方程解決問題.

2.熟悉常見的數量關系，根據數量間的關系尋找等量關系.

如距離問題（包含相遇問題或追及問題）、工程問題、利潤問題、配料問題、增長率問題、航行問題等，學生首先要看清題目屬于哪類問題，頭腦中應形成解答此類問題所需要的內容條件，相關數量間的數學關系，帶著必要的知識儲備解答問題.在同一題目中的幾個等量關系中，深入分析未知量之間的內在關聯，選擇某些等量關系，用含一個未知量的代數式表示其他未知量，找準一個等量關系用以列方程.當然這就需要教師在教學這些問題時，要引導學生對問題中包含的重要的等量關系進行概括、梳理、總結，以成為后續學習的知識基礎.

例2? 一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以八折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？（北師大版《七年級數學（上）》145頁例題）

引導學生做如下分析：本題中出現成本價、標價、實際售價、利潤多個量，而這幾個量之間有什么關聯呢？成本價×（1+40%）=標價? ①，標價×80%=實際售價? ②，實際售價-成本價=利潤15元? ③，引導學生找到這三個關系后，發現關系①②中都含有多個未知量，但它們最終都指向了成本價這一未知量，實際售價=（1+40%）×成本價×80%，而將其代入關系③中，發現（1+40%）×成本價×80%-成本價=15，而這恰是含有同一個未知量和已知量的等式，它必是列方程的基本關系，所以可以設成本價為x元，用等量關系①②表示其他的未知量，用等量關系③列方程、求解.

3.辨析題中的關鍵字詞，依照關鍵字詞的提示尋找等量關系.

問題中反映數量間的和差關系、倍數關系，敘述中常有如下的提示：“一共有……”“……比……多（少）……”“……是……的幾倍（幾分之幾）”“……比……的幾倍多（或少）……”.我們可以由這些關鍵字詞找等量關系，由等量關系間的內在聯系設置合理的未知數，列方程.

例3? 某文藝團體為“希望工程”募捐組織了一場義演，成人票8元，學生票5元，共售出1 000張票，籌得票款6 950元，成人票與學生票各售出多少張？（北師大版《七年級數學（上）》147頁例題）

學生發現“共售出1 000張票，籌得票款6 950元”是關鍵語句，教師應通過以下問題來引導學生進行思考：“共”說明1 000張票包括哪幾種不同的票？“票款6 950元”又是哪幾種票款的和？歸納如下等量關系：成人票數+學生票數=1 000張? ①，成人票款+學生票款=6 950元? ②，8×成人票數=成人票款? ③，5×學生票數=學生票款? ④.根據上述4個等量關系，引導學生討論如何設未知數，利用哪幾個等量關系，表示其余的未知量，找準一個等量關系列方程，學生通過思考，可以得到以下三種不同解法.

解法一：設售出x張學生票，則有

5x+8（1 000-x）=6 950;

解法二：設所得學生票款y元，則有

y5+6 950-y8=1 000;

解法三：設售出學生票a張，成人票b張，則a+b=1 000，5a+8b=6 950.

學生在交流各自設未知數解決問題的不同方法時，發現設未知數的方法不同，方程的復雜程度也不同，因此，在設未知數時要有所選擇.通過這樣的活動引導，學生進一步積累了解決應用題的活動經驗.

4.挖掘題目中隱含的信息，根據隱含條件找等量關系.

引導學生對題目中出現的已知量、未知量開展關聯研究，通過讀題、析題，讓學生明白與找到的數量相關聯的未知量有哪些，而這些隱含在題目中的數量間存在的等量關系是解決問題的關鍵所在.

例4? 小剛和小強騎自行車去郊外游玩，事先決定早晨8：00從家里出發，預計每小時騎7.5千米，上午10：00可到達目的地.出發前他們又決定上午9：00到達目的地，那么每小時要騎行多少千米？（北師大版《七年級數學（上）》153頁習題）

分析? 若8：00出發，10：00到達，則用時2小時，又知原計劃每小時騎7.5千米，可得路程為（10-8）×7.5千米，實際9：00到達，則用時1小時.在這一過程中雖然用時縮短，速度加快，但不變的量是距離，這里隱含了距離不變這一重要的條件，因此，利用原計劃用時×原計劃速度=實際用時×實際速度，列方程解決問題.

