假設檢驗中單邊檢驗和雙邊檢驗的區別解析

徐紅霞 范國良

【摘要】本文首先介紹三種最基本的假設檢驗，進而引出了容易引起學生混淆的假設檢驗，通過從不同角度進行分析，得出這種假設檢驗的判斷方法并將這種檢驗問題進行歸類，最后通過例題進行演示說明.

【關鍵詞】假設檢驗;拒絕域;顯著性水平;正態分布

【基金項目】國家自然科學基金（11401006）.

假設檢驗是推斷統計的內容之一，它是在一定的假設條件下，由樣本推斷總體的一種統計推斷方法.它可用來判斷樣本與樣本、樣本與總體的差異是由抽樣誤差引起的還是本質差別造成的.在實際應用中會遇到總體的分布函數完全未知或只知總體分布函數的形式但不知其參數的情形，為了得到總體的某些性質，人們會對總體的分布形式提出某些假設，然后利用樣本信息，對所提假設做出接受或拒絕的結論性判斷.假設檢驗的步驟依次是：（1）根據問題的需要對所要研究的總體做出某種假設，稱之為原假設，記作H0;（2）選取恰當的統計量，要使得在原假設H0成立的條件下，該統計量的分布為已知的;（3）給定顯著性水平α，確定拒絕域;（4）由樣本計算出檢驗統計量的值;（5）根據檢驗統計量的值是否落入拒絕域，做出拒絕或接受原假設H0的統計決策.需要說明的是，用樣本信息估計總體信息，其結論并非完全可靠，還需要進行進一步的檢驗.

眾所周知，正態分布是一種常用的分布，且應用普遍，關于它的兩個參數的假設檢驗問題是實際中經常遇到的問題，以下我們以單個正態總體N（μ，σ2）的參數檢驗為例.我們知道，關于均值μ可以提出如下幾種常見的假設檢驗問題[1]：

Ⅰ雙邊假設檢驗?H0：μ=μ0?vs?H1：μ≠μ0;

Ⅱ右邊假設檢驗?H0：μ≤μ0?vs?H1：μ>μ0;

Ⅲ左邊假設檢驗?H0：μ≥μ0?vs?H1：μ<μ0.

其中μ0表示某個已知數.

Ⅰ之所以稱為雙邊假設檢驗，是因為備擇假設H1分布在原假設H0的兩側，Ⅱ是備擇假設H1分布在原假設H0的右側，故Ⅱ稱作右邊假設檢驗;Ⅲ是備擇假設H1分布在原假設H0的左側，稱作左邊假設檢驗.在檢驗過程中，由于某些技術上的原因，H0與H1的地位是不平等的.客觀上，H0受到保護，故在處理具體問題時，通常把需要著重考查的、比較穩定的、保守的假設作為原假設.

我們在實際問題中會碰到如下關于均值μ的檢驗：

Ⅳ?H0：μ=μ0?vs?H1：μ>μ0.

此時，有兩個問題值得思考：（1）這種檢驗是右邊檢驗嗎？（2）如果看成雙邊檢驗，結論會變化嗎？下面我們從三個角度來分析（1）.假定σ2已知，且在原假設H0為真時，檢驗統計量服從標準正態分布.首先，按前面給出的雙邊和單邊檢驗的定義，由于Ⅳ的備擇假設分布在原假設的右邊，故Ⅳ應是右邊檢驗.其次，從直觀上來說，對檢驗Ⅳ，如果依據拒絕域W={u≥u1-α}做出拒絕原假設H0：μ=μ0的決定，則更應該拒絕H0：μ≤μ0.事實上，顯著性水平α的確定就是在μ≤μ0的范圍內最不容易拒絕的μ0點處計算得到的.故檢驗：

Ⅳ?H0：μ=μ0?vs?H1：μ>μ0

與檢驗：

Ⅱ?H0：μ≤μ0?vs?H1：μ>μ0

是等價的，即給定顯著性水平α，在犯第一類錯誤的概率不超過α的意義下，兩者的拒絕域相同，Ⅳ應是右邊檢驗.最后，檢驗問題Ⅳ與Ⅱ的備擇假設相同，且Ⅳ的原假設是Ⅱ的原假設的子集，由于此時u檢驗的勢函數是μ的單調增函數，檢驗問題Ⅳ的顯著性水平為α的檢驗與檢驗問題Ⅱ的顯著性水平為α的檢驗是相同的，故拒絕域也相同，Ⅳ應歸結為右邊檢驗Ⅱ.對于（2），如果將Ⅳ看成雙邊假設檢驗的話，則相當于擴大了拒絕域的范圍.

下面來看一個具體的例題，我們分別用右邊檢驗和雙邊檢驗來解決，看看結論會是怎樣一個結果.

例[2]?從一批鋼管抽取10根，測得其內徑（單位：mm）分別為：

100.36?100.31?99.99?100.11?100.64

100.85?99.42?99.91?99.35?100.10

設這批鋼管內徑服從正態分布N（μ，σ2），σ=0.5，試檢驗假設（α=0.05）：

H0：μ=100?vs?H1：μ>100.

解?（法一）由于備擇假設H1在原假設H0的右邊，故該假設檢驗是右邊假設檢驗.由于σ=0.5，采用u檢驗，拒絕域為{u≥u1-α}，檢驗統計量為u=x-μ0σn，α=0.05，查表知u0.95=1645，由樣本數據計算得x=100104，u=10（100.104-100）0.5≈0.6578，檢驗統計量未落入拒絕域，故接受原假設.

（法二）如果看成雙邊假設檢驗，即備擇假設H1是假設μ≠100的子集，其拒絕域為{|u|≥u1-α2}，檢驗統計量為u=x-μ0σn，α=0.05，查表知u0.975=1.96，經過計算得u=10（100.104-100）0.5≈0.6578，檢驗統計量未落入拒絕域，故接受原假設.

從該例題可以看出，即使將右邊假設檢驗看成雙邊假設檢驗，其結論也是一樣的.故碰到Ⅳ這種類型的假設檢驗，可歸入假設檢驗Ⅱ.

【參考文獻】

[1]陳振龍，陳宜治，龔小慶.概率論與數理統計[M].杭州：浙江工商大學出版社，2016.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.