數學概念教學的幾點經驗

陳星云

【摘要】教師在講授新課時，常常要引出數學概念，而學生對概念能否吃準、吃透直接關系到對整個知識點掌握的準確性和完整性，其中有兩種類型的概念是最令學生頭疼和易出錯的：① 帶有限制條件的概念;② 較為抽象的概念.就此，筆者在教學過程中總結以下五點經驗：

1.巧設疑慮，引出限制條件;

2.當學生對概念中的限制條件“麻木不仁”時，巧用“回馬槍”;

3.巧用身邊實例，化解學生對抽象數學概念的困惑;

4.注重概念還原，摸透符號含義;

5.當碰到易出錯的舊概念以另一形式重新出現時，及時變形鞏固.

【關鍵詞】數學概念;教學

學生進入高中后，學習的目的性和自覺性都有所提高，他們認真聽講，勤奮努力，但是有相當多的一部分學生的成績與他們付出的努力不成正比，有的甚至倒掛，造成這種現象的原因有多種，其中一點是一部分學生對數學概念的理解不透徹.

當教師在講授新課時，常常要引出數學概念，而學生對概念能否吃準、吃透直接關系到對整個知識點掌握的準確性和完整性，其中有兩種類型的概念是最令學生頭疼和易出錯的：① 帶有限制條件的概念，如對數函數，橢圓的定義等;② 較為抽象的概念，如曲線與方程，周期函數的定義等.就此，筆者在教學過程中總結以下五點經驗：

一、巧設疑慮，引出限制條件

對一個具有一定推理性的數學概念，學生從不希望教師照本宣科地引出，他們非常希望能知其所以然，這時，需要教師對其重點和難點的剖析下足功夫，然后在教學過程中針對學生的實際情況有意識地激疑、生疑和辨疑，從而準確地引出概念中的限制條件，這樣學生對概念的掌握也就自然而然了.如，在“雙曲線定義”的教學中，筆者首先讓學生復習橢圓的定義：在平面內到兩定點F1，F2的距離之和是常數（大于|F1F2|）的點P的軌跡是橢圓.然后把其中“和”改為“差的絕對值”，把括號里面內容刪掉，接著提問：在平面內到兩定點F1，F2的距離之差的絕對值是常數的點P的軌跡又是怎樣的曲線呢？通過幾何畫板演示，學生回答是雙曲線（此時他們一般未注意到限制條件），然后提出疑慮：

① 在平面內到兩定點F1，F2的距離之差的絕對值是常數的點的軌跡是否一定是雙曲線？我看不一定是.

這時教師對定義提出的疑慮令學生驚訝、疑惑，學生開始議論紛紛，他們一心想弄個明白，探個究竟，有的學生就會根據橢圓中的限制條件考慮到常數與|F1F2|的關系;有的學生會考慮到絕對值與零的關系等等.從而再提出疑慮：

② 如果常數為零，那么軌跡是雙曲線嗎？

學生結合圖形，討論并回答：軌跡是兩定點連線段F1F2的中垂線，此時，軌跡不是雙曲線.從而得出常數必須大于0.疑慮：是否所有大于0的常數都滿足？回答：要考慮常數與|F1F2|的關系.再次設疑：

③ 如果常數>|F1F2|呢？

學生結合圖形，根據三角形兩邊之差小于第三邊，回答：此時軌跡不存在.這時筆者再通過幾何畫板演示驗證這一結論，加深學生的理解.從而進一步設疑：

④ 如果常數=|F1F2|呢？

學生通過畫圖形，幾何畫板演示，得出：軌跡是直線F1F2上以F1，F2為起點的兩條射線F1P1，F2P2.

到此，學生已能得出雙曲線的定義中常數應是小于|F1F2|的正常數.即||PF1|-|PF2||=常數（常數∈（0，|F1F2|））.

就在學生感覺已掌握住了雙曲線的定義，要松一口氣時，筆者再次提出疑慮：

⑤ 為什么橢圓定義中無“絕對值”的要求，而雙曲線定義中有“絕對值”的要求？若將“絕對值”去掉呢？

學生通過討論及幾何畫板演示，發現：去掉絕對值后，軌跡只是雙曲線兩分支中的一支.

從而通過巧設疑慮，讓學生對雙曲線定義中的兩個限制條件① 差的絕對值、② 絕對值為小于|F1F2|的正常數有了深刻的認識，雙曲線的定義就能很好地被學生掌握了.

當然，巧設疑慮必須結合教學內容，針對學生實際情況，恰到好處才能達到掌握數學概念的效果，否則會使學生鉆牛角尖.

二、當學生對概念中的限制條件“麻木不仁”時，巧用“回馬槍”

這樣，通過“回馬槍”的應用，讓學生真正地重視概念中的限制條件.

