對于學生接受定義的幾點思考

丘燁　張亮

【摘要】學生接受數學定義中的前提假設的困難，是教師在數學教學中遇到的問題，幫助學生解決接受假設上的認知困難也是教學的一個難點.本文就高中部分數學定義，利用數學史和問題驅動設計課堂引入部分.

【關鍵詞】接受假設;數學史;問題驅動

一、緒? 論

2015年何小亞和張敏在貝特朗悖論之爭的終結上提出：學生在學習幾何概率時肯定了假設前提的重要性，如果學生在學習幾何概型忽略了假設前提，會給后面的解題帶來困惑.高中的知識內容不僅僅體現在概率統計方面，還會在函數、代數等問題上有所體現.在數學歸納法問題上的假設條件如何用才能使得學生更容易接受，在數學建模過程中如何合理簡化模型假設，以此培養學生的創新思維能力.孫朝霞在函數問題上，從三角函數的兩個“假設”的角度談數學思維能力的培養，這是基于學生的經驗解決學生對這種前提假設的理解困難問題.類似這樣的基于解決學生在課堂上的困惑而進行的教學方法的探討有很多，這些論文都有一個共同的特點，就是提到的數學概念或原理中涉及了假設，而這些假設會引起學生的困惑.本文以此展開對這些問題的探討并給出自己覺得可行的策略.

二、借助數學歷史和文化滲透數學定義

數學的很多定義不是突然凌空出現的，而是通過數學的本質，或者是數學的應用背景，或是在數學文化傳播的過程中翻譯形成的.可以通過數學定義發展的歷史的視角，簡化該歷史的坎坷進程，去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里，抓住數學定義的重要元素并向學生呈現.

（一）高中函數的定義

高中函數的定義是高度抽象概括的，這是學生接受假設的認知困難表現出來的其中一方面.函數定義的發展是曲折的，不斷完善的.對于英文的fuction和中文的函數，在翻譯的過程中，一個凸顯函數功能，一個凸顯函數本質.在我國，函數的概念是由清朝的數學家李善蘭翻譯并傳播的.在古文中“函”是信件的意思，函數就是A，B兩個地域的“數”在相互通信的過程，兩個地域的人構成的集合分別稱為定義域和值域.那么這個寄信的過程，必須有寄信人（定義域的值）和寄信的方式（對應法則），才能成功地寄信，并且這個收信人是唯一的（值域中有唯一的值與其對應）.這樣，就可以把函數的三要素和一對一，多對一的原則講得比較風趣，也贊揚了我國數學家的翻譯功底，減少學生的抵觸心理.

（二）任意角的定義

在高中人教版教材中，用擰螺絲的情境引入任意角的定義，這種引入的有效性是有待商榷的.在三角函數應用的歷史中，一開始是用于航海學和天文學的，方便觀察日月的變化與季節的關系、與方位的關系，方便航海時定位及時間的記錄.但是這些相關知識，如果較真地深入研究，又是煩瑣和復雜的，這就需要簡化為比較原始的知識.那么地球繞太陽運動可以近視看成圓周運動，360天對應360°，逆時針旋轉30°是30天后，那么順時針旋轉30°就是30天前，記作-30°也很自然.那390°如何解釋？學生可以進行探究.

這些場景不僅可以解決任意角的問題，也給隨后的象限角和終邊相同的角賦予了具體背景.這讓學生不會有太大的抵觸心理，方便學生接受任意角這一定義的假設.

（三）虛數單位i的幾何意義

在學生接受“i2=1”之后，i的幾何意義又是什么？數與坐標軸是如何一一對應的？數的運算在幾何中又是如何表示的？在高中教學應該給出一個總結了.

虛數和復數的發展是從數學解方程的內部矛盾開始的，物理上的應用促進其發展.復數的形式與向量一樣，具有方向性及幾何意義，但一下子涉及了物理的知識，會將數學問題復雜地融入物理問題中，所以還是需要將物理情境簡單化，最好聯系學生已有的學習經驗.結合學生已有的經驗，設置以下問題進行驅動教學.

問題1：數在初中可以表示為數軸上的點，數的大小對應線段的長度.對應數的加法是線段的疊加，數的乘法是線段的伸縮.但是由于負數的出現，讓數有了正負號，對應線段也有了正反方向，這種正反方向表現為線段繞原點旋轉180°，例如，2×（-1）=-2.那么如何理解1×（-1）×（-1）=1？表示1旋轉了兩次180°，回到了1的位置.

問題2：那么“i×i=-1”應該如何找到i的位置？經過前面的鋪墊，學生很自然地想到1的位置旋轉90°成為i.

問題3：那如何表示-i？由此建立直角坐標系就可以表示有關i及i的倍數的數.利用平移還可以進一步解決復數的表示形式問題.

（四）單調性的定義

單調性中的“令x1x2，還有為什么要這樣“令”等問題，這讓學生不解.對于這個問題我們可以借助情境分類討論，得出同增異減的結論.

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.我們在用一次函數圖像引入上升和下降趨勢中，按照從左往右的方向看和從右往左的方向看的趨勢是不一樣的，但是本質是一樣的.例如，y=x的圖像，從左往右的方向看是上升的趨勢（類似上山），從右往左的方向看是下降的趨勢（類似下山），由此設置以下問題驅動.

問題1：如何來刻畫這樣的一種圖像所反映出來的特征呢？以此引出水平方向的變化量和豎直方向的變化量.

問題2：從左往右的方向看，x和y分別如何變化？

問題3：從右往左的方向看，x和y又分別如何變化呢，本質上是一樣的嗎？這個問題的設置凸顯了單調性定義的方向性.

問題4：單調遞減區間該如何定義？

數學的定義有一個漫長的演變過程，并非所有的概念都可以還原真實的歷史，需要教師通過合情的推理，模擬其產生和發展的過程.