5.借助線段圖，幫助分析等量關系.

在解方程中也有數形結合的思想，對行程問題，僅從字面意思理解，學生會感到較為抽象，教師教會學生畫線段圖進行分析，就容易很多.

例5? 小明每天早上要在7：50之前趕到距家1 000米的學校上學.一天，小明以80米/分的速度出發，5分后，小明的爸爸發現他忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長時間？（北師大版《七年級數學（上）》150頁例題）

在教學中，教師應先畫出以下線段圖，通過圖形，學生能夠清楚、直觀地發現，此問題中爸爸追上小明時他們所走路程相等，小明5分鐘后所用的時間與爸爸追趕他所用時間相同，問題迎刃而解.設爸爸追上小明用了x分，利用以上關系，可知小明所用時間，再利用行程相等建立方程，問題得解.

6.應用題中數量關系較多，相互間關系復雜時，可以利用列表格的方法分析各個量之間的相互關系.

合理的表格可以清晰地整理出多個數量間的邏輯關聯，應用題教學中，教師要善于利用表格進行分析，教師應引導學生學習設計表格，嘗試讓學生自己列表分析，發展學生將實際問題中有關的特征信息進行篩選、加工為數學語言的能力.

例6? 星星果汁店中的A種果汁比B種果汁每杯貴1元，小彬和同學買了3杯B種果汁，2杯A種果汁，共花了16元.A種果汁、B種果汁每杯分別是多少元？（北師大版《七年級數學（上）》149頁習題）

題目中涉及多種數量，A種果汁的單價和杯數，B種果汁的單價和杯數，A種果汁比B種果汁每杯貴1元，共花了16元.可嘗試列表如下：

教師接著提問：A種果汁、B種果汁的單價間有什么關系？如何設未知數？有了表格作為有力幫手，學生很快分析出等量關系，列出方程2（x+1）+3x=16.

在上述六種策略中，尋找資料信息中的關鍵字詞，分析出的已知量、未知量是各個“點”，這些“點”由各類公式、數量關系式或隱含信息串成不同的“線”，“線”與“線”在數學思想方法的邏輯演繹下并成“網”.筆者設計了應用題分析細項表格，將各種解決問題的策略讓學生理解透徹，在實踐中體會數學化的過程.引領學生以以點連線、以線結網的方式對典型例題進行點·線·網式分析，滲透著學生文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉換能力，提升學生的數學建模能力.

以下展示學生填寫完整的表格，供參考.

問題類型追及、相遇問題

題目七年級一班列隊以每小時6千米的速度去甲地.小明從隊尾以每小時10千米的速度趕到隊伍的排頭后又以同樣的速度返回隊尾，一共用了7.5分鐘，求隊伍的長.

基于理解上的行動，才是最有效的學習行為.教師對現實材料的理解、鉆研與再創造，結合所教班級學生的實際學情，選擇貼切的教學方法和教學流程，才會使學生真正理解數學知識，感悟數學的理性精神，讓學生在具體活動中學會檢索、抽取數學信息，利用數學符號進行表達，形成抽象化、形式化的經驗，甄別不同數學模型，調整、加工、完善數學模型，由此對所得結果進行解釋和說明[3].教師引導學生開展一連串環環相扣、由淺入深的探索，學習數學思維的方式方法，發展數學能力，才是學習數學的根本所在.

【參考文獻】

[1]約翰·杜威.我們怎樣思維·經驗與教育[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005

[2]郅庭瑾.教會學生思維[M].北京：教育科學出版社，2001

[3]董林偉.從理解到行動：數學“四基”教學的若干思考[J].中學教學教學參考，2013（9），8-11.