三、巧用身邊實例，化解學生對抽象數學概念的困惑

在數學概念中，有一部分是具有較強的抽象性的，正因為它的抽象性，學生往往會覺得其“高高在上”，難以接受，這時若能把所學內容與他們的生活結合起來，找到數學問題的生活模型，就能幫他們理解概念的含義，消除對抽象概念的恐懼和困惑.如，在講授“曲線與方程的定義”時，有不少學生對“① 曲線上的點的坐標都是這個方程的解;② 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”感到困惑，感覺繞來繞去，糊里糊涂.這時教師可啟發學生到自己的生活實際中去尋找事例來加深對這一概念的理解，如，筆者會問高二（4）的學生：“今天304教室里的人都是高二（4）班的學生”和“今天高二（4）班的學生都在304教室里”這兩句話一樣嗎？能判斷真假嗎？學生回答：第一句為假，第二句為真.第一句應改為：今天304教室里的學生都是高二（4）班的學生.因為這個問題就在他們的身邊，學生比較好體會，接下來進一步引導：這兩句真的話有何區別？讓學生討論之后，教師歸納：第一句話“今天304教室里的學生都是高二（4）班的學生”即為304教室里的學生一個不落都是高二（4）班的學生（純粹性），即沒有一個不是，相當于：曲線上的點的坐標都是這個方程的解，說明曲線上的所有點都適合方程且毫無例外;而第二句話“今天高二（4）班的學生都在304教室里”即為其他地方沒有高二（4）班的學生，所有的學生都在這間教室里（完備性），相當于：以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，說明適合方程的所有點都在曲線上且毫無遺漏.通過實例，讓學生明了某條曲線與某個方程并非等價，正如304教室里的學生本與高二（4）班的學生并無掛鉤一樣，而要讓它們等價起來，必須滿足上述兩個條件，從而幫助學生弄清概念中兩句話的聯系與區別，解開困惑，得到對定義的切實理解.

只要教師、學生這樣堅持地在課堂、課后積極尋找生活中的實例來化抽象為形象，學生對數學概念的理解能力、解釋能力就會逐漸提高.

四、注重概念還原，摸透符號含義

學習數學，有個很明顯的特征，就是用適當的符號語言來表示文字語言，很多學生習慣了用符號語言，有時要用到符號或遇到用符號表示的題目時就會有一些思維定式了，甚至對有些內容覺得模棱兩可，似懂非懂，從而導致解錯題或不會解，對于這種情況，教師要引導學生注重數學概念的還原，養成及時還原的好習慣.如，在高一必修一第一章的一次測試中，有一道選擇題：

當時有相當多的一部分學生選B或D，選A的微乎其微，這是由于學生的思維定式以及對符號語言的含義不清楚導致的.他們只要一看到集合A、集合B，就想到集合與集合之間是包含關系，從而第一個就把A答案排除掉了，而對集合B={x|xA}是什么意思理解不清，此時對這個集合的文字語言進行還原就顯得尤為重要了，若學生能把集合B還原為：集合B是以所有集合A的子集作為元素的集合，那么問題就迎刃而解了.所以，在平時的教學中，筆者很重視符號語言與數學概念之間的嫻熟轉化.

五、當碰到易出錯的舊概念以另一形式重新出現時，及時變形鞏固

數學中常存在各體系之間的再次關聯，這時，對以往學生易出錯的舊概念，教師在引入相關新概念時，宜及時加以鞏固.如，學生在二次函數中已學習了應用判別式Δ=b2-4ac的前提是a≠0，但在實際應用中又經常遺漏對a與0關系的討論，所以在對必修一第三章函數零點定義的介紹總結后，筆者引出例題：已知函數f（x）=2mx2-x+12m有一個零點，求實數m的值.讓學生當堂解答，目的在于通過本例題，再次讓學生鞏固應用判別式Δ=b2-4ac的前提是a≠0，從而注意對m與0關系的討論.這樣，只要教師有意識地加以重視和鞏固，長此以往，學生就會條件反射似的牢牢掌握住各概念的相關注意點.

以上幾點是筆者在教學過程中所體會的，旨在想方設法引導學生對概念切實理解和掌握，使學生打好基礎.但數學的世界是深奧的，新課標改革下師生的互動也在發生著一系列的變化，故而筆者將進一步在教育崗位上進行摸索和探討，為全面提高學生素質，讓學生愛上數學、學好數學而不斷努力.

【參考文獻】

[1]羅碎海.橢圓定義的教學及問題[J].中學數學教學參考，2007（7）：7-8.

[2]楊金華，孫亞.回到定義——數學解題的一個重要方法[J].高中數學教與學，2004（5）：21-22.