淺談直角三角形射影定理

胡軍

【摘要】本文從切割線定理和相交弦定理的概念出發(fā)，指出通過(guò)相似三角形證明直角三角形射影定理的局限性，并提出從切割線定理和相交弦定理的運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)研究直角三角形射影定理.本文指出直角三角形射影定理是切割線定理的特殊形式或是相交弦定理的特殊形式結(jié)合垂徑定理的轉(zhuǎn)化.進(jìn)一步論述了直角三角形一定滿足直角三角形射影定理，但是滿足直角三角形射影定理的三角形不一定是直角三角形.

【關(guān)鍵詞】切割線定理;相交弦定理;直角三角形射影定理

直角三角形射影定理雖然可以通過(guò)相似三角形證明而得，但是如果我們單純從直角三角形射影定理來(lái)看，感覺(jué)幾個(gè)公式不好記，有時(shí)反而容易搞混淆.經(jīng)查閱，也沒(méi)有以切割線定理和相交弦定理的運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)研究直角三角形射影定理的相關(guān)資料.誠(chéng)然，在學(xué)了切割線定理和相交弦定理之后，再?gòu)那懈罹€定理和相交弦定理的角度來(lái)研究直角三角形射影定理，會(huì)給我們一種“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”的感覺(jué)，也讓我們對(duì)知識(shí)的鏈接有了更清晰的脈絡(luò).

一、從切割線定理來(lái)談直角三角形射影定理

1.如圖1所示，AC是⊙O的切線，AB是⊙O的割線，與⊙O交于點(diǎn)D，則AC2=AD·AB.

如圖2所示，AC是⊙O的切線，AB是⊙O的割線，當(dāng)B，O，C共線時(shí)，連接BC和CD，易證△ABC，△BCD和△ACD是直角三角形.此時(shí)的切割線定理AC2=AD·AB是直角三角形射影定理中的一條.

二、從相交弦定理來(lái)談直角三角形射影定理

1.如圖3所示，AB，CE為⊙O的兩條弦，交于⊙O的內(nèi)部，則CD·DE=AD·BD.

如圖4所示，AB，CE是⊙O的兩條弦，AB與CE交于⊙O的內(nèi)部，當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到過(guò)圓心O，CE運(yùn)動(dòng)到與AB垂直時(shí)，垂足為D，易證△ABC，△BCD和△ACD是直角三角形.結(jié)合垂徑定理，易得CD=DE，此時(shí)的CD2=AD·BD是直角三角形射影定理中的另一條.

三、直角三角形射影定理

1.如圖5所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，則有射影定理如下：① BC2=BD·BA;② AC2=AD·AB;③ CD2=AD·BD.

綜上所述，直角三角形射影定理前兩個(gè)公式是切割線定理的特殊形式，后一個(gè)公式是相交弦定理的特殊形式結(jié)合垂徑定理的轉(zhuǎn)化.同時(shí)也讓我們從另一個(gè)新的角度去理解直角三角形射影定理，在運(yùn)用過(guò)程中得心應(yīng)手.當(dāng)然從切割線定理和相交弦定理來(lái)談直角三角形射影定理，也充分說(shuō)明了直角三角形一定滿足直角三角形射影定理，但是滿足直角三角形射影定理的三角形不一定是直角三角形.

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