三元函數的三次極限與混合極限

毛一波

【摘要】結合重極限和累次極限，給出了三元函數的混合極限概念，探討了混合極限與三次極限的區別與聯系.研究表明，三元函數的混合極限與三次極限之間沒有必然關系，但在一定條件下二者也存在著聯系.

【關鍵詞】三元函數;三次極限;混合極限.

【基金項目】重慶文理學院科研項目（三元函數的三重極限、三次極限與混合極限[Y2018SC34]重慶文理學院教改項目《數學分析》課程五位一體建設[190212]）資助.

由于自變量個數的增多，多變量函數相較于單變量函數來說，其極限有許多差異[1-3].如多變量函數不能研究單側極限，也沒有通過單調性來判斷多變量函數極限的方法，出現這種現象的主要原因在于其動點變化的路徑是任意的.此外，多變量函數的極限呈現出多樣性特點，如重極限與累次極限.現行的國內數學分析教材或高等數學教材在講解多變量函數極限時常以二元函數為例來介紹[4]，但當函數自變量的個數多于兩個時，多變量函數相對二元函數來講，其極限更為復雜.對三元函數u=f（x，y，z）來說，在考慮其極限時存在以下可能：先固定變量x，y，對變量z求極限后得到的極限函數 limz→z0f（x，y，z）=φ（x，y）為二元函數.此時φ（x，y）作為二元函數來講，既可以考慮二重極限 lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y），也可以考慮二次極限 limy→y0?limx→x0φ（x，y），從而出現了累次極限與重極限的混合情形，即混合極限 lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）.

在現有的文獻中，極少有文獻提出多變量函數的混合極限概念，混合極限與三次極限的關系也鮮有研究.從前面的分析可以理解，這種混合極限的提法是合理的，在一定條件下混合極限是可以存在的.如果把單變量函數的極限理解為是一重極限的話，那么三元函數的混合極限則可以理解為先進行一重極限再進行二重極限，或者先進行二重極限再進行一重極限.基于此，三元函數的混合極限及其與三次極限之間的區別和聯系是值得研究的課題.

一、三元函數的混合極限

定義1?設f（x，y，z）為定義在DR3上的三元函數，D在xOy面上的投影為Dxy，在z軸上的投影為Dz，即

Dxy={（x，y）|（x，y，z）∈D}，

Dz={z|（x，y，z）∈D}.

（x0，y0）和z0分別是Dxy和Dz的聚點.若對每一個（x，y）∈Dxy（（x，y）≠（x0，y0）），存在極限 limz→z0f（x，y，z），記為φ（x，y）=limz→z0f（x，y，z）.若還存在極限L=lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y），則稱該極限L為函數先對z（→z0），后對x，y（→（x0，y0））的混合極限，記為L=lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）.

類似地，也可以定義先進行二重極限，再進行一重極限的混合極限：limz→z0?lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）.根據極限順序的不同，三元函數的混合極限共有兩大類順序：先一（重極限）后二（重極限）、先二（重極限）后一（重極限）.比如，lim（x，z）→（x0，z0）?limy→y0f（x，y，z），limy→y0?lim（x，z）→（x0，z0）f（x，y，z）等情形.

二、三次極限與混合極限的區別

下面的例子表明，三次極限與混合極限之間是存在著區別的.

例1?混合極限存在，但三次極限不存在的情形.

設f（x，y，z）=zsin1x2+y2+xsin1y，則

lim（x，y）→（0，0）?limz→0f（x，y，z）=0，而 limz→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）不存在.

事實上，當（x，y）≠（0，0）時，limz→0zsin1x2+y2=0，所以 limz→0f（x，y，z）=xsin1y，再由xsin1y≤|x|≤|x2+y2|，知lim（x，y）→（0，0）xsin1y=0，所以lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）=0.

而當x≠0時，limy→0xsin1y不存在，從而 limx→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）不存在.

例2?三次極限存在，但混合極限不存在.

設f（x，y，z）=x2-y2x2+y2·sinzz，則當（x，y）≠（0，0）時，

limz→0x2-y2x2+y2·sinzz=x2-y2x2+y2.

當動點（x，y）沿直線y=kx趨于原點（0，0）時，lim（x，y）→（0，0）y=kxx2-y2x2+y2=1-k21+k2與k有關，

所以二重極限 lim（x，y）→（0，0）x2-y2x2+y2不存在，而

limx→0 limy→0x2-y2x2+y2=1， limy→0 limx→0x2-y2x2+y2=-1都存在，

從而 limx→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）=1， limy→0limx→0 limz→0f（x，y，z）=-1都存在，但 lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）不存在.

三、三重極限與混合極限的聯系

例2表明，三元函數的某兩個三次極限不等時，其混合極限不存在.這種情況是否具有普遍性呢？下述結論表明混合極限與三次極限在一定條件下存在著聯系.

定理1?若函數f（x，y，z）在點P0（x0，y0，z0）處存在混合極限 lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）與三次極限 limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z），則它們必相等.

證明?由定理條件，可設 limz→z0f（x，y，z）=φ（x，y），于是二重極限 lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y）和二次極限 limx→x0?limy→y0φ（x，y）都存在，由文獻[1]知， lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y）=limx→x0?limy→y0φ（x，y），即

lim（x，y）→（x0，y0）limz→z0f（x，y，z）=limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z）.

注1?定理1中，三次極限和混合極限在先求的一重極限是針對同一個變量進行的，如果不是同一個變量，則結論將不一定成立.

例3?設f（x，y，z）=x2-z2x2+z2·x2+y21+x2+y2-1，則

lim（x，y）→（0，0）limz→0f（x，y，z）=lim（x，y）→（0，0）x2+y21+x2+y2-1=2，

limz→0limy→0limx→0f（x，y，z）=-limz→0limy→0y21+y2-1=-2，

從而lim（x，y）→（0，0）limz→0f（x，y，z）和limz→0limy→0limx→0f（x，y，z）都存在，但并不相等.

由定理1可得到如下推論：

推論1?若函數f（x，y，z）在點P0（x0，y0，z0）處存在混合極限limz→z0lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）與三次極限limz→z0?limx→x0?limy→y0f（x，y，z），則它們必相等.

推論2?若三元函數f（x，y，z）的三次極限

limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z），limy→y0?limx→x0?limz→z0f（x，y，z）和混合極限 lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）都存在，則三者必然相等.

推論3?若三元函數f（x，y，z）的三次極限

limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z）和limy→y0?limx→x0?limz→z0f（x，y，z）都存在但不相等，則混合極限lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）必定不存在.

注2?推論3可以用來證明混合極限不存在.但要注意，由推論3的條件不能斷定 limz→z0?lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）是否存在.

四、結?論

多變量函數相對單變量函數來講，其極限種類更加多樣化、復雜化.類比二元函數的二次極限和二重極限，三元函數還可以引入混合極限.可以理解的是，如果函數的自變量個數越多，則混合極限的形式更多樣化.以四元函數為例，其混合極限可以是先進行一重極限再進行三重極限，或者是先進行二重極限，再進行二重極限等情況，所有情形可以有54種之多，但是它們都可以用三元函數為例進行理解.鑒于此，三元函數的混合極限為完善多元函數極限理論具有極好的借鑒意義.

【參考文獻】

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[4]華東師范大學數學系.數學分析（下冊）：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010：104-107.

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