線性目標函數的幾種“變式”及相應最值的求法

譙用

【摘要】在線性規劃問題中，我們常常會遇到非線性目標函數的問題，遇到這類問題，我們該如何處理呢？

【關鍵詞】線性規劃;目標函數;幾種變式

線性規劃是優化的具體模型之一.在本模塊的教學中，教師應引導學生體會線性規劃的基本思想，借助幾何直觀解決簡單的線性規劃問題，不必引入很多名詞.在《普通高等學校招生全國統一考試大綱（課程標準實驗版）》中，對線性規劃有這樣的描述：“對線性規劃仍以考查線性目標函數的最值為重點，還可能以考查線性規劃思想方法的形式出現，如利用代數式的幾何意義（距離、斜率、面積等）求最值”.基于此，我們說目標函數存在幾種變式.

例1?某廠擬生產甲、乙兩種試銷產品，每件銷售收入分別為3千元、2千元.甲、乙兩種產品都需要在A，B兩種設備上加工，在A，B上加工一件甲所需工時分別為1時、2時，加工一件乙所需工時分別為2時、1時，A，B兩種設備每月有效使用時數分別為400和500.如何安排生產可使收入最大？

這個問題的數學模型是二元線性規劃，要求從實際問題中抽象出簡單的二元線性規劃問題，然后加以解決.

解?設甲、乙兩種產品分別生產x，y件，約束條件是

x+2y≤400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，

目標函數是z=3x+2y.

要求出適當的x，y，使得z=3x+2y取得最大值，要先畫出可行域，如圖所示，考慮3x+2y=a，a是參數，將它變形為y=-32x+a2，這是斜率為-32、隨a變化的一組直線.a2是直線在y軸上的截距，當a2最大時a最大，當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數取得最大值.

在這個問題中，使3x+2y取得最大值的（x，y）是兩直線2x+y=500與x+2y=400的交點（200，100）.因此，甲、乙兩種產品分別生產200，100件時，可得最大收入為800千元.

本例中目標函數是線性的，下面談談幾種變式.

變式一：含參數型目標函數，形如y=ax+y

例2?（2013年高考全國題）記不等式組x≥0，x+3y≥3，3x+y≤3， 所表示的平面區域為D.若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是.

解?題中不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.因為直線y=a（x+1）過定點A（-1，0），由圖結合題意可知kAB=37，kAC=3.所以要使直線y=a（x+1）與平面區域D有公共點，則37≤a≤3.其實是將問題轉化為直線的斜率的取值范圍來求.

變式二：斜率型目標函數，形如z=y-bx-a

例3?已知y≥0，y≤2x，y≤4-2x， 求z=y+2x+2的取值范圍.

解?題中不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.z=y+2x+2表示可行域內的點與點A（-2，-2）連線的斜率.圖中kAB=12，kAC=43，所以z的取值范圍是12≤z≤43.

變式三：距離型目標函數

d=|Ax+By+C|A2+B2或

d=（x-a）2+（y-b）2

例4?（2013年高考北京題）設D為不等式組x≥0，2x-y≤0，x+y-3≤0 表示的平面區域，區域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為.

解?題中不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.區域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為點（1，0）到直線2x-y=0的距離，點（1，0）到直線2x-y=0的距離為255，所以區域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為255.

變式：設D為不等式組x≥0，2x-y≤0，x+y-3≤0， 表示的平面區域，區域D上的點與點（1，0）之間的距離的最大值為.

這是兩種不同的距離，前者為點到直線的距離，后者為兩點間的距離.

總之，無論我們遇上什么樣的目標函數，只要抓住其幾何特征，認真體會其數學思想，就可以順利地解決問題.