古典概率計算中常見的錯誤分析

肖紅梅

【摘要】古典概率是概率學的重要組成部分，對古典概率的學習主要是關于它的計算問題，古典概型的計算問題在中學時期就已經出現.本文主要針對學生在古典概率計算中的易錯點，進行錯誤分析，找到學生出問題的地方，希望對學生在古典概率的學習上能夠有所幫助.

【關鍵詞】古典概率;樣本空間;等可能;隨機事件

高中教科書中關于概率計算的問題包括兩個部分，分別是古典概率與幾何概率.本文主要通過列舉實際的古典概率的計算問題，來對古典概率計算中常見的幾個錯誤進行具體分析.

一、古典概率的定義與公式

對古典概率，首先是在假設隨機現象所能發生的事件是有限的、互不相容的，并且是在每個基本事件發生的可能性相等的前提下進行的.事實上，古典概率的假想世界是不存在的.一般地，設在所有可能出現的基本事件范圍內構成事件A的基本事件有N（A）個，總的基本事件個數是M，則出現事件A的概率是P（A）=N（A）M，這就是古典概率的計算公式，接下來我們通過幾道經典的習題來分析一下學生常常出錯的地方.

二、樣本空間的選擇錯誤

（一）基本事件數與基本事件總數不屬于同一樣本空間

在古典概率的計算公式P（A）=N（A）M中，N（A），M分別是一個樣本空間中的事件A所含的基本事件數與基本事件總數，公式要求構成A的基本事件個數N（A）與基本事件總數M要屬于同一個樣本空間，如果N（A），M在兩個不同的樣本空間，那么就會產生錯誤，為了便于我們的理解，來看下面兩道例題.

例1?某商店有24只燈泡，其中有4只是劣品，其余燈泡均可以正常發光，商店老板在這些燈泡中每次任取1只，取完后不放回，連續取3次，問取出的燈泡中恰好有一個是劣品的概率P（A）.

錯解分析?情況一：因為燈泡是一個一個取出來的，所以所有可能的取法與3次取得的順序是有關聯的，所以總的樣本空間為Ω1=P324，由此就得到了錯誤答案：P（A）=C14C220P324.

情況二：因為求的是取出來的3只燈泡中只有1只是劣品的概率，而不關心是哪一次取出來的，所以就沒有順序問題，總的樣本空間為Ω2=C324，由此得到錯誤答案P（A）=P13（C14C220）C324.

此題的樣本空間有兩種取法，分別是有序與無序.產生這兩種錯誤情況的原因是分子與分母分別在兩個不同的樣本空間中，也就是分子與分母的計算方法不同，導致出錯.

正確解答?此題的正確答案為P（A）=P13（C14C220）P324（有序）或P（A）=C14C220C324（無序）.

（二）樣本空間中的樣本點不是等可能的

古典概率的定義規定了古典概率要在假設事件發生的結果是有限的、等可能的前提下進行的，如果忽略這一點就會得到錯誤答案.所以學生在做題時一定要注意，所選擇的樣本空間的樣本點一定是等可能的.

例2?某人一次擲兩個骰子，求此人擲出的骰子數之和是偶數的概率P（A）.

錯解分析?學生可能認為一次試驗后所有可能的結果有三種，分別是骰子數全部是奇數、全部是偶數和一奇一偶，由此得到錯解P（A）=23.事實上，骰子數全為奇數、全為偶數和一奇一偶三種基本事件發生不是等可能的，全為奇數和全為偶數的概率都是14，而出現一奇一偶的概率是12，不符合古典概率的假設條件，所以就不能再運用古典概率的公式來解答，因此，導致出現錯誤.

正確解答?記（a，b）為一次擲兩個骰子的結果，其中a代表第一個骰子出現的點數，b代表第二個骰子出現的點數，a或b可取的值為1，2，…，6，所以基本事件空間為6×6=36，事件A所包含的基本事件數為3×3+3×3=18，由此所求概率P（A）=1836=12.

三、常用的術語理解錯誤

學生在學習古典概率問題時，經常會遇到“至多”“至少”“不少于”“不超過”“都”“不都”“都不”“才是”等術語，這些詞都是解決問題的關鍵，只有正確地把握住這些詞的語境，才能將題目做正確.

例3?口袋中一共有10個球，其中白球8個，黑球2個，從中依次不放回地取出3個球，求第三個球是黑球的概率P（A）.

錯解分析?通過審題可以知道要從口袋中依次不放回地取出3個球，所以與取球的先后順序有關聯，因此，總的事件空間為M=P310，但如果不能很好地理解此題中的關鍵詞，就很容易理解成就第三個球是黑球，導致出錯，得到錯誤答案P（A）=C12P28P310.

正確答案?第三個球是黑球的取法有C12種，而第一、二個球要從剩下的9個球中去取，所以可能的取法有P29種，因此，得到正確答案P（A）=C12P29P310.

四、概念混淆錯誤

學生在剛接觸概率時，常常會把“頻率”當作“概率”來進行計算，導致出錯.頻率是在多次試驗中某一事件出現的次數與試驗總數的比值，概率是某一事件所固有的性質.頻率是變化的，概率是穩定值，不變的.

例4?拋三次硬幣，求只出現兩次正面的概率P（A）.

錯解分析?審完題之后很多人可能認為進行三次試驗，有兩次試驗是正面，所以就會得到錯誤答案P（A）=23，這是因為做題者誤將頻率當成了概率.

正確答案?拋三次硬幣，總的基本事件空間Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，共8個基本事件，事件A={（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，共3個基本事件，所以由古典概率計算公式可知P（A）=38.

五、小?結

通過以上的錯誤分析，可以知道，我們在處理古典概率的計算問題時，可以從以上幾個方面進行著手，做題并檢驗.值得注意的是本文提到的這幾個錯誤，僅僅是學生在古典概率計算中常見的出錯點，并不代表全部，所以在遇到具體問題時，我們要進行具體分析.